2023-2024学年新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学高二上学期11月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．120°D．90°
【答案】B
【分析】根据斜率即可求解倾斜角.
【详解】由得，
故斜率为则倾斜角为135°，
故选：B
2．已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得.
【详解】设对称点坐标，由题意知直线与垂直，
结合的斜率为1，得直线的斜率为-1，
所以，化简得，①
再由的中点在直线上，，化简得，②
联立①②，可得，所以对称点的坐标为.
故选：A.
3．圆上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．36B．18C．D．
【答案】C
【分析】判断直线与圆的位置关系，则圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径为所求．
【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为3，
圆心到直线x+y﹣14＝0的距离为3，
故圆上的点到直线的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，属于基础题．
4．已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果.
【详解】由题意，，，，，

，
.
故选：A.
5．连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分必要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义,分别验证充分性和必要性.
【详解】当时，两直线方程分别为和，则两直线平行；
当直线与直线平行时，有，
即，解得或，其中时两直线重合，舍去，故.
“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.
故选：A
6．已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，利用点差法求解即可．
【详解】设，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得：．
由，，代入上式可得：
＝0，化为．
又，，联立解得．
∴椭圆的方程为：．
故选：C．
7．已知向量，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．记与的夹角为，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据空间向量加法、减法、数量积坐标运算，以及空间向量夹角公式、空间向量垂直的坐标要求求解即可.
【详解】A.，，，,
，故A正确；
B.，，
，故B正确；
C. ，，故C错误；
D.，，，即，故D正确.
故选：C
8．已知椭圆：的左焦点为，若椭圆上存在点，使得线段被直线垂直平分，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定方法、正弦定理，结合椭圆的定义、比例的性质、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】设右焦点为，直线交于，连接，
因为线段被直线垂直平分，所以，，
所以是以为斜边的直角三角形，
由直线的方程可知该直线的斜率为，
所以该直线的倾斜角为，即，
在中，由正弦定理可知：
，
故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理和比例的性质以及运用直角三角形的判定方法.
二、多选题
9．圆M：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内B．圆M关于直线对称
C．圆M的半径为2D．直线与圆M相切
【答案】BD
【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切.
【详解】将圆M：化成标准方程：知圆心坐标为圆的半径为1.
A项中，由点到圆心的距离：知点在圆外，A项错误；
B项中，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆M关于直线对称，B项正确；
C项中，显然错误，C项错误；
D项中，由圆心到直线的距离为：知直线与圆M相切，D项正确.
故选：BD.
10．已知点是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上的一点，且，，则（ ）
A．
B．的面积为
C．双曲线的离心率为
D．直线是双曲线的一条渐近线
【答案】ACD
【分析】由双曲线定义可以判断A；借助于，直接求判断B选项；焦点三角形中借助勾股定理得到关系可判断C；借助于，求渐近线方程判断D.
【详解】
由双曲线的定义可得，，，故A正确；
因为，故的面积为，故B错误；
由勾股定理得，即，所以，故C正确；
因为，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为，故D正确，
故选：ACD.
11．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．直线与平面所成的角为D．到平面的距离为
【答案】ABC
【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量法证明位置关系，以及利用向量法求线面角，和点到平面的距离.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，，，
，
，，，即，故A正确；

