2023-2024学年陕西省渭南市华州区咸林中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市华州区咸林中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在三棱柱中，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解.
【详解】解：，
故选：C
2．已知和向量，且，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，且，可得的值，同时已知，可得的坐标.
【详解】解： ，且，=(-6,8,24),
, B=(-6+1,8-2,24+0)=,
故选D.
【点睛】本题考查空间向量的数乘运算，是一个基础题，解题的关键是牢记公式，在数字运算的时候要细心.
3．2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ）
A．12种B．24种C．64种D．81种
【答案】C
【分析】根据分步乘法原理求解即可．
【详解】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，
根据分步乘法原理，不同的选法共有种.
故选：C．
4．已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为（ ）
A．10B．3
C．D．
【答案】D
【分析】由向量的坐标运算得，再由平面的距离即可求解.
【详解】由题意，得，又知平面的一个法向量，
则到平面的距离，
故选：D.
5．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．l与斜交B．C．D．或
【答案】D
【分析】由，得到判断.
【详解】解：因为，
所以，
又因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以或，
故选：D
6．若，则m的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简求得.
【详解】依题意，，
即，
即.
故选：B
7．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】D
【详解】这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
8．在的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为（ ）
A．4B．27C．36D．108
【答案】D
【分析】由已知得，解之求得n，再由展开式的通项公式，计算可得选项.
【详解】解：的展开式中的第项为，由，得，
所以，故第四项的系数为．
故选：D.
二、多选题
9．已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求出的坐标，根据向量共线，设，结合可得的值，进而可得的坐标，设，列方程组即可求解.
【详解】因为，，所以，
因为，所以可设，
因为，解得：
所以或，
设点，则，
所以或，解得或，
所以点的坐标为或，
故选：AB.
10．排列数恒等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由排列数的计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：BD
11．甲、乙、丙、丁、戊、己六名学生站成一排照相，则下列选项正确的为（ ）
A．若甲和乙站在两端，则不同站法的种数为48
B．若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为480
C．若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为48
D．若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为72
【答案】ACD
【分析】利用分步乘法原理，结合捆绑法、间接法与插空法对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，由于甲和乙站在两端，故有种站法，
再将其余四人全排列，有种站法，
所以一共有种不同站法，故A正确；
对于B，六名学生全排列有种站法，
甲站排头有种站法，乙站排尾种站法，
甲站排头且乙站排尾有种站法，
所以甲不站排头，乙不站排尾有种不同站法，故B错误；
对于C，乙和丙相邻，丁和戊相邻，将他们分别捆绑在一起，共有种方法，
将他们看作两个元素，与甲、己进行排列，由于甲不站两端，故有种方法，
所以甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻有种不同站法，故C正确；
对于D，将甲、乙、丙全排列，有种站法，
将丁、戊、己全排列，也有种站法，
将甲、乙、丙插到丁、戊、己之间的空隙中，有种方法，
所以甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻有种不同站法，故D正确.
故选：ACD.
12．的展开式中（ ）
A．的系数为40B．的系数为32
C．常数项为16D．常数项为8
【答案】AC
【解析】首先化简为，再分别根据和两部分计算常数项和含的系数.
【详解】，展开式中的系数分为两部分，一部分是中含的系数，另一部分是中含项的系数，所以含的系数是，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项，故C正确.
故选：AC
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，为坐标原点，，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由空间中两点间距离公式代入计算，即可得到结果.
【详解】当，则，，由两点间的距离公式可得：
.
故答案为：
14．从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有 个.
【答案】36
【解析】若复数为虚数，则，分两种情况讨论即得解.
【详解】从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，当时，对应的有6个值；当取1,2,3,4,5,6时，对应的只有5个值.所以虚数有（个）.故答案为:36.
【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.
15．现有某类病毒记作，其中正整数，可以任意选取，则不同的选取种数为 ．
【答案】56
【分析】求出m取小于等于8的正整数，n取小于等于7的正整数，应用乘法法则即可求解．
【详解】m取小于等于8的正整数，n取小于等于7的正整数，共有种取法。
故答案为：56
16．在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是 .
【答案】
【分析】设，利用距离公式可得关于的方程，解方程后可得的坐标.
【详解】依题意，设，
因为，，，
所以，解得，
所以．
故答案为：.
四、解答题
17．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
【答案】答案见解析
【分析】给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图，然后根据树形图一一列举．
【详解】解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．
由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
18．已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离．
【答案】
【分析】先证明平面平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案.
【详解】正方体中，,故四边形,
所以 ，同理 ，
所以平面 平面 ，
以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，，，
设平面 的法向量为，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
则为平面的一个法向量，
所以点 到平面的距离d，
则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离，
所以平面与平面间的距离为．
19．如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，点F在AD上，且．
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD到平面PBC的距离．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）过点A作AH⊥PC于H，利用线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可得AH⊥平面PFC，结合条件即求；
（2）过点A作AE⊥PB于E，结合条件可得AE的长为AD到平面PBC的距离，即求.
【详解】（1）连接AC，因为平面ABCD，又平面ABCD，
∴PA⊥CF，又，，
∴平面PAC，又平面PFC，
∴平面PFC⊥平面PAC，平面PFC⊥平面PAC=PC，
过点A作AH⊥PC于H，则AH⊥平面PFC，
故AH即为所求，
∵在梯形ABCD中，，，，，
∴，
∴在中，，
∴，即点A到平面PCF的距离为；
（2）∵，平面PBC，平面PBC，
∴平面PBC，
过点A作AE⊥PB于E，又因为平面ABCD，则BC，
又AB⊥BC，，
∴BC⊥平面PBA，则BC⊥AE，又
∴AE⊥平面PBC，即AE的长为AD到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，，
∴，
故AD到平面PBC的距离为.
20．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1.
【答案】（1）证明见解析；（2）在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证得，即可证出结论；
（2）假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，设＝(－3t，4t，0)，其中0≤t≤1，求出平面CEB1的一个法向量为，利用建立方程，解方程即可求出结果.
【详解】（1）证明 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．
因为＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，
所以，所以，即AC⊥BC1.
（2）解 假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
设＝(－3t，4t，0)，其中0≤t≤1.
则E(3－3t，4t，0)，＝(3－3t，4t－4，－4)，＝(0，－4，－4)，，
设平面CEB1的法向量为，
则，即，取，所以平面CEB1的一个法向量为，
由于AC1∥平面CEB1，所以，即，解得.
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点．
21．如图，正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，E，F分别是的中点，G是上的点，.
（1）试确定点G的位置；
（2）求夹角的余弦值.
【答案】（1）G是的中点 （2）
【分析】（1）由题设条件可证明平面，建立空间直角坐标系，不妨设，标出对应点坐标，由可得，可得解；
（2）标出对应点坐标，计算向量坐标，由，计算即得解.
【详解】（1）由题意，平面平面，
平面平面，平面
平面，又平面
以C为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，不妨设
故G是的中点.
（2）
，又
22．五位师傅和五名徒弟站一排．
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？
【答案】(1)种
(2)种
(3)种
【分析】（1）利用捆绑法求得正确答案.
（2）利用插空法求得正确答案.
（3）利用插空法求得正确答案.
【详解】（1）由于五名徒弟必须排在一起，
所以方法数有种.
（2）由于五名徒弟不能相邻，则先将五位师傅全排列，
然后将五名徒弟安排在五位师傅产生的六个空位上，
所以方法数有种.
（3）由于师傅和徒弟相间，则先将五位师傅全排列，
然后将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上，
所以方法数有种.