2024年湖南省数学中考一轮模拟卷（二）

这是一份2024年湖南省数学中考一轮模拟卷（二），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．倒数是（ ）
A．B．C．15D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．校运会100米项目预赛，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小米已经知道自己的成绩他想确定自己是否进入决赛，只需要知道这15名运动员成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
7．下列命题中是假命题的是（ ）
A．同位角相等B．单项式的次数是3
C．两点之间线段最短D．菱形的对角线互相垂直
8．如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
9．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若有意义，则的取值范围是 ．
12．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
13．口袋里有大小相同的8个红球、4个白球和4个黄球，从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性是 ．
14．如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则点到BC的距离为 ．
15．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以PA、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为 ．
16．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是： ．（填序号）
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．

20．为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．

(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
21．如图所示，为了知道楼房外墙上一广告屏的高度是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得，在B处测得，点A、B、C共线，于点C，于点F，为20米，米，测角仪的高度（）为米，根据测量数据，请求出的值．（结果精确到米，参考数据：，，，）

22．暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生，现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元．
(1)请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？
(2)经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按（为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求的最大值．
23．如图，是的直径，点在上，于点，交于点，过点作，分别交，的延长线于点，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线上一点，且在第四象限，设点的横坐标为，过点作于，求为何值时，线段的值最大；
(3)为抛物线上的动点，连接，当与的一个内角相等时，直接写出点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了倒数，熟记倒数的定义是解题的关键，根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【详解】解：根据倒数的定义得：
的倒数是；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是轴对称图形，
故选：D．
3．D
【分析】根据单项式乘多项式，同底数幂的乘法，有理数的乘方，完全平方公式对各选项计算判断即可．
【详解】解：A中，正确，故不符合要求；
B中，正确，故不符合要求；
C中，正确，故不符合要求；
D ，错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法，有理数的乘方，完全平方公式．熟练掌握单项式乘多项式，同底数幂的乘法，有理数的乘方，完全平方公式是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
由①得，−，
由②得，，
故原不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故答案为：D．
6．C
【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可得到答案．
【详解】解：共有15名选手参加比赛，取前8名，
所以小米需要知道自己的成绩是否进入前8，把15个不同的成绩按从小到大排序，第8名的成绩是这组数据的中位数，
所以小米要知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛，
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数的意义，中位数是指：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，熟练掌握此定义是解题的关键．
7．A
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据平行线的性质，单项式的概念，线段的性质，菱形的性质逐项判断即可．
【详解】因为同位角不一定相等，所以A是假命题，符合题意；
因为单项式的次数是，所以B是真命题，不符合题意；
因为两点之间线段最短，所以C是真命题，不符合题意；
因为菱形的对角线互相垂直，所以D是真命题，不符合题意．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．作，根据角平分线的性质得到，即可得答案．
【详解】解：过点作于，如图所示，
∵，平分，
∴，即是点到的距离为，
故选A．
9．C
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：972亿，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵与位似，位似中心为，
∴，，
∵的面积与的面积之比是，
∴的面积与的相似比是，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
11．且
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，以及分母不等于0，即可求的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】主要考查了二次根式以及分式有意义的条件．解题的关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；分式有意义的条件是分母不等于零．
12．
【分析】根据根与系数的关系计算即可．
【详解】设另一个根为，则，解得
故答案为
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解题的关键，也可以把代入方程求出k的值再解方程．
