江西省赣州市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份江西省赣州市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列与集合表示同一集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐个选项分析特征，选择符合题意的.
【详解】方程的解为或，所以，C选项正确；
A选项不是集合，BD选项表示的是点集，只有C选项符合.
故选：C
2. 命题“，有”的否定为（ ）
A. ，使B. ，使
C. ，使D. ，使
【答案】A
【解析】
【分析】将任意改成存在，结论改成否定形式即可.
【详解】由题意可知：命题“，有”的否定为：，使得.
故选：A
3. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，即可得解.
【详解】当时，，则，
当时，，解得，
综上.
故选：B.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用根式、指数式和对数式的运算法则，判断三个数的范围，再比较大小.
【详解】；，即；，，
所以.
故选：D
5. 在某次测量中得到的A样本数据为：20，21，21，22，22，22，23，23，23，23.若B样本数据恰好是A样本对应数据都加5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A. 众数B. 平均数C. 标准差D. 中位数
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数，平均数，中位数以及标准差的定义和性质即可求解.
【详解】设A样本的10个数据分别为，则B样本的10个数据对应为，故B的众数，平均数以及中位数分别为A的众数，平均数以及中位数分别加5，A，B的标准差是一样的.
故选：C
6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，求出关于的函数解析式，再令，解出的值，即可得解.
【详解】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，
当时，，
当时，，
当时，.
令，解得.则此户居民本月用水量为.
故选：A.
7. 已知函数的定义域为，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义列出和的方程组求解即可．
【详解】函数的定义域为，设函数， ，
则，，
即，解得，所以，
故选：B
8. 已知函数，.若对所有，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意有在时恒成立，设，由即可解出实数的取值范围.
【详解】，由， 当且仅当即时等号成立，，
若对所有，恒成立，所以对所有恒成立，
设，依题意有，解得，即.
所以实数的取值范围是为.
故选：D
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9. 若，则集合可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由集合并运算分析可得集合需满足的条件，列举法写出满足条件的集合即可.
【详解】由题意知，且，所以或或或.
故选：BD.
10. 下列判断正确的是（ ）
A. 是上的增函数B. 函数的值域是
C. “”是“”的充要条件D. 与表示同一函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据二次函数及分段函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据幂函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断C，求出两函数的定义域，即可判断D.
【详解】对于A：因为，
所以当时，则函数在上单调递增，且，
当时，则函数在上单调递增，且，
所以在上单调递增，故A正确；
对于B：令，则，所以，即函数的值域是，故B正确；
对于C：因为在定义域上单调递增，所以，且，
故“”是“”的充要条件，即C正确；
对于D：函数的定义域为，函数的定义域为，
两函数的定义域不相同，故不是同一函数，即D错误；
故选：ABC
11. 设正实数满足，则下列说法正确是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，（当且仅当时取等号），A错误；
对于B，（当且仅当，即时取等号），B正确；
对于C，（当且仅当时取等号），C正确；
对于D，(当且仅当时取等号)，，D正确.
故选：BCD.
12. 已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数”.
【详解】时，，，当时，有，为“理想函数”，A选项正确；
时，，，当时，有，不“理想函数”，B选项错误；
时，，，当时，有，为“理想函数”，C选项正确；
时，，，当时，有，为“理想函数”，D选项正确；
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念.
解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式以及0次方满足的关系即可求解.
【详解】的定义域满足 ，解得且，
故答案为：
14. 用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设，计算，，的值，由零点存在性定理可得出结果.
【详解】令，则，，，
由知根所在区间为．
故答案为：．
15. 甲、乙、丙三名同学将参加2023年高考，根据高三年级半年来的各次测试数据显示，甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为，和.设三人是否考135分以上相互独立，则这三人在2023年高考中至少有两人数学考135分以上的概率为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】这三人在2023年高考中至少有两人数学考135分以上包括甲、乙、丙三人中两人或者三人数学都考135分以上两种情况，分别求其概率相加即可.
【详解】已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为，和，且三人是否考135分以上相互独立，
则三人中两人数学考135分以上的概率为：，
三人数学都考135分以上的概率为：，
所以甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率为.
故答案为：.
16. 已知函数，设，若，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可得a与b的关系，则，令，化简为二次函数，再利用二次函数的性质求出值域即可.
