2022-2023学年北京大学附中元培班学院衔接班九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2022-2023学年北京大学附中元培班学院衔接班九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若k≠0，则函数y=kx2、y=kx在同一坐标系中的图象可能是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
2.已知函数y=−2x的值域为y>1，则定义域为( )
A. x<−2B. x>−2C. −23.已知函数f(x)=1− 2x 2−x，则f(cs30∘)、f(cs45∘)、f(cs60∘)的大小关系为( )
A. f(cs30∘)f(cs45∘)>f(cs60∘)
C. f(cs45∘)4.已知0∘<θ<45∘，则下列各式中正确的是( )
A. csθ<12B. tanθ>1C. sinθ>csθD. sinθ5.已知在△ABC中，∠A=60∘，AB=1+ 3，AC=2，则∠C=( )
A. 45∘B. 75∘C. 90∘D. 105∘
6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，P是对角线AC的一个三等分点，则下列判断中正确的是( )
A. △PAB与△PCD的面积之比为1：1
B. △PAD与△PBC的面积之比为1：2
C. △PAD与梯形ABCD的面积之比为1：6
D. 以上判断都不正确
7.如图，AB⊥AC、AD⊥BC，则下列判断中错误的是( )
A. AB2AC2=BDCD
B. AD2BC2=ABAC
C. AB2AD2=BCCD
D. AC2AD2=BCBD
8.假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，且与甲没有接触，丙称为次密切接触者.经过调查，发现A，B，C，D，E，F的接触情况如图所示.若两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段.已知A是确诊感染者，则从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为( )
A. 2B. 13C. 25D. 35
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
9.2tan245∘−sin260∘sin230∘=______ .
10.关于x的不等式1x2−1x<2的解集为______ .
11.已知反比例函数f(x)的图象经过二次函数g(x)=kx2−2x−2k+1k的图象的顶点，则f(x)=______ .
12.某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30∘，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60∘，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为______ m.
13.双曲线y=2x截直线y=x+1，所得的线段长度为______ .
14.在边长为1的正方形ABCD中，M是边AB的中点，P是对角线AC上的动点，则 2PM−PA的最小值为______ .
三、解答题：本题共3小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知在△ABC中，∠C为直角.
(Ⅰ)若AB=13，tanA=512，求△ABC的面积.
(Ⅱ)若BC=2 3，AD是角平分线，BD=2CD，求AB，AC的长度.
16.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中：
(Ⅰ)若曲线C1，C2的方程分别为F1(x,y)=0、F2(x,y)=0，则由C1，C2组合构成的图形，其方程为F1(x,y)⋅F2(x,y)=0.例如，由直线y=x、y=−x组合构成的相交直线，其方程为(x−y)(x+y)=0，即：x2−y2=0.
请尝试说明，由方程：xy−1=x−y、x4=y2表示的图形，分别是哪两条曲线的组合？
(Ⅱ)若直线L1，L2相交，方程分别为a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0，则方程为(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=k的曲线是以L1，L2为渐近线的双曲线，其中k为非零常数.例如，以坐标轴为渐近线的双曲线，方程为xy=k(k≠0).
请尝试说明，函数y=x+1x的图象是双曲线，并指出其渐近线的方程.
17.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，经过点C的直线分别与AB，AD的延长线相交于点P，Q，QB，PD相交于点O.
(Ⅰ)求证：BD2=PB⋅DQ；
(Ⅱ)求证：BD2=OD⋅PD.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当k>0时，函数y=kx2的图象开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴；函数y=kx的图象位于第一、三象限，故①符合题意，②不符合题意；
当k<0时，函数y=kx2的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴；函数y=kx的图象位于第二、四象限，故③不符合题意，④符合题意；
故选：B.
根据二次函数的性质和反比例函数的性质，可知当k>0和k<0，两个函数图象所在的象限，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2.【答案】C
【解析】解：函数y=−2x，当y=1时，x=−2，
∵函数y=−2x的图象在第一三象限，
∴函数y=−2x的值域为y>1，定义域为−2故选：C.
根据反比例函数的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数的性质，正确地求出反比例函数的定义域是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：f(cs30∘)=1− 2cs30∘ 2−cs30∘
=1− 2× 32 2− 32
=2− 622 2− 32
=2− 62 2− 3
= 2−2 35<0，
f(cs45∘)=1− 2cs45∘ 2−cs45∘
=1− 2× 22 2− 22
=1−1 22
=0，
f(cs60∘)=1− 2cs60∘ 2−cs60∘
=1− 2×12 2−12
= 22 2−1
=4+ 27>0.
∵ 2−2 35<0<4+ 27.
∴f(cs30∘)故选：A.
