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内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
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这是一份内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，十七世纪之交，天文，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解方程和不等式得到集合，再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A
2. 已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 是偶函数D. 在上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的特点，结合二次函数的单调性，奇偶性对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为函数，
对选项A，，故A错误；
对选项B，当时，若，则，即；
当时，若，则，不合题意，故B错误；
对选项C，由可得，
所以，故是奇函数，所以C错误；
对选项D，因为当时，函数单调递减；当时，函数单调递减，
所以函数在上单调递减，所以D正确.
故选：D.
3. 函数定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式直接列出满足函数有意义的不等式，解出即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得，
所以函数定义域是.
故选：A.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求法，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.
4. 若命题p:∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（ ）
A. ∃x∈R，x2+2x+1>0B. ∃x∈R，x2+2x+1<0C. ∀x∈R，x2+2x+1≤0D. ∀x∈R，x2+2x+1>0
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.
【详解】由题,则的否定为, x2+2x+1>0.
故选：D
【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.
5. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】对于A,可利用作差法判断；对于B,C,D，举反例即可判断正误.
【详解】对于A，若，则，
故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，不妨取 ，则，故C错误；
对于D，若，，不妨取 ，则，D错误，
故选：A
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. B. 是的充分不必要条件
C. D. 的充要条件是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据含量词命题的真假判断AC，根据充要条件、充分不必要条件判断BD.
【详解】对于A，不存在，使得，错误；
对于B，能推出，但是推不出，故正确；
对于C，当时，，故错误；
对于D，可得，可推出，但推出不能得到，故错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，涉及充分条件，必要条件，量词，属于中档题.
7. 十六、十七世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数运算提出了更高的要求，改进数字计算方法成了当务之急，英格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550－1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》标志着对数的诞生．对数的思想方法，即把乘法运算转化为加法，在今天仍然具有生命力．以下几组自变量x与函数值y的部分对应关系中，最接近对数函数上述作用的函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据，结合对数函数的图象变化可以得出结论.
【详解】根据对数函数（且）的性质，随着x的增大，y值的变化幅度越来越小，由表中数据可知，A表格中随着x的变化，y的变化幅度不变，BC表格中随着x的变化，y的变化幅度越来越大，D选项随着x的变化，y的变化幅度越来越小，只有D选项比较接近对数函数．
故选：D
8. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数的图象可能为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除B、C，取特殊值或极限值根据正负排除D
【详解】解：由题意可得，
所以函数为偶函数，排除B、C
当略大于0时，，，所以，排除D
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2
D. 若，， ，则的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质可以说明A正确；利用中间值验证B错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C正确；巧用“”可以说明D正确.
【详解】，，左右两边同时乘以得，故A正确；
，故B错误；
，，要使恒成立，则，故实数m的最大值为2，故C正确；
，，，故的最小值为4，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B. “”是“”的充要条件
C. 命题“”的否定是“”
D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．
【详解】是无理数，是有理数，A错；
时，，但，不是充要条件，B错；
命题的否定是：，C正确；
“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确．
故选：CD．
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．
11. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数在定义上为奇函数，不符合题意；
对于B中，函数的定义为关于原点对称，
且满足，所以函数为偶函数，
当时，可得为单调递增函数，符合题意；
对于C中，函数，根据二次函数的图象与性质，可得函数为偶函数，
在区间上单调递增，符合题意；
对于D中，函数，根据指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，
不符合题意.
故选：BC.
12. 如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A. 经过15分钟，点P首次到达最高点
B. 从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C. 若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D. 在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70
【答案】AD
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系：根据题意得到，求得点P离地面的高度为：，然后再逐项判断.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
则，
得 ，
所以点P离地面的高度为： ，
A. 当时，，所以经过15分钟，点P首次到达最高点，故正确；
B．令 ，解得 ，所以从第10分钟到第15分钟，点P距离地面的高度一直在升高，从第15分钟到第20分钟，高度在降低，故错误；
C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍，故错误；
D. 令，即，解得，所以，有10分钟的时间点P距离地面超过70故正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题关键是建立坐标系，求出P离地面的高度函数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若幂函数的图象过点，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式，结合待定系数法、代入法进行求解即可.
【详解】设，
因为幂函数的图象过点，
所以有，
因此.
故答案为：16
【点睛】本题考查了求幂函数的值问题，考查了待定系数法和代入法的应用，属于基础题.
14. 不等式的解集为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，将代入方程可求得；再将代入不等式，解不等式求得，进而求得的值.
【详解】由条件可知是方程的实根，
故，即，
不等式为，
解不等式可得解集为，
即，
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由方程的解确定参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.