13．
【分析】根据红球的个数÷总个数=摸出红球的可能性即可得出答案．
【详解】解：8+4+4=16（个），
，
故摸到红球的可能性是．
故答案为．
【点睛】本题考查简单概率计算．对于这类题目，看红球被摸到的可能性是几分之几，就看红球占总数的几分之几就可以了．
14．
【分析】过点作E⊥AC于E，D⊥BC于D，得到四边形DCE是矩形，由∠AC=60°，得到∠AE=30°，求出AE，由此求出答案．
【详解】解：过点作E⊥AC于E，D⊥BC于D，
∵，
∴四边形DCE是矩形，
∵A=AC=，∠AC=60°，
∴∠AE=30°，
∴，
∴D=CE=-=，
故答案为：．
【点睛】此题考查旋转的性质，矩形的判定定理及性质定理，直角三角形30度角的性质，熟记矩形的判定及旋转的性质是解题的关键．
15．3
【分析】作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如图，利用正方形的性质得△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，则AM＝PM，PN＝BN，所以MN＝AB＝3，再证明四边形O1MNO2为矩形得到O1Q＝MN＝3，然后根据垂线段最短得到O1O2的最小值．
【详解】解：作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如图，
∵四边形APDC和四边形PBEF都为正方形，
,
∴△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，
∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，
∴AM＝PM，PN＝BN，
∴MN＝PM+PN＝AB＝3，
∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，
,
∴四边形O1MNO2为矩形，
∴O1Q＝MN＝3，
∵O1O2≥O1Q，
∴O1O2的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．
16．①②③
【分析】连接，先证，利用全等三角形的性质可得出，进而可得出，结论①正确；由三角形的内角和定理、结合，可得，结论②正确；由可得出，结合图形可得出，结论③正确．
【详解】解：如图，连接，
为等腰直角三角形，点为的中点，
，，．
，，
．
在和中，，
，
，
，则结论①正确；
，，，
，则结论②正确；
，
，
，则结论③正确；
综上，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
17．
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
18．，5．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．证明见详解；
【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件．
20．(1)40，55
(2)36
(3)
【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所占的百分数；
（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；
（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数（人），
投中2次的人数为：（人），
扇形统计图中，
故答案为：40，55；
（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，
，
即恰好抽到一男一女的概率是．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表或画树状图法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图间的信息进行关联，掌握列表或画树状图法求概率的原理．
21．
【分析】先证明四边形都是矩形得到，则，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴四边形都是矩形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确解直角三角形求出的长是解题的关键．
22．(1)家长的报价为500元，学生的报价为480元；
(2)m的最大值为8
【分析】（1）设家长的报价为x元，学生的报价为元，由题意：一名学生带一名家长，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元，列出分式方程，解之即可；
（2）由题意：甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按七折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按m（m为整数）折收费，他们选择了总费用较少乙机构，列出一元一次不等式，解不等式，进而求解．
【详解】（1）解：设家长的报价为x元，学生的报价为元，
由题意得： ，
解得：， 经检验，是分式方程的解， 则，
答：家长的报价为500元，学生的报价为480元；
（2）由题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由是的直径，点在上，可得，证明，则，进而结论得证；
（2）证明四边形是矩形，则，由，可得，即，设，则，勾股定理得，，由，可得，解得，则，进而可得结果．
【详解】（1）证明：∵是的直径，点在上，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
由勾股定理得，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正切，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点、的坐标分别为：、，运用待定系数法即可求解；
（2）设点，过点作轴，交直线于点，则，可得，再证得，得出，即，运用二次函数最值即可得出答案；
（3）分、、三种情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
解得：，
、，
抛物线经过，两点，
，
解得：，
该抛物线的表达式为：；
（2）解：设点，过点作轴，交直线于点，
则，
，
轴，
，
又，
，
，
，
，
，
、，
，，
在中，，
，
，
，
当时，最大．
（3）解：①时，
则直线的表达式为：，
与抛物线解析式联立，得，
解得：或0（舍去，
故点；
②当时，
当点在上方时，无解；
当点在下方时，
将沿折叠得到△，直线交轴于点、交抛物线为点，点为所求，
则，，设，
，即：，
解得：，
，
设直线的表达式为，则，
解得：，
直线的表达式为：，
与抛物线的解析式联立，得：，
解得：或0（舍去，
；
③当时，
当点在上方时，如图，
则，
设，则，，
在中，，
即：，
解得：，
点，
同理可得直线的表达式为：，
与抛物线的解析式联立，得：，
解得：或（舍去，
当时，，
；
当点在下方时，如图，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，即点与点关于抛物线的对称轴对称，设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，
解得：，
；
综上，点的坐标为：或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．