根据函数的运算规定，分别计算出f(cs30∘)、f(cs45∘)、f(cs60∘)的值，比较得结论．
本题主要考查了实数大小的比较，掌握二次根式的运算顺序、运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而0∘<θ<45∘，所以csθ>cs60∘，即csθ>12，因此选项A不符合题意；
B.由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以tanθC.由于csθ=sin(90∘−θ)，而0∘<θ<45∘，即45∘<90∘−θ<90∘，所以sinθD.由于sin⁡θ=锐角θ的对边斜边，tan⁡θ=锐角θ的对边锐角θ的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以sinθ故选：D.
根据逐项进行判断即可．
本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．
5.【答案】B
【解析】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ACD中，
∵∠A=60∘，
∴∠ACD=30∘.
∵sinA=CDAC，csA=ADAC，
∴CD=sin60∘×2= 3，
AD=cs60∘×2=1.
∴BD=AB−AD=1+ 3−1= 3.
在Rt△BCD中，
∵CD=BD，
∴∠BCD=45∘.
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=75∘.
故选：B.
过点C作CD⊥AB，先在Rt△ACD中求出∠ACD、CD、AD，再求出BD，最后在Rt△BCD中，利用等腰三角形的性质得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的函数值及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：做AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∵AD//BC，
∴∠AMN=∠DNM=∠DAM=90∘，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，
∵△ABC的面积=12BC⋅AM，△DBC的面积=12BC⋅DN，
∴△ABC的面积=△DBC的面积，
∴△ABC的面积−△PBC的面积=△DBC的面积−△PBC的面积，
∴△PAB的面积=△PDC的面积，
∴△PAB△PDC的面积比为1：1；
∵AD//BC，
∴△PAD∽△PCB，
∴S△PADS△PCB=(PAPC)2，
∵P是对角线AC的一个三等分点，
∵PAPC=12，
∴S△PADS△PCB=(12)2=14，
∴△PAD的面积△PCB的面积的比是1：4；
∵AD//BC，
∴PD：PB=PA：PC=1：2，
∴△PAD的面积：△PAB的面积=1：2，△PAD的面积：△PCD的面积=1：2，
令△PAD的面积=S，
∴△PAB的面积=△PCD的面积=2S，△PBC的面积=4S，
∴梯形ABCD的面积=S+2S+2S+4S=9S，
∴△PAD的面积与梯形的面积的比是1：9.
故选：A.
由同底，等高的三角形的面积相等，相似三角形的性质，同高的三角形的面积的比等于底的比，即可解决问题．
本题考查梯形的有关知识，相似三角形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90∘，
∴∠BAC=∠BAD，
∵∠B为公共角，
∴△BAC∽△BDA，
∴ABAC=BDAD，
∴AB2AC2=BD2AD2，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90∘，
∴∠B+∠BAD=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠DAC=90∘，
∴∠B=∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴ADCD=BDAD，
即AD2=CD⋅BD，
∴AB2AC2=BD2CD⋅BD=BDCD，
∴此选项不符合题意；
B、不能证明AD2BC2=ABAC，
故此选项符合题意；
C、∵△BAC∽△BDA，
∴ABBC=BDAB，
即AB2=BD⋅BC，
∵AD2=CD⋅BD，
∴AB2AD2=BD⋅BCCD⋅BD=BCCD，
∴此选项不符合题意；
D、∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BAC=90∘，
∴△ADC∽△BAC，
∴ACBC=CDAC，
即AC2=CD⋅BC，
∵AD2=CD⋅BD，
∴AC2AD2=CD⋅BCBD⋅CD=BCBD，
∴此选项不符合题意；
故选：B.
根据两角分别相等的两个三角形相似证得△BAC∽△BDA∽△ADC，再根据相似三角形的对应边成比例证明即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可知B，D，F为密切接触者，C、E为次密切接触者，
∴从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为25.
故选：C.
根据概率公式计算即可．
本题考查了概率公式，正确理解题意和利用概率公式是关键．
9.【答案】−1
【解析】解：原式=212−( 32)2(12)2
=2−3
=−1，
故答案为：−1.
将特殊锐角三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
10.【答案】x<−1或x>12
【解析】解：1−xx2<2，
由题意得，x2>0，
∴1−x<2x2，
即2x2+x−1>0，
设y=2x2+x−1，
令y=0，
则2x2+x−1=0，
解得x1=−1，x2=12，
∵a=2>0，
∴当x<−1或x>12时y>0，
即1x2−1x<2的解集为x<−1或x>12.
故答案为：x<−1或x>12.
先根据不等式的性质得出2x2+x−1>0，再根据二次函数的性质解答即可．
本题考查了二次函数与不等式的关系，求出x的值是解题的关键．
11.【答案】−2x
【解析】解：∵二次函数g(x)=kx2−2x−2k+1k，
∴对称轴为直线x=−−22k=1k，
当x=1k时，函数值为：1k−2k−2k+1k=−2k，
∴二次函数g(x)=kx2−2x−2k+1k图象的顶点为(1k,−2k)，
设反比例函数的解析式为：f(x)=mx，
∵反比例函数f(x)的图象经过二次函数g(x)=kx2−2x−2k+1k的图象的顶点，
∴m=1k⋅(−2k)=−2，
故f(x)=−2x，
故答案为：−2x.