15. 已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先根据题中的条件，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，结合A＝{1，2}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数.
【详解】因为A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
所以，所以集合B中只有一个元素，
故答案是1.
【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.
16. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，或，全集合．
（1）当时，求；
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，然后直接求即可；
（2）求出，然后根据条件得到，再根据包含关系列不等式求解.
【小问1详解】
当时，，又或，
或；
【小问2详解】
若，则，
又，
由得，
，
解得.
18. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先因式分解，然后直接求解即可；
（2）利用求根公式即可求解不等式；
（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；
（4）先整理，然后直接求解即可.
【小问1详解】
，
，
，
即不等式的解集为；
【小问2详解】
，
，
解得或；
即不等式的解集为；
【小问3详解】
，
或
解得，
即不等式的解集为；
【小问4详解】
，
整理得，
解得，
即不等式的解集为.
19. 已知函数．
（1）若，求方程的解集；
（2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接解方程可求得的值；
（2）由题意可得，有两个不同的实数根，设，则在有两个不同的解，再利用二次函数的性质求得的范围．
【小问1详解】
当时，有,
所以，即，即，
解得，所以解集为．
【小问2详解】
因为方程有两个不同的实数根，
即有两个不同的实数根，
设，则在有两个不同的解．
令，只需：
解得：，即的范围为
20. 党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元
【解析】
【分析】（1）根据函数模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出结果.
（2）建立获利和对A投资的函数，换元转化成二次函数，求出最大值.
【小问1详解】
设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题意知， 。
由图可知，
从 ，
【小问2详解】
设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元。
则 ，
令 则
当，
所以当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元.
21. 已知函数，.
（1）若函数的图象与轴无交点，求的取值范围；
（2）若函数在区间上是增函数，利用函数的单调性定义求实数的取值范围；
（3）设函数，，当时若对任意的，总存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或 .
【解析】
【分析】
（1）函数与轴无交点，即方程没有实数根，即可求得的取值范围；（2）函数的对称轴是，所以函数在上单调递减，则需满足；（3）根据题意可知，函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，对于函数，可分讨论函数的值域，利用子集关系列不等式求的范围.
【详解】（1）若函数的图象与轴无关点，则方程的根的判别式，即，解得.
故的取值范围为.
（2）化简得：
由题意，任取，且
则
所以
所以的取值范围
（3）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
当时，函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为.
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域为，只需，解得.
③当时，在上的值域为，只需，解得.
综上，的取值范围为或
【点睛】本题考查了二次函数无零点和有零点时求参数取值范围，以及恒成立求参数的取值范围的综合问题，一元二次方程给定区间有零点求参数的取值范围，可根据参变分离的方法转化为求函数值域的方法，或是利用二次函数的图象转化为根的分布问题求解.
22. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知该结论是真命题.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）还有同学提出了如下两个命题：
命题①，已知函数的定义域为，如果函数为偶函数，那么函数的图象关于直线成轴对称图形；
命题②，已知函数的定义域为，如果函数的图象关于直线成轴对称图形，那么函数为偶函数；
请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由.（若两个都选，则只对你选的第一个评分）
【答案】（1）对称中心为点
（2）命题①和命题②都是真命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义整理运算；（2）根据轴对称的性质结合偶函数的定义分析证明.
【小问1详解】
显然的定义域为，
假设函数图象关于点成中心对称图形，
因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，
所以是奇函数，
则，即，
，
整理得关于恒成立，
则，所以，，
即，，当为奇函数，
所以函数图象的对称中心为点.
【小问2详解】
选择①，命题①真命题，
因为函数的定义域为，函数为偶函数，
所以，
设点为的图象上的任意一点，
则由垂直平分线知识得：点关于直线的对称点为可以为点，
因为，
所以点就是点，
因为点在的图象上，
所以点也在的图象上，
即点关于直线的对称点在的图象上，
因为点为的图象上的任意一点，
所以函数的图象关于直线成轴对称图形.
选择②，命题②是真命题，
已知函数定义域为，
设点为的图象上的任意一点，
则由垂直平分线知识得：
点关于直线的对称点可以为点，
因为函数的图象关于直线成轴对称图形，
所以点在的图象上，
在函数的图象上，横坐标为的点为，
由函数定义可知，自变量确定时，函数值也确定，
所以，
令，则，，
代入，得，
令，则，
即对于，，
所以函数是偶函数，即函数是偶函数，
所以函数为偶函数.
x
2
4
6
8
y
1.5
3
4.5
6
x
2
3
6
12
y
2.5
4
10
25
x
5
10
15
20
y
3
42
12.9
38.7
x
5
10
50
100
y
3
4.3
7.3
8.6
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解方程和不等式得到集合，再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A
2. 已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 是偶函数D. 在上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的特点，结合二次函数的单调性，奇偶性对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为函数，
对选项A，，故A错误；
对选项B，当时，若，则，即；
当时，若，则，不合题意，故B错误；
对选项C，由可得，
所以，故是奇函数，所以C错误；
对选项D，因为当时，函数单调递减；当时，函数单调递减，
所以函数在上单调递减，所以D正确.
