新高考数学二轮复习考点突破学案6.2《圆锥曲线的方程与性质》（2份打包，原卷版+教师版）

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考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|﹣|PF2||＝2a(00)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋eq \r(2)，则该椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1 C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,8)＝1
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为( )
A.5 B.5eq \r(2) C.10 D.10eq \r(2)
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
核心提炼
1.求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝eq \f(c,a).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例2 设双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF2的中点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \r(3)x B.y＝±eq \f(\r(3),3)x C.y＝±eq \f(2\r(3),3)x D.y＝±2x
考向2 离心率问题
例3 (多选)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs∠F1NF2＝eq \f(3,5)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(\r(13),2) D.eq \f(\r(17),2)
规律方法
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
跟踪演练2 (1)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
(2)(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则( )
A.∠AF1B＝∠F1AB
B.双曲线的离心率e＝eq \f(\r(33),3)
C.双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(6),3)x
D.原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上
考点三 抛物线的几何性质
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝﹣p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
例4 (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5),5)eq \(MN,\s\up6(→))，则p的值等于( )
A.eq \f(1,8) B.2 C.eq \f(1,4) D.4
(2)(多选)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|＝|AM|，则( )
A.直线AB的斜率为2eq \r(6)
B.|OB|＝|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM＋∠OBM0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(BF,\s\up6(→))，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
专题强化练
一、单项选择题
1.抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为( )
A.y2＝4x B.y2＝8x C.y2＝12x D.y2＝16x
2.已知双曲线eq \f(x2,m)﹣y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，则其渐近线方程为( )
A.y＝±eq \f(\r(2),4)x B.y＝±2eq \r(2)x C.y＝±2x D.y＝±eq \f(1,2)x
3.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( )
A.2 B.2eq \r(2) C.3 D.3eq \r(2)
4.如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(5,4) C.eq \f(4,3) D.eq \f(4,5)
5.已知点F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，且满足AF1⊥AB，eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4,3)，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
6.如图，圆O与离心率为eq \f(\r(3),2)的椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合).若P为椭圆上任意一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)的最大值是( )
A.4 B.5 C.eq \f(16,3) D.eq \f(25,3)
二、多项选择题
7.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则( )
A.椭圆的长轴长为4eq \r(2)
B.|AB|的取值范围是[4,2＋2eq \r(2)]
C.△ABF面积的最小值是4
D.△AFG的周长为4＋4eq \r(2)
8.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则( )
A.||PA1|﹣|PA2||＝2a
B.若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为eq \r(5)
C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1
D.若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝eq \f(π,10)
三、填空题
9.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为eq \f(1,3).
10.已知P1，P2，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，且F(0,1).若eq \(FP1,\s\up6(--→))＋eq \(FP2,\s\up6(--→))＋…＋eq \(FP8,\s\up6(--→))＝0，则|eq \(FP1,\s\up6(--→))|＋|eq \(FP2,\s\up6(--→))|＋…＋|eq \(FP8,\s\up6(--→))|＝________.
11.已知椭圆C1：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cs∠PF1F2的值为________.
12.已知O为坐标原点，F是双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，A为C的右顶点，过F作C的渐近线的垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的中点，则C的离心率是________.
四、解答题
13.双曲线x2﹣eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点.
(1)若l的倾斜角为eq \f(π,2)，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设b＝eq \r(3)，若l的斜率存在，且(eq \(F1A,\s\up6(--→))＋eq \(F1B,\s\up6(--→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，求l的斜率.