2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学的生日是同一天D. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球
3.在平面直角坐标系中，点(−5,1)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (5,−1)B. (5,1)C. (1,−5)D. (−5,−1)
4.用配方法解方程x2+2x=2时，配方后正确的是( )
A. (x+1)2=3B. (x+1)2=6C. (x−1)2=3D. (x−1)2=6
5.关于x的一元二次方程x2−4x−k=0没有实数根，则k的取值范围是( )
A. k>4B. k<4C. k>−4D. k<−4
6.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20∘，则∠CAD的度数是( )
A. 60∘
B. 65∘
C. 70∘
D. 75∘
7.如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP=10，∠OPT=30∘，则PT的长为( )
A. 3 3
B. 5 3
C. 5
D. 8
8.一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为( )
A. 6B. 36C. 12D. 144
9.点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在抛物线y=x2上.若y1A. m>4B. m<4C. m<12D. m>12
10.用12米长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )
A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 方案1或方案2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线y=−3(x−2)2+2的顶点坐标为______ .
12.一个布袋里放有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______ .
13.关于x的方程x2−3x+m=0有两根，其中一根为x=1，则两根之积为______ .
14.右表是某球员在罚球线上投篮的结果.则估计该球员投篮一次投中的概率约为______ (结果保留小数点后一位)
15.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，若P为AB的中点，则OP=______ .
16.一副三角板按图1放置，O是边BC(DF)的中点，BC=20cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60∘，AC与EF相交于点G，则FG的长是______ .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x2−7x−8=0.
18.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，BD是中线，且BD=4.
(1)用尺规作△EAD，使它与△BCD关于点D中心对称；
(2)若m=AB+BC，求m的取值范围.
19.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标.
20.(本小题8分)
某校九(1)班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传.
(1)若选1人，则恰好选中女生的概率是______ ；
(2)若选2人，求恰好选中一男一女的概率.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm.完成以下两个小题的解答：
(1)用尺规作BC的中点D，并以AD为半径作⊙A(不写作法，保留作图痕迹)，求证：⊙A与边BC相切；
(2)若⊙A恰好交于边AB的中点，求⊙A的半径长.
22.(本小题8分)
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价100元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加10x元(x为正整数且x≤15).
(1)当宾馆每天收入为8000元，求x的值.
(2)如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价.
23.(本小题8分)
老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是x2−8x+15=0的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积.
24.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−2bx+c=0有两个相等的实数根.
(1)若b=1，求c的值；
(2)在△ABC中，已知点A(0,c)，点B(b+1b,1c)(b>0)，点C在x轴上，且该方程的解是点C的横坐标.
①过点C作CD⊥x轴，交边AB于点D，求证：CD的长为定值；
②求△ABC面积的最小值.
25.(本小题8分)
在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，圆心为O，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE.
(1)如图1，若直线DE与圆O相切，求线段DE的长；
(2)求DE的最小值；
(3)如图2，若t=EA2+EB2+EC2+ED2，求t的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件，不符合题意；
D、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意；
故选：D.
一定不能发生的事件是不可能事件，据此判定即可．
本题考查了不可能事件即一定不能发生的事件，熟练掌握定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：点(−5,1)关于原点对称的点的坐标是(5,−1)，
故选：A.
根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
4.【答案】A
【解析】解：两边同时加1，得：x2+2x+1=3，
配方，得：(x+1)2=3.
故选：A.
方程两边同时加上1，再写为完全平方式即可．
本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．
5.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x−k=0没有实数根，
∴Δ=(4)2−4×(−k)<0，
解得：k<−4.
故选：D.
根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90∘，
∵∠ABC=20∘，
∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=70∘，
∴∠CAD=∠CBD=70∘，
故选：C.
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD=90∘，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OT，
∵PT与⊙O相切于点T，
∴OT⊥PT，
∴PT=OP⋅cs∠OPT=10× 32=5 3.
故选：B.
连接OT，则OT⊥PT，再根据PT=OP⋅cs∠OPT即可求解．
本题主要考查了切线的定义以及解直角三角形，解题的关键是掌握经过圆上一点，且垂直于半径的直线是原点切线．
8.【答案】C
【解析】解：∵S=12lr，弧长是10π，面积为60π，
∴60π=12×10π×r，
解得r=12，
故选：C.
