江西省南昌市2022-2023学年高一上学期调研检测（期末）数学试题

这是一份江西省南昌市2022-2023学年高一上学期调研检测（期末）数学试题，共16页。试卷主要包含了 已知集合，则中元素的个数为， 已知函数，若，则， 若，则函数的图象不经过， 方程在区间内， 已知，给出下列四个不等式， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由条件用列举法表示可得结论.
【详解】因，
所以，
故集合中元素的个数为3，
故选：D.
2. “”是“函数与的图象关于直线对称”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据反函数图象对称性判断的取值，结合充分、必要条件的定义得答案.
【详解】当时，函数与互为反函数，故函数与的图象关于直线对称，充分性成立；
若函数与的图象关于直线对称，则均可，必要性不成立；
故“”是“函数与的图象关于直线对称”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知函数，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据的值求出的值.
【详解】由得，由得，
若，则，解得，舍去；
若，则，解得，符合题意；
故选：C.
4. 若，则函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的图像特征即可求解结论．
【详解】，
在上单调递减，且过第一，第四象限，
图像向左平移个单位，得到，
故函数的图象不经过第一象限，
故选：．
5. 方程在区间内（ ）
A. 没有解B. 有唯一的解C. 有两个不相等的解D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】先得到在上单调递增，结合和领导存在性定理得到答案.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增，
又，
由零点存在性定理可得在区间有唯一的解.
故选：B
6. 已知，给出下列四个不等式：①；②；③；④其中不正确的不等式个数是（ ）．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由可得，根据不等式的性质逐一判断①②③④是否正确，即可得正确答案.
【详解】因为，所以，
对于①，由，则，故①不正确；
对于②，由可得，故②不正确；
对于③，由，知，，所以，故③正确；
对于④，在上单调递增，，所以，故④正确，
所以③④正确，正确的有个，
故选：C
7. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算的值域.
【详解】当时,，
∴，
当时,，
∴，
∴函数的值域为.
故选:B.
8. 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得，分别比较与，与的大小可得的大小.
【详解】，
，所以，
，所以，
所以.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型的商店的数量之比为，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有（ ）
A. 1500家商店是总体
B. 样本容量为60
C. 大、中、小型商店分别抽取4、20、36家
D. 被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.利用总体的定义判断；B.利用样本容量的定义判断；C.根据三种类型的商店的数量之比为求解判断；D.由样本的定义判断.
【详解】A. 1500家商店的每日零售额是总体，故错误；
B. 从中随机抽取60家商店，则样本容量为60，故正确；
C. 因为三种类型的商店的数量之比为，所以大、中、小型商店分别抽取4、20、36家，故正确；
D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本，故正确，
故选：BCD
10. 已知，若“，使得”是假命题，则下列说法正确的是（ ）
A. 是R上的非奇非偶函数，最大值为1
B. 是R上的奇函数，无最值
C. 是R上的奇函数，m有最小值1
D. 是R上的偶函数，m有最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】先求得函数的定义域，结合函数的解析式可得与的关系，即可判断奇偶性，将函数的解析式变形，求得函数的值域，从而得到的取值.
【详解】由题意，函数的定义域为R，关于原点对称，
又由所以函数为定义域上的奇函数.
“，使得”是假命题，
所以，使得恒成立.则只需.
根据题意，函数，变形可得，
即函数值域为.
所以，即m有最小值1.
故选：BC.
11. 已知函数，若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. m的取值范围为B. 的取值范围为
C. D. 最大值为1
【答案】AC
【解析】
【分析】作出的大致图象，根据图象求出，，，的范围即可判断AB选项，由得到，的关系即可判断CD选项.
【详解】函数图象如图所示：

