湖南省湘潭市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份湖南省湘潭市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 函数的部分图像大致为， 设，则， 已知，则， 下列等式正确的是， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题，则命题p的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题之间关系即可得出结果.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为．
故选：D.
2. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合交集定义求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A
3. 下列函数为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.
【详解】函数与在定义域内为减函数，不符合题意；
函数在上为减函数，不符合题意；
根据幂函数的性质知为增函数.
故选:B.
4. 若角是第一象限角，则是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C 第一或第三象限角D. 第二或第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.
【详解】因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.
故选：C．
5. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.
【详解】函数的定义域为，，因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足；
又，所以选项B不满足，选项A符合题意.
故选：A
6. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：B
7. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满；…；连续进行次，容器中的纯酒精少于，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数的运算性质求解即可.
【详解】由题意可得，，
因为，所以，
故选：A
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.
【详解】令，所以，，
所以．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.
【详解】，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确；
故选：ACD
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若正数a，b满足，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项.
【详解】由不等式的性质可知，A正确，B错误；
当时，，C错误；
正数a，b满足，则，
当且仅当时，等号成立，D正确.
故选：AD.
11. 已知是第三象限角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正切的二倍角公式判断A，利用同角三角函数关系判断B，利用正弦的二倍角公式判断C，利用正切的两角差公式判断D.
【详解】由题意得，A错误；
又是第三象限角，，所以由解得，，B正确；
，C正确；
，D错误；
故选：BC
12. 高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．如，，，记函数，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在上有5个零点D. ，方程有两个实根
【答案】BD
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，选项A错误；
当时，，
当时，，；
当时，，
……以此类推，可得的图象如下图所示，
由图可知，的值域为，选项B正确；
由图可知，在上有6个零点，选项C错误；
，函数与的图象有两个交点，如下图所示，
即方程有两个根，选项D正确．
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.
【详解】.
故答案为：.
14. 若函数的图象关于点对称，请写出一个的值：______.
【答案】（答案不唯一，符合，即可）
【解析】
【分析】将看作一个整体，利用余弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】由题意可知，，
解得，，
故答案为：（答案不唯一，符合，即可）
15. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.
详解】已知，
因为，
所以令，则，
则.
故答案为：
16. 已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.
【详解】当时，，令，得，
若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点，
当时，，所以，即.
若，即时，在上恰有一个零点，
所以在上有且仅有4个零点，所以，即，
又，所以.
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 若角终边上一点的坐标为，其中.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；
（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.
【小问1详解】
因为角终边上一点的坐标为，且，
所以由三角函数的定义可得.
【小问2详解】
因为，
所以，，
所以.
18. 设全集，集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的运算求解即可；
（2）讨论、两种情况，根据包含关系求得的取值范围.
【小问1详解】
由，得，
由，得，所以.
由得或，
所以.
【小问2详解】
当时，，即，符合题意，
当时，，解得，符合题意.
综上，的取值范围为.
19. 已知幂函数在上单调递增.
（1）求m的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的性质和概念求解即可；
（2）不等式可转化为对恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求的最大值即可.
【小问1详解】
因为是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）得，所以，
即对恒成立，
由一元二次函数的图象和性质可得当时，有最大值，
所以，即的取值范围为.
20. 已知函数．
（1）求的定义域;
（2）求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.
（2）运用对数运算性质将化简为,根据(1)中的定义域求得的范围,再根据的单调性即可求得值域.
【小问1详解】
因为,
所以,解得,
所以的定义域为．
【小问2详解】
因为
,
由(1)知的定义域为,
所以,,，
因为是增函数，所以，
故的值域为．
21. 已知函数.
（1）证明：当时，在上有零点.
（2）当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据零点存在性定理即可计算端点处的函数值进行求证，
（2）根据函数的单调性求解在上的值域，进而根据 或即可求解.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以，
因此在上有零点.
【小问2详解】
当时，，由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增.又，故在上的值域为，
且关于x的方程在上没有实数解，故 或，即或
所以m的取值范围为.
22. 已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的单调递增区间；
（3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立?若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题；
（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可；
（3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.
【小问1详解】
由图可知，
，则，，
所以，.
所以，即
又，所以当时，，
所以.
【小问2详解】
将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得：，
再向右平移个单位长度得到：
，
由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为
【小问3详解】
由，得，
由，得，
所以，
所以.
又，得，
所以.
由题可知，
得，
解得，
所以存在，
使得成立.