根据S=12lr代入计算即可．
本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积与弧长的关系是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=x2的图象上，
∴y1=(m−1)2，
y2=m2，
∵y1∴(m−1)2∴(m−1)2−m2<0，
即−2m+1<0，
∴m>12，
故选：D.
根据y1本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
10.【答案】C
【解析】解：方案1：
设垂直于墙面的一边长为x，则平行于墙面的边长为(12−2x)，
则菜园面积=x(12−2x)=−2x2+12x=−2(x−3)2+18，(0∴当x=3时，y有最大值，最大值为18；
方案2：
设等腰三角形底边长为d，高为h，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AD=12AB=d2，AC=BC=12×12=6，
∴AD²+CD²=AC²，即(d2)²+h2=36，整理得：h2=36−d24，
∵S=12dh，
∴S2=14d2h2=14d2(36−d24)，
令d2=T，则S2=14T(36−T4)=−T216+9T=−116(T−72)²+324，
∴当T=72时，S2有最大值，最大值为324，
∴当d=2 6时，S有最大值，最大值为18，
方案3：
设半圆半径为r，
∵半圆的弧长为12米，
∴πr=12，解得：r=12π，
∴S=12π⋅(12π)²，
∵18<72π，
∴最佳方案是方案3.
故选：C.
分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，和求弧的半径，解题的关键是熟练掌握二次函数的图图象和性质，以及根据弧长求半径的方法．
11.【答案】(2,2)
【解析】解：∵抛物线y=−3(x−2)2+2，
∴抛物线y=−3(x−2)2+2的顶点坐标为(2,2).
故答案为：(2,2).
根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
12.【答案】23
【解析】解：摸到白球的概率=21+2=23，
故答案为：23.
根据概率公式进行计算即可．
本题主要考查了求等可能时间的概率，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】2
【解析】解：设方程的另一个根为a，
∵方x2−3x+m=0有两根，其中一根为x=1，
∴a+1=3，m=a
解得：m=2，
即两根之积为2.
故答案为：2.
设方程的另一个根为a，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握是一元二次方的两个实数根与系数的关系是解题的关键．
14.【答案】0.8
【解析】解：15÷20=0.75，
33÷40=0.825，
78÷100=0.78，
158÷200=0.79，
321÷400=0.8025，
801÷1000=0.801，
由此发现，随着投篮次数的增多，投中的频率在0.8附近摆动．
根据频率的稳定性，估计这名球员一次投中的概率为0.8.
故答案为：0.8.
根据投篮投中的频率估计投篮投中的概率，关键看随着投篮次数的增多，投中频率越接近的数就是投中的概率．
本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的数据附近左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的数据的近似值就是这个事件的概率．
15.【答案】3
【解析】解：连接AO，OP，
∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP=12AB=4，
∵⊙O的直径为10，
∴AO=5，
根据勾股定理可得：OP= AO2−AP2= 52−42=3.
故答案为：3.
连接AO，OP，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
本题主要考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确会出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解．
16.【答案】(5 3−5)cm
【解析】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，∠EGF=∠BAC=90∘，∠DEF=60∘，∠DFE=30∘，∠ABC=∠ACB=45∘，BC=DF=20cm，
根据点O是边BC(DF)的中点，可得：BO=OC=DO=FO=10cm
∵△ABC绕点O顺时针旋转60∘，∠DFE=30∘，
∴∠BOD=NOF=60∘，
∴∠NOF+∠F=90∘，
∴∠FNO=180∘−∠NOF−∠F=90∘，
∴△ONF是直角三角形，
∴ON=12OF=5cm，
∴FN= OF2−ON2=5 3，NC=OC−ON=5cm，
∵∠FNO=90∘，∠ACB=45∘，
∴∠GNC=180∘−∠FNO=90∘，
∴△CNG是直角三角形，
∴∠NGC=180∘−∠GNC−∠ACB=45∘，
∴△CNG是等腰直角三角形，
∴NG=NC=5cm，
∴FG=FN−NG=(5 3−5)cm，
故答案为：(5 3−5)cm.
