2022-2023学年广东省肇庆市怀集县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广东省肇庆市怀集县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. x2−2xy=0B. 3x=x3−1C. x2−2x=0D. x+1x=0
2.随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.二次函数y=x2−1的图象与y轴的交点坐标是( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (−1,0)D. (0,−1)
4.如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD的长为( )
A. 8
B. 4
C. 5
D. 6
5.方程x2−2x−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不等实数根B. 有两个相等实数根C. 无实数根D. 无法判定
6.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数为( )
A. 40∘
B. 50∘
C. 80∘
D. 100∘
7.一元二次方程x2−4=0的解是( )
A. x=2B. x1= 2，x2=− 2
C. x=−2D. x1=2，x2=−2
8.抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
9.在平面直角坐标中，点P(2,−3)关于原点的对称点P′的坐标是( )
A. (−2,−3)B. (−3,−2)C. (−2,3)D. (−3,2)
10.对于二次函数y=2(x−2)2+1，下列说法中正确的是( )
A. 图象的开口向下B. 函数的最大值为1
C. 图象的对称轴为直线x=−2D. 当x<2时y随x的增大而减小
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将抛物线y=3x2向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达式为______ .
12.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为______ .
13.已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120∘，则此扇形的弧长为______ cm.
14.在元旦庆梲活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有x人，根据题意，可列方程是______ .
15.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30∘，将△OAB绕点O逆时针旋转100∘得到△OA1B1，则∠A1OB=______∘.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程：x2−2x−2=0.
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D.求证：∠BAC=∠CAD.
18.(本小题8分)
设二次函数的图象的顶点坐标为(−2,2)，且过点(1,1)，求这个函数的关系式．
19.(本小题9分)
小明和小林是同班同学，在五月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并随机编入A，B，C三个班，他俩希望能再次成为同班同学.请用列表或画树状图的方法，求两人再次成为同班同学的概率.
20.(本小题9分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90∘得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．(结果保留π)
21.(本小题9分)
随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多的消费者接受并购买新能源汽车．我市某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆．
(1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；
(2)若该品牌新能源汽车的进价为52000元，售价为58000元，则该经销商1月至3月份共盈利多少元？
22.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为 5，OP=1，求BC的长．
23.(本小题12分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0)，B(3,0)，交y轴于点C.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求点C的坐标和直线BC的表达式；
(3)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C.
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A.
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3.【答案】D
【解析】解：对于二次函数y=x2−1，令x=0，得到y=−1，
所以二次函数与y轴的交点坐标为(0,−1)，
故选：D.
令x=0，求出x的值，即可解决问题；
本题考查二次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵CD⊥OA，∴在Rt△COP中，CP= OC2−CP2= 52−32=4.
∵CD=2CP，∴CP=8.
故选：A.
在Rt△COP中，根据勾股定理可将CP的长求出，在根据垂径定理知CD=2CP.
本题主要考查勾股定理和垂径定理的应用．
5.【答案】A
【解析】解：∵a=1，b=−2，c=−1，
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选A.
把a=1，b=−2，c=−1代入△=b2−4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2−4ac.当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠AOB=100∘，
∴∠ACB=12∠AOB=12×100∘=50∘，
故选：B.
利用圆周角定理计算即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵x2−4=0，
∴x2=4，
∴x1=2，x2=−2，
故选：D.
移项后直接开平方求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】
解：∵顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，
∴抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2).
故选A.
9.【答案】C
【解析】解：点P(2,−3)关于原点的对称点P′的坐标是(−2,3).
故选：C.
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式，判断各个选项中的说法是否正确即可．
【解答】解：二次函数y=2(x−2)2+1，a=2>0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误，
当x<2时y随x的增大而减小，故选项D正确.
故选D.
11.【答案】y=3x2−1
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达式为y=3x2−1.
故答案为：y=3x2−1.
利用平移的性质求解即可，可根据“上加下减”进行解答．
本题主要考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移方法是关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：23+2+1=13.
故答案为：13.
由一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】4π
【解析】解：∵扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120∘，
∴扇形的弧长为：120⋅π⋅6180=4πcm；
故答案为：4π.
在半径是R的圆中，因为360∘的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n∘圆心角所对的弧长为l=nπR÷180.
本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式l=nπr180.
14.【答案】x(x−1)=42
【解析】解：设参加活动的同学有x人，
由题意得：x(x−1)=42.
