2023-2024学年陕西省咸阳市永寿县中学高二上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市永寿县中学高二上学期第三次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可得.
【详解】，即，解得．
故选：C
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线方程得到直线的斜率为，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角.
【详解】直线方程可整理为，所以直线的斜率为，倾斜角为.
故选：D.
3．若直线：与直线：互相平行，则（ ）
A．B．C．12D．
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
故选：C
4．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的焦距为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的焦距定义求解即可.
【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线为，
得，解得，
则双曲线的方程为，则，
则其焦距为．
故选：D.
5．双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（ ）
A．9B．9或1C．1D．6
【答案】A
【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
所以，解得，
根据双曲线定义可得，
所以，解得或，
当时，不合题意，故舍去，
当时，，满足题意，
综上，.
故选：A
6．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为（ ）
A．1B．5
C．4D．3＋2
【答案】D
【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上,可得a＋b＝1，再将变成积为定值的形式后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
故选：D
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.
7．已知椭圆，点P为椭圆上的任一点，则P点到直线：的距离的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】转化为求与平行且与椭圆相切的两条切线，再由与两切线距离求解即可.
【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线为，
联立方程，消元可得
令，解得，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
即直线与切线的最大最小距离分别为,
又当时，，即直线与椭圆无公共点，
则椭圆上任一点P到直线：的距离的取值范围为.
故选：B
8．已知F为双曲线：的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若的斜率为3，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，
即，化简得：，,
因此，双曲线的离心率为.
故选：B
二、多选题
9．已知F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点B．准线方程
C．点或D．焦点到准线的距离为4
【答案】AC
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标及准线方程判断AB，根据定义判断C，根据焦点到准线距离判断D.
【详解】由可知，即，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，故A对B错；
由抛物线定义可知，即，
代入抛物线方程可得，即，所以点或，故C正确；
由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为，故D错误.
故选：AC
10．方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（ ）
A．曲线可能为圆
B．若曲线为双曲线，则或
C．若曲线为椭圆，则
D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】AB
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的的系数特征列不等式求解判断.
【详解】当，即时，方程为，为圆，A正确
当，即或时，方程为双曲型，B正确；
当，即且时，方程为椭圆，C错误；
当，即时，方程为焦点在轴上的椭圆，D错误；
故选： AB.
11．已知正方体的棱长为2，若的中点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．平面
D．点到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据得到A正确，计算体积得到B正确，与相交，C错误，确定平面的法向量，根据距离公式计算即可.
【详解】如图所示，以为坐标原点，
以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
则，，
对选项A：，，，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：若平面，平面，
平面平面，故，不成立，错误；
对选项D：，．
设平面的一个法向量为，则，取，，
则点到平面的距离为，正确．
故选：ABD
12．已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离是
B．若直线与双曲线交于A，B两点，点是的中点，则
C．若直线：与双曲线交于两点，则的取值范围
D．若点在双曲线上，则的最小值是
【答案】BD
【分析】求出焦点坐标和渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可判断A；利用点差法即可判断B；联立直线方程，由题意可得且二次项系数不等于零，即可判断C；将用表示，再结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离为，故A错误；
对于B，设，则
则，两式相减得，
即，
所以，即，
经检验符合题意，故B正确；
对于C，联立，消得，
因为直线：与双曲线交于两点，
所以，解得且，
所以的取值范围，故C错误；
对于D，因为点在双曲线上，所以且，
则，
所以当时，取得最小值，故D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
三、填空题
13．等差数列中，若，则
【答案】180
【分析】根据等差数列的性质得到，再计算即得.
【详解】因为等差数列中，，
所以，
所以.
故答案为：.
14．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为
【答案】
【分析】表示点与点的距离，由圆的性质可求．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆心到点距离为，
∴所求最大值为．
【点睛】设圆的半径为，圆心到平面上一点的距离为，则圆上的点到点距离的最大值为，最小值为．
15．已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】如图，
双曲线的实半轴长，半焦距，有，
在中，由余弦定理得，
即有，
因此，解得，
所以的面积为.
故答案为：
16．设P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义进行求解即可.
【详解】设抛物线的焦点为，因为直线是该抛物线的准线，所以点P到直线的距离等于，所以当在同一条直线上时，点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小，最小值为，
故答案为：
四、解答题
17．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
18．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
19．在四棱锥中底面，底面是菱形，，，点在上.
(1)求证：平面；
(2)若为中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理，即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】（1）∵底面，平面，，
又在菱形中，，且，平面，
所以平面.
（2）设，相交于点，∵为中点，∴
∴底面，以为原点，，分别为轴，轴，轴建立如图直角坐标系.
，，，而菱形的边长为2，
则，为正三角形，∴，
∴，，，，，.
∴，，，
设平面的法向量为，则，
令，，，∴，
设与平面所成的角为，
则.
20．己知抛物线：的焦点为，为抛物线C上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于A，B两点，求弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求出，即可得解；
（2）设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意可得抛物线的焦点在轴的正半轴，则，
故，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）联立，消得，
，
设，
则，
所以.
21．已知圆M：，点，P是圆M上一动点，线段的垂直平分线与交于点.
(1)求点的轨迹方程C；
(2)过C的左焦点且斜率为的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积为时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义判断曲线轨迹为椭圆，即可得出方程；
（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）如图，
由的垂直平分线性质，可得，
，
点的轨迹是以，为焦点，长半轴，半焦距为的椭圆，
所以，
故所求轨迹方程为：.
（2）如图，
设直线方程为：，
则代入椭圆方程消元可得，
易知，
设，则，
，
即，解得，即，
所以.
五、证明题
22．已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．