BC交EF于点N，由题意得，∠EGF=∠BAC=90∘，∠DEF=60∘，∠DFE=30∘，∠ABC=∠ACB=45∘，BC=DF=20cm，根据锐角三角函数即可得DE，EF，根据旋转的性质得△ONF是直角三角形，根据直角三角形的性质得ON=5cm，即NC=5cm，FN= OF2−ON2=5 3cm，根据角之间的关系得△CNG是等腰直角三角形，即NG=NC=5cm，问题随之得解．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度．
17.【答案】解：∵x2−7x−8=0，
∴(x+1)(x−8)=0，
则x+1=0或x−8=0，
解得x1=−1，x2=8.
【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】解：(1)如图，延长BD到点E，使得BD=DE，连接AE，
则△EAD即为所求．
(2)∵△EAD≌△BCD，BD=4，
∴AE=BC，
∴m=AB+BC=AB+AE>BE=2BD=24=8.
【解析】(1)延长BD到点E，使得BD=DE，连接AE即可．
(2)根据△EAD≌△BCD，得到AE=BC，结合三角形三边关系定理计算即可．
本题考查的是作图-旋转变换，涉及到三角形三边关系定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
19.【答案】解：由表可知：抛物线经过(1,0)，(3,0)，
∴该抛物线的对称轴为直线：x=−1+32=1，
∵当x=1时，y=4，
∴该抛物线顶点坐标为(1,4)，
∵当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∵该抛物线对称轴为直线x=1，且经过(2,3)，
∴当x=0时，y=3，即A(0,3)，
综上：抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标(1,4)，点A坐标为(0,3).
【解析】根据表格中的数据可得抛物线经过(1,0)，(3,0)即可求出抛物线的对称轴，进而得出顶点坐标，分析该抛物线的增减性，即可判断开口方向．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握熟练掌握二次函数的增减性，对称性等知识点．
20.【答案】35
【解析】解(1)∵男生2人，女生3人，
∴选1人，则恰好选中女生的概率是35.
故答案为：35.
(2)根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中符合题意的有12种，
∴P=1220=35.
(1)根据概率公式计算即可．
(2)画树状图计算即可．
本题考查了概率公式计算，用画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图计算概率是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，点D和⊙A即为所求；
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AD为⊙A的半径，
∴⊙A与边BC相切；
(2)解：设边AB的中点为点E，⊙A的半径为r cm，
∴AD=AE=BE=rcm，
∵BC=6cm，
∴BD=3cm，
在Rt△ABD中，
∵AB2=BD2+AD2，
∴(r+r)2=32+r2，
解得：r= 3(负值舍去)，
即⊙A的半径为 3cm.
【解析】(1)作∠BAC的平分线交BC于点D，再以AD为半径作⊙A，再根据等腰三角形 的性质可得AD⊥BC即可；
(2)设边AB的中点为点E，⊙A的半径为r，可得AD=AE=BE=r，在Rt△ABD中，根据勾股定理求出r，即可求解．
本题主要考查的是作图-基本作图，涉及到切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，作已知角的平分线，灵活运用勾股定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可得，
宾馆每个房间定价增加10x元后，这天游客租住了(50−x)间房，每间房间的利润是(100+10x)元，
由题意可得，(100+10x)(50−x)=8000，
解得x1=10，x2=30，
∵x为正整数且x≤15，
∴x=10，
答：宾馆每天的收入为8000元时，x=10；
(2)设利润为W元，
由题意可得W=(100+10x)(50−x)=−10(x−20)2+9000，
∴该函数图象开口向下，对称轴为x=20，
∵x为正整数且x≤15，，
∴x=15时取得最大值，此时W=8750，100+10x=100+10×15=250，
答：房价定为250元时，宾馆每天的利润最大．
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可知宾馆每个房间定价增加10x元，也就会有x个房间空闲，然后即可得到这天游客租住的房间数和每间房间的利润；根据宾馆每天的利润能达到8000元可以列出相应的方程，从而求出答案；
(2)根据题意，可以得到利润W和x之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到房价定为多少时，宾馆每天的利润最大．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
23.【答案】解：x2−8x+15=0，
解得：x1=3，x2=5，
当第三边长是3时，三角形三边长为3，3，4，
如图，AB=AC=3，BC=4，点O为△ABC的外接圆，连接OA，OB，OA交BC于点D，
∵点O为△ABC的外接圆，AB=AC=3，
∴OD垂直平分BC，
∴BD=12BC=2，
∴AD= AB2−BD2= 5，
设OA=OB=r，
∵OB2=BD2+OD2，
∴r2=(r− 5)2+22，
解得：r=9 510，
∴这个三角形的外接圆面积为π×(9 510)2=8120π；
当第三边长是5时，三角形三边长为3，4，5，
如图，AB=3，AC=4，BC=5，点O为△ABC的外接圆，连接OA，
∵AB=3，AC=4，BC=5，，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90∘，
∵点O为△ABC的外接圆，
∴BC为圆O的直径，
∴OA=12BC=52，
∴这个三角形的外接圆面积为π×(52)2=25π4；
综上所述，这个三角形的外接圆面积为8120π或254π.