由图可得，A正确；
当时,, 故，B错误；
又且，
故, 可得，C正确
又可得， 又，故等号不成立,
即，D错误,
故选：AC.
12. 若m，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数单调性可得m,n关系，特值法判断A选项，基本不等式求出B,C ,D选项.
【详解】，
单调递减，，
当时满足，A选项错误；
，B正确；
，C正确；
，D选项正确.
故选：BCD.
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数是定义在上的偶函数，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】由函数为偶函数，定义域关于原点对称，求得，代入求解即可．
【详解】因为函数是定义在，上的偶函数，
所以，解得，
所以，
所以．
故答案为：2．
14. 在某次数学测验中，5位学生的成绩分别为：70，85，t，82，75，若他们的平均成绩为81，则他们成绩的分位数为________．
【答案】85
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求解即可．
【详解】由题意知，
解得，
把这组数据按从小到大的顺序记为：70，75，82，85，93，
指数，这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第四个数，
因此，这组数据的75%分位数为85．
故答案：85．
15. 现有A，B两个网站对一家餐厅进行好评率调查，调查结果显示好评率分别为和．若A，B两个网站调查对象中给出好评的人数之比为，这家餐厅的总好评率大概是________%．（保留两位有效数字）
【答案】92
【解析】
【分析】根据已知条件，结合A，B两个网站调查对象中给出好评的人数之比为3：4，即可求解.
【详解】A，B两个网站调查对象中给出好评的人数之比为，则这家餐厅的总好评率大概是.
故答案为：92
16. 要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取________次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】根据二分法区间长度每次减半，求出满足条件所取次数；结合零点存在性定理判断近似解所在的区间，直到区间长度为0.0625
【详解】初始区间的长度为1，第一次分割后区间长度为0.5，第二次分割后区间长度为0.25，第三次分割后区间长度为0.125，第四次分割后区间长度为0.0625，第五次分割后区间长度为，第六次分割后区间长度为，所以精确度为0.02时应用二分法逐步最少取6次.
令
第一次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.5；
第二次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.25；
第三次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.125；
第四次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.0625，满足题意，
故所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为
故答案为：2；
四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，得到，再利用平方关系得到求解；
（2）利用单调性的定义证明；
【小问1详解】
解：若，则，
所以，则，
；
【小问2详解】
在上任取，，且，
则 ，
因为，所以，，
故，即，
所以函数在上单调递增．
18. 已知函数，．
（1）集合，，若，求a的值；
（2）集合，，若，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可求出，根据可得出是方程的一个根，进而可求出的值；
（2）根据可得出方程无解，从而得出△，然后解出的范围即可．
【小问1详解】
因为，，所以，
又因为，，
所以是的一个根，
则，所以，经检验满足题意，
【小问2详解】
因为，
所以函数与的图象没有交点，
则方程无解，
即方程无解，
所以，故．
19. 在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于．
（1）求a，b的值；
（2）问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）结合和，得到，解出，再计算即可；
（2）根据，化简整理得到，由此得到，即可得到答案．
【小问1详解】
当时，；
当时，；
解得，即，
解得或（舍去），则；
【小问2详解】
由，
即，即，
故，
即携带的燃料的质量与飞行器（除燃料外）的质量之比超过63时，该飞行器最大速度不小于第二宇宙速度．
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式和单调区间；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；单调增区间为，；单调减区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数求解函数的解析式，并求解单调区间即可；
（2）方程有两个不相等的实数根，转化为与的图象有两个不同的交点，画出图象求解即可.
【小问1详解】
当时，；当时，有，
此时．
故函数的解析式为
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
由奇函数的性质，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
故函数的单调增区间为，；
单调减区间为，；
【小问2详解】
如图：

当时，；；
当时，；；
当时，；；
当时，；
故．
21. 古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．
（1）求频数分布表中a的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
（2）已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1），中位数为75，平均数为74
（2），
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可求，根据中位数和平均值的定义即可求；
（2）根据平均数和方差的定义即可求解
【小问1详解】
由，解得：，
由，所以，
由成绩在的频率为0.3，所以中位数为，
．
【小问2详解】
由表可知，分数在的市民人数为10人，
成绩在的市民人数为20人，
故，
．
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．
22. 已知函数．
（1）分析的最值情况；
（2）若函数在区间上，恒成立，求正实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令，则，根据基本不等式求范围即可；
（2）讨论在区间上单调性，求出的最值，根据，求得正实数a的取值范围．
【小问1详解】
函数，则，
令，故

当时，即时，，当且仅当时等号成立；
当时，即时，，当且仅当时等号成立，
综上：当时，的最小值为，没有最大值；
当时，的最大值为，没有最小值．
【小问2详解】
易知，因为，解得．
（i）当时，即当时，在上单调递增，
所以，当时，，
，解得，此时；
（ii）当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，可得，，
因为，，则，
所以，，可得，此时．
综上所述，．左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
0
1
2
0.5
1
2
0.5
0.75
0.09375
0.625
0.75
0.09375
0.6875
0.75
0.09375
0.71875
0.75
0.09375
0.734375
0.75
0.09375
0.734375
0.7421875
0044219017
样本分数段
频数
5
10
20
a
25
10