首先根据函数的解析式说出其顶点坐标，然后代入反比例函数的一般形式求得其解析式即可．
本题考查了二次函数的性质及待定系数法确定反比例函数的解析式的知识，解题的关键是正确的确定二次函数的顶点坐标．
12.【答案】4 3
【解析】解：如图，根据题意可知：∠BAC=30∘，∠DCB=30∘，AB=4×4=16(m)，
∴∠ADC=90∘，设CD=xm，
∴AD= 3AD= 3xm，BD= 33CD= 33xm，
∵AD+BD=AB，
∴ 3x+ 33x=16，
∴x=4 3(m).
答：这棵树与大厦的距离为4 3m.
故答案为：4 3.
根据题意可得∠BAC=30∘，∠DCB=30∘，AB=4×4=16(m)，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够造出直角三角形是解题的关键．
13.【答案】3 2
【解析】解：由y=2xy=x+1解得x=1y=2或x=−2y=−1，
∴双曲线y=2x与直线y=x+1的交点为(1,2)，(−2,−1)，
∴所截得的线段的长度为： (1+2)2+(2+1)2=3 2，
故答案为：3 2.
解析式联立成方程组，解方程组求得交点坐标，进一步即可求得所截线段的长度．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
14.【答案】0
【解析】解：如图，
作PQ⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45∘，
∴PQ= 22PA，
∴PM−PQ的最小值为0，
∵ 2PM−PA= 2(PM− 22PA)= 2(PM−PQ)，
∴ 2PM−PA的最小值为0，
故答案为：0.
作PQ⊥AB于M，可得出PQ= 22PA，从而PM−PQ的最小值，将 2PM−PA变形为 2(PM− 22PA)，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线转化线段．
15.【答案】解：(Ⅰ)在Rt△ABC中，
∵tanA=BCAC=512，
∴设BC=5k，AC=12k.
∵AB2=BC2+AC2，AB=13.
∴k=1.
∴BC=5，AC=12.
∴△ABC的面积=12BC⋅AC
=12×5×12
=30.
(Ⅱ)如图，过点D作DE⊥AB，垂直为E.
∵AD是角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE.
∵BD=2CD，
∴BD=2DE.
在Rt△BDE中，
∵sinB=DEBD=12，
∴∠B=30∘.
在Rt△ABC中，
∵csB=BCAB，BC=2 3，
∴AB=BCcs30∘
=2 3 32
=4.
∵tanB=ACBC，
∴AC=tanB⋅BC
= 33⋅2 3
=2.
【解析】(Ⅰ)先利用勾股定理和已知求出AC、BC，再根据三角形的面积得结论；
(Ⅱ)先利用角平分线的性质和直角三角形的边角间关系求出∠B，再根据直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、角平分线的性质是解决本题的关键．
16.【答案】解：(Ⅰ)由xy−1=x−y得：(x+1)(y−1)=0，
∴xy−1=x−y表示的图形由直线x=−1和y=1组合；
由x4=y2得：(x2−y)(x2+y)=0，
∴x4=y2表示的图形，由y=x2和y=−x2组合；
(Ⅱ)由y=x+1x得：xy=x2+1，
即x(y−x)=1，即k=1，
则双曲线渐近线的方程为x=0和y=x.
【解析】(Ⅰ)由xy−1=x−y得：(x+1)(y−1)=0，即可求解；由x4=y2得：(x2−y)(x2+y)=0，即可求解；
(Ⅱ)由y=x+1x得：xy=x2+1，即x(y−x)=1，即k=1，即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，解题的关键是通过阅读，理解新定义．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，AB//CD，AD//BC，
∴∠PBC=∠A=∠CDQ，∠APQ=∠DCQ，
∴△BCP∽△CDQ，
∴BPCD=BCDQ，
∵∠A=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=BC=CD，
∴BPBD=BDDQ，
∴BD2=PB⋅DQ；
(Ⅱ)∵BPBD=BDDQ，
∵∠PBD=∠BDQ=120∘，
∴△DBP∽△QBD，
∴∠BPD=∠QBD，
∵∠BDO=∠BDP，
∴△BDO∽△PBD，
∴BDDP=DOBD，
∴BD2=OD⋅PD.
【解析】(Ⅰ)由四边形ABCD是菱形，得到AB=AD=BC=CD，AB//CD，AD//BC，根据平行线的性质得到∠PBC=∠A=∠CDQ，∠APQ=∠DCQ，∠AEF=∠DCF，于是求得△BCP∽△CDQ，得到BPCD=BCDQ，等量代换即可得到BPBD=BDDQ；
(Ⅱ)推出△DBP∽△QBD，根据相似三角形的性质得到∠BED=∠FBD，证得△BDO∽△PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．