故选：D.
3. 函数定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式直接列出满足函数有意义的不等式，解出即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得，
所以函数定义域是.
故选：A.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求法，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.
4. 若命题p:∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（ ）
A. ∃x∈R，x2+2x+1>0B. ∃x∈R，x2+2x+1<0C. ∀x∈R，x2+2x+1≤0D. ∀x∈R，x2+2x+1>0
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.
【详解】由题,则的否定为, x2+2x+1>0.
故选：D
【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.
5. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】对于A,可利用作差法判断；对于B,C,D，举反例即可判断正误.
【详解】对于A，若，则，
故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，不妨取 ，则，故C错误；
对于D，若，，不妨取 ，则，D错误，
故选：A
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. B. 是的充分不必要条件
C. D. 的充要条件是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据含量词命题的真假判断AC，根据充要条件、充分不必要条件判断BD.
【详解】对于A，不存在，使得，错误；
对于B，能推出，但是推不出，故正确；
对于C，当时，，故错误；
对于D，可得，可推出，但推出不能得到，故错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，涉及充分条件，必要条件，量词，属于中档题.
7. 十六、十七世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数运算提出了更高的要求，改进数字计算方法成了当务之急，英格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550－1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》标志着对数的诞生．对数的思想方法，即把乘法运算转化为加法，在今天仍然具有生命力．以下几组自变量x与函数值y的部分对应关系中，最接近对数函数上述作用的函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据，结合对数函数的图象变化可以得出结论.
【详解】根据对数函数（且）的性质，随着x的增大，y值的变化幅度越来越小，由表中数据可知，A表格中随着x的变化，y的变化幅度不变，BC表格中随着x的变化，y的变化幅度越来越大，D选项随着x的变化，y的变化幅度越来越小，只有D选项比较接近对数函数．
故选：D
8. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数的图象可能为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除B、C，取特殊值或极限值根据正负排除D
【详解】解：由题意可得，
所以函数为偶函数，排除B、C
当略大于0时，，，所以，排除D
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2
D. 若，， ，则的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质可以说明A正确；利用中间值验证B错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C正确；巧用“”可以说明D正确.
【详解】，，左右两边同时乘以得，故A正确；
，故B错误；
，，要使恒成立，则，故实数m的最大值为2，故C正确；
，，，故的最小值为4，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B. “”是“”的充要条件
C. 命题“”的否定是“”
D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．
【详解】是无理数，是有理数，A错；
时，，但，不是充要条件，B错；
命题的否定是：，C正确；
“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确．
故选：CD．
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．
11. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数在定义上为奇函数，不符合题意；
对于B中，函数的定义为关于原点对称，
且满足，所以函数为偶函数，
当时，可得为单调递增函数，符合题意；
对于C中，函数，根据二次函数的图象与性质，可得函数为偶函数，
在区间上单调递增，符合题意；
对于D中，函数，根据指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，
不符合题意.
故选：BC.
12. 如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（ ）
A. 经过15分钟，点P首次到达最高点
B. 从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高
C. 若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍
D. 在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70
【答案】AD
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系：根据题意得到，求得点P离地面的高度为：，然后再逐项判断.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
则，
得 ，
所以点P离地面的高度为： ，
A. 当时，，所以经过15分钟，点P首次到达最高点，故正确；
B．令 ，解得 ，所以从第10分钟到第15分钟，点P距离地面的高度一直在升高，从第15分钟到第20分钟，高度在降低，故错误；
C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍，故错误；
D. 令，即，解得，所以，有10分钟的时间点P距离地面超过70故正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题关键是建立坐标系，求出P离地面的高度函数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若幂函数的图象过点，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式，结合待定系数法、代入法进行求解即可.
【详解】设，
因为幂函数的图象过点，
所以有，
因此.
故答案为：16
【点睛】本题考查了求幂函数的值问题，考查了待定系数法和代入法的应用，属于基础题.
14. 不等式的解集为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，将代入方程可求得；再将代入不等式，解不等式求得，进而求得的值.
【详解】由条件可知是方程的实根，
故，即，
不等式为，
解不等式可得解集为，
即，
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由方程的解确定参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.