，，则，且，平面，所以平面，故B正确；
，，,，，
，，
设平面的法向量为，
，令，则，
所以平面的法向量为，
设直线与平面的夹角为，
则，所以，故C正确；
由B选项可知，平面，
所以平面的法向量为，
，，,
点到平面的距离，故D错误.
故选：ABC
12．已知圆，圆，点是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点为，，下列说法正确的是（ ）
A．圆心的轨迹方程为
B．圆和圆始终相离
C．存在某个位置使得
D．若存在点使得，则的取值范围是
【答案】ABD
【分析】根据圆的相关知识，对每个选项逐一分析即可.
【详解】对于A，圆心M为，令，所以，圆心的轨迹方程为，故A正确；
对于B，圆心M为，，，
圆M的半径为1，圆O的半径为1，，所以圆和圆始终相离，故B正确；
对于C，存在某个位置使得，则，则，
由圆M的半径为1，圆心M为，可得，
所以，整理得
，不等式无解，故C错误；
对于D，圆的半径为 1，圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，使得，则
在中，，
所以
又圆M的半径为1，圆心M为，
所以
所以，
解得，
则的取值范围是，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知两条直线和互相垂直，则a等于 ．
【答案】
【分析】根据两直线垂直的结论求解即可.
【详解】由题意得，，
解得.
故答案为：.
14．已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程．
【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.
故答案为: .
15．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为 ．
【答案】或
【分析】由题意可得所求的圆的方程为 ，，再把点代入，求得的值，得出答案.
【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，，则半径为.
故圆的方程为，再将点代入，得，求得或1
故要求的圆的方程为或．
故答案为：或．
16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为 ．
【答案】
【分析】先根据直线的交点结合两点间距离公式求出三角形的边长，再由三角形面积等于周长与内切圆半径的积的一半，计算求解即可.
【详解】
双曲线C：的左焦点为，到渐近线的距离,
联立方程组，
解得
可得，
设的内切圆的半径为，在中，，
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线与直线交于点
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)在（1）的条件下，若直线与圆交于两点，求直线与圆截得的弦长
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出交点坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解；（2）利用垂径定理求解弦长.
【详解】（1）由
所以，
令，将代入得：.
（2）圆心到直线的距离，
所以
18．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，
因为是直棱柱，
所以平面，
因此平面的一个法向量为，
所以，即，又平面，所以平面；
（2）因为，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以.
19．已知圆的方程.
(1)若点在圆的内部，求的取值范围；
(2)时，设为圆上的一个动点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据圆的标准方程可得,再根据点在圆的内部，可得，由此求得的范围，
（2）表示圆上的点到点的距离的平方，继而可得，求出最小值.
【详解】（1）解：圆的方程即，
所以，
再根据点在圆的内部，可得，
求得.

（2）当时，圆的方程即，
而表示圆上的点到点的距离的平方，
由于，
故的最小值为.

20．已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点.
(1)求曲线E的方程；
(2)求实数k的取值范围；
(3)如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)，面积为.
【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为；
（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的的取值范围；
（3）利用弦长公式计算得直线斜率为.由题设向量关系，得到，代入双曲线方程，求得，利用面积公式求得面积为.
【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，得，
故曲线的方程为；
（2）设，由题意建立方程组，
消去，得，
又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，
（3）
，
依题意得，整理后得，
∴或，但∴，
故直线的方程为，
设，由已知，得，
∴，
又，
∴点，
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴，点的坐标为，到的距离为，
∴的面积.

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是首先利用弦长公式求出，从而得到直线的方程，再设，根据向量式和韦达定理得到，再将其代入双曲线方程即可解出.
五、证明题
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，侧棱与底面所成的角为．

(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面与平面垂直的性质定理和判定定理即可证明；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，进而可求出结果.
【详解】（1）证明：在正方形中，．
又因为平面底面，平面平面平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）设与交于点，则平面平面，
在平面内作垂直于，
又因为平面平面，
所以平面，而平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
由（1）知平面，平面，所以，
又，底面，
所以底面，故和底面所成的角为，即，
故．

以A为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．
设．则，
所以，
设平面和平面的法向量分别为，
由即取，得；
由即，取，得．
所以，，
设二面角的大小为，则．
所以二面角的正弦值为．
六、解答题
22．已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
(2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由线段的垂直平分线，得到，结合椭圆的定义，即可求解；
（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，分别求得；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，结合弦长公式，求得和，进而求得的值.
【详解】（1）解：由线段的垂直平分线，可得，
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，
所以，，则，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）可知，椭圆的右焦点为，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
则，，，，
所以，，．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，，
所以，
因为圆心到直线l的距离，
所以，
所以，
因为，所以，
综上可得，．