【详解】因为函数f(x)在区间，上都是单调递增函数，
若，，，满足，
必有，则，得，
所以，，令，
令，在上递增，，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入集合A中，先求，再求；
（2）由，分和两个类型讨论.
【小问1详解】
若，则，
由或，得，
则；
【小问2详解】
因为，当时，，解得，符合题意;
当时，有①或② ，
解①得，解②得，
因为，
所以实数的取值范围.
18. 已知幂函数在上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性，建立方程，可得答案；
（2）由（1）可得函数解析式，整理不等式，构造新函数，利用二次函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
因为是幂函数，所以，即
解得或2，
因为在上单调递增，所以，即；
【小问2详解】
由（1）知即，要使此不等式在上恒成立，
只需使函数在上的最小值大于0即可，
因为在上单调递减，
所以，
由，解得，所以实数的取值范围是.
19. 已知，（且）.
（1）求的值；
（2）若，求函数的零点.
【答案】（1）
（2）1和
【解析】
【分析】（1）根据指数与对数的关系得到，再根据幂的运算法则计算可得；
（2）根据函数解析式，分别令，求出所对应的的值，即可得解.
【小问1详解】
解：因为，所以，
所以.
【小问2详解】
解：因为，
①当时，令，即，
解得，所以是函数的一个零点，
②当时，令，即，
因为，所以，
所以，
解得，
由及，解得，
所以是函数的一个零点，
综上所述，函数的零点是和.
20. 2022年秋季学期，全国各省（区、市）已全面实施新课程新教材.为了加快新课程新教材的实施，促进教考有效衔接，某市教育部门组织该市全体新高一教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分）.现从该市参加测试的数学老师中抽取了120名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成六组：第一组，第二组，…，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值以及这120人中测试成绩在的人数；
（2）若要从第四、五、六组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率.
【答案】（1），18
（2）
【解析】
【分析】（1）由所有频率之和为1，即可求出a的值.再利用频率总数=频数，即可求出测试成绩在的人数.
（2）分别求出分层抽样第三、四、五组的人数，再利用列举法即可求出答案.
【小问1详解】
由题意得，
解得，
因此这120人中测试成绩在的人数为（人）；
【小问2详解】
因为第四组的频率为，第五组的频率为，
第六组的频率为，
所以从第四、五、六组老师中用分层抽样的方法抽取6人时抽取的人数依次为：
人，人，人，
设第四组抽取的3人为，，，第五组抽取的2人为，，第六组抽取的1人为
则从这6人中抽取2人的所有情况如下：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中第四组至少有1名老师被抽到的有：
，，，，，，，，，，，，共12种.
所以第四组至少有1名老师被抽到的概率为.
21. 我国手机所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查，某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为50万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且.当该公司一年内共生产该款手机1万部并全部销售完时，年利润为433万美元.
（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式：
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）当万部时，最大利润为8525万美元
【解析】
【分析】（1）根据该公司一年内共生产该款手机1万部并全部销售完时，年利润为433万美元，求出，然后由，将代入即可.
（2）当时，利用二次函数性质求出最大值；当时，利用基本不等式求出最大值，比较两个最大值，确定时的最大值即可.
【小问1详解】
因生产该款手机1万部并全部销售完时，年利润为433万美元.
所以，解得.
当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
①当时，，
则，当且仅当时取等号.
②当时，，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
综合①②知，当时，W取最大值，最大利润为8525万美元.
22. 已知，函数为奇函数，.
（1）求的值；
（2），，在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出参数的值，再代入检验即可；
（2）令，根据对数型复合函数的单调性得到的单调性，依题意可得，令，问题等价于关于的方程（）在有两个不等实数根，令，再根据一元二次方程根分布得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
解：因为为奇函数，所以，
所以在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立，所以，解得，
当时，的定义域为，定义域不关于原点对称，此时没有奇偶性，
当时，的定义域为，关于原点对称，
且，符合题意，
综上可得，；
【小问2详解】
解：令，
因为在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以在上单调递减，
因为在区间上的值域为，
所以，即，
令（因为，所以），
易知，关于的方程在上有两个不等实数根，，
等价于关于的方程（）在有两个不等实数根，
令，对称轴，
则，解得，
所以的取值范围是.每户每月用水量
水价
不超过的部分
2.5元
超过但不超过的部分
5元
超过的部分
7.5元