15. 已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先根据题中的条件，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，结合A＝{1，2}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数.
【详解】因为A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
所以，所以集合B中只有一个元素，
故答案是1.
【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.
16. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，或，全集合．
（1）当时，求；
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，然后直接求即可；
（2）求出，然后根据条件得到，再根据包含关系列不等式求解.
【小问1详解】
当时，，又或，
或；
【小问2详解】
若，则，
又，
由得，
，
解得.
18. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先因式分解，然后直接求解即可；
（2）利用求根公式即可求解不等式；
（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；
（4）先整理，然后直接求解即可.
【小问1详解】
，
，
，
即不等式的解集为；
【小问2详解】
，
，
解得或；
即不等式的解集为；
【小问3详解】
，
或
解得，
即不等式的解集为；
【小问4详解】
，
整理得，
解得，
即不等式的解集为.
19. 已知函数．
（1）若，求方程的解集；
（2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接解方程可求得的值；
（2）由题意可得，有两个不同的实数根，设，则在有两个不同的解，再利用二次函数的性质求得的范围．
【小问1详解】
当时，有,
所以，即，即，
解得，所以解集为．
【小问2详解】
因为方程有两个不同的实数根，
即有两个不同的实数根，
设，则在有两个不同的解．
令，只需：
解得：，即的范围为
20. 党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元
【解析】
【分析】（1）根据函数模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出结果.
（2）建立获利和对A投资的函数，换元转化成二次函数，求出最大值.
【小问1详解】
设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题意知， 。
由图可知，
从 ，
【小问2详解】
设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元。
则 ，
令 则
当，
所以当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元.
21. 已知函数，.
（1）若函数的图象与轴无交点，求的取值范围；
（2）若函数在区间上是增函数，利用函数的单调性定义求实数的取值范围；
（3）设函数，，当时若对任意的，总存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或 .
【解析】
【分析】
（1）函数与轴无交点，即方程没有实数根，即可求得的取值范围；（2）函数的对称轴是，所以函数在上单调递减，则需满足；（3）根据题意可知，函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，对于函数，可分讨论函数的值域，利用子集关系列不等式求的范围.
【详解】（1）若函数的图象与轴无关点，则方程的根的判别式，即，解得.
故的取值范围为.
（2）化简得：
由题意，任取，且
则
所以
所以的取值范围
（3）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
当时，函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为.
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域为，只需，解得.
③当时，在上的值域为，只需，解得.
综上，的取值范围为或
【点睛】本题考查了二次函数无零点和有零点时求参数取值范围，以及恒成立求参数的取值范围的综合问题，一元二次方程给定区间有零点求参数的取值范围，可根据参变分离的方法转化为求函数值域的方法，或是利用二次函数的图象转化为根的分布问题求解.
22. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知该结论是真命题.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）还有同学提出了如下两个命题：
命题①，已知函数的定义域为，如果函数为偶函数，那么函数的图象关于直线成轴对称图形；
命题②，已知函数的定义域为，如果函数的图象关于直线成轴对称图形，那么函数为偶函数；
请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由.（若两个都选，则只对你选的第一个评分）
【答案】（1）对称中心为点
（2）命题①和命题②都是真命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义整理运算；（2）根据轴对称的性质结合偶函数的定义分析证明.
【小问1详解】
显然的定义域为，
假设函数图象关于点成中心对称图形，
因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，
所以是奇函数，
则，即，
，
整理得关于恒成立，
则，所以，，
即，，当为奇函数，
所以函数图象的对称中心为点.
【小问2详解】
选择①，命题①真命题，
因为函数的定义域为，函数为偶函数，
所以，
设点为的图象上的任意一点，
则由垂直平分线知识得：点关于直线的对称点为可以为点，
因为，
所以点就是点，
因为点在的图象上，
所以点也在的图象上，
即点关于直线的对称点在的图象上，
因为点为的图象上的任意一点，
所以函数的图象关于直线成轴对称图形.
选择②，命题②是真命题，
已知函数定义域为，
设点为的图象上的任意一点，
则由垂直平分线知识得：
点关于直线的对称点可以为点，
因为函数的图象关于直线成轴对称图形，
所以点在的图象上，
在函数的图象上，横坐标为的点为，
由函数定义可知，自变量确定时，函数值也确定，
所以，
令，则，，
代入，得，
令，则，
即对于，，
所以函数是偶函数，即函数是偶函数，
所以函数为偶函数.
x
2
4
6
8
y
1.5
3
4.5
6
x
2
3
6
12
y
2.5
4
10
25
x
5
10
15
20
y
3
42
12.9
38.7
x
5
10
50
100
y
3
4.3
7.3
8.6
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