故答案为：x(x−1)=42.
设参加活动的同学有x人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(x−1)张，再根据“共送贺卡42张”建立方程，然后解方程即可得．
本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
15.【答案】70
【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100∘得到△OA1B1，∠AOB=30∘，
∴△OAB≌△OA1B1，
∴∠A1OB1=∠AOB=30∘.
∴∠A1OB=∠A1OA−∠AOB=70∘.
故答案为：70.
直接根据图形旋转的性质进行解答即可．
本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．
16.【答案】解：移项得x2−2x=2，
配方得x2−2x+1=2+1，
即(x−1)2=3，
开方得x−1=± 3.
解得x1=1+ 3，x2=1− 3.
【解析】先把常数项−2移到等号右边，之后方程左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方，得到方程x2−2x+1=3，对等号左边进行配方，再开方即可求出结果.
本题考查配方法解一元二次方程．
17.【答案】证明：∵直线EF是过点C的⊙O的切线，
∴OC⊥EF，
又∵AD⊥EF，
∴OC//AD，
∴∠OCA=∠CAD，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠BAC=∠CAD.
【解析】根据切线的性质可知OC⊥EF，结合已知可得OC//AD，再根据等边对等角可得∠OCA=∠CAD，进而证明结论．
本题主要考查了切线性质，掌握相关基本知识是解题关键．
18.【答案】解：设这个函数的关系式为y=a(x+2)2+2，
把点(1,1)代入y=a(x+2)2+2得9a+2=1，
解得a=−19，
所以这个函数的关系式为y=−19(x+2)2+2.
【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式.
由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a(x+2)2+2，然后把点(1,1)代入求出a的值即可．
19.【答案】解：画树状图如下：
由树形图可知，共有9个等可能的结果，小明和小林两人再次成为同班同学的结果有3个，
∴小明和小林两人再次成为同班同学的概率为39=13.
【解析】画树状图，共有9个等可能的结果，小明和小林两人再次成为同班同学的结果有3个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)如图所示：△AB′C′即为所求；
(2)∵AB= 42+32=5，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：90π×52360=254π.
【解析】(1)根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；
(2)利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．
此题主要考查了扇形面积公式以及图形的旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
21.【答案】解：(1)设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率x，
依题意，得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍去).
答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为20%.
(2)2月份的销售量为150×(1+20%)=180(辆)，
(58000−52000)×(150+180+216)=3276000(元).
答：该经销商1月至3月份共盈利3276000元．
【解析】(1)设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率x，根据该品牌新能源汽车1月份及3月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)根据2月份的销售量=1月份的销售量×(1+增长率)可求出该品牌新能源汽车2月份的销售量，再利用总利润=单台利润×1月至3月份的销售量之和，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OB，如图，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90∘，
∴∠A+∠APO=90∘，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90∘，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：设BC=x，则PC=x，
在Rt△OBC中，OB= 5，OC=CP+OP=x+1，
∵OB2+BC2=OC2，
∴( 5)2+x2=(x+1)2，
解得x=2，
即BC的长为2.
【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了勾股定理．
(1)由垂直定义得∠A+∠APO=90∘，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90∘，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；
(2)设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到( 5)2+x2=(x+1)2，然后解方程即可．
23.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(3,0)代入函数解析式，得：
a+b+3=09a+3b+3=0，
解得a=1b=−4，
∴这个二次函数的表达式是y=x2−4x+3；
(2)当x=0时，y=3，即点C(0,3)，
设BC的表达式为y=kx+m，将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式，得：
3k+m=0m=3，
解得k=−1m=3，
∴直线BC的解析是为y=−x+3；
(3)设点P坐标为(t,t2−4t+3)，过点P作PE//y轴，交直线BC于点E(t,−t+3)，如图，
PE=−t+3−(t2−4t+3)=−t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=12(−t2+3t)×3=−32(t−32)2+278，
∵−32<0，
∴当t=32时，S△BCP最大=278.
【解析】(1)将A(1,0)，B(3,0)代入函数解析式y=ax2+bx+3，求出a、b，即可求解；
(2)求出点C的坐标，再用待定系数法直线BC解析式；
(3)设点P坐标为(t,t2−4t+3)，过点P作PE//y轴，表示出PE长，得到△BCP面积与t函数关系式，根据函数性质即可求解．
本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．