【解析】利用因式分解法求出三角形的第三边长，然后分两种情况：当第三边长是3时，当第三边长是5时，结合三角形外接圆的性质解答，即可．
本题主要考查了解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵关于x的方程x2−2bx+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−2b)2−4c=0，
∴b2=c，，
当b=1时，c=b2=1；
(2)①∵关于x的方程x2−2bx+c=0有两个相等的实数根，
∴x=−b2a=−−2b2=b，
点C(b,0)，
∵点B(b+1b,1c)(b>0)，
∴b+1b>b，
∴点C在点B的左侧，
∵b2=c，A(0,c)，
∴A(0,b2)，点B(b+1b,1b2)(b>0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b2，
∴1b2=k(b+1b)+b2，
解得k=1b−b，
∴直线AB的解析式为y+(1b−b)x+b2，
当x=b时，y=(1b−b)×b+b2=1，
∴D(b,1)，
∴CD=1−0=1，是定值．
②∵b>0，1b>0，
∴( b−1 b)2≥0即b+1b≥2，
∴S△ABC=12⋅CD⋅|Bx|=12×1×(b+1b)≥1，
∴△ABC面积的最小值为1.
【解析】(1)利用根的判别式计算即可；
(2)①根据方程确定点C的横坐标，判定点C的位置，统一字母表示，确定直线AB的解析式，再确定点D的坐标，计算CD的长即可；
②根据b>0，1b>0得到( b−1 b)2≥0，即b+1b≥2，结合S△ABC=12⋅CD⋅|Bx|，计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，求方程的解，一次函数的解析式，完全平方式的性质，熟练掌握根的判别式，解析式的确定，完全平方式的非负性是解题的关键．
25.【答案】解：(1)连接OE，OD，
∵边长为10的正方形ABCD，直线DE与⊙O相切，E为切点，
∴AD=10，∠OAD=∠OED=90∘，OA=OE，
在△OED和△OAD中，
OD=ODOA=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OAD(HL)，
∴OE=AD=10.
(2)如图1，连接OD，
设OD与半圆于点M，当点E与点M重合时，DE最短，
∵边长为10的正方形ABCD，
∴AD=10，∠OAD=90∘，OA=OE=OM=5，
∴OD= AD2+OA2= 102+52=5 5，
∴DE=OD−OE=5 5−5.
(3)∵AB为直径，
∴AB=10，∠AEB=90∘，
∴EA2+EB2=100是定值，
故t的最小值，有EC2+ED2的最小值确定，
∵点E在半圆弧上，
∴在正方形ABCD中，△EDC只能是锐角三角形或者直角三角形，不可能是钝角三角形，
∴EC2+ED2≥CD2=100，
当且当E位于正方形对角线交点处时(此时△EDC是直角三角形)，取等号．
∴EC2+ED2=100，
∴t=EA2+EB2+EC2+ED2=200，
故t的最小值为200.
【解析】(1)连接OE，OD，根据正方形的性质，切线的性质，证明Rt△OED≌Rt△OAD即可．
(2)设OD与半圆于点M，当点E与点M重合时，DE最短，运用勾股定理计算即可．
(3)根据AB为直径，则AB=10，∠AEB=90∘，得到EA2+EB2=100是定值，故t的最小值，有EC2+ED2的最小值确定，且当E位于正方形对角线交点处时，取得最小值．
本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，勾股定理是解题的关键．投篮次数
20
40
100
200
400
1000
投中次数
15
33
78
158
321
801
x
−1
0
1
2
3
y
0
■
4
3
0