2022-2023学年江苏省扬州市江都区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市江都区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a2=b3，则下列变形不正确的是( )
A. ab=32B. 3a=2bC. ba=32D. b=32a
2.一元二次方程x2−4x+1=0的根的情况是( )
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
3.某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的( )
A. 方差B. 众数C. 平均数D. 中位数
4.在直角坐标系中，点P的坐标是(2, 2)，⊙P的半径为2，下列说法正确的是( )
A. ⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B. ⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C. ⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D. ⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
5.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路(图中的阴影部分)余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，则可列方程为( )
A. 28×10−28x−10x=243
B. (28−x)(10−x)+x2=243
C. (28−x)(10−x)=243
D. 2(28−x+10−x)=243
7.如图，四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，点P是线段BC上一动点，DM⊥AP，垂足为P，则BM的最小值为( )
A. 5
B. 245
C. 485
D. 2 13−4
8.已知点A(m,n)、B(m+1,n)是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A. m>32B. m≥32C. m<32D. m≤32
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.一组数据：8，−2，−1，5的极差为______ .
10.如图，AB//CD//EF.若ACCE=23，DF=9，则BD的长为______ .
11.一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为______.
12.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB.已知AB为4米，则线段BE的长为______ 米(结果保留根号).
13.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D=36∘，则∠A的度数为______ .
14.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为______.
15.已知抛物线C1：y=x2−4x+3，则该抛物线关于x轴对称的抛物线C2的函数关系式为______ .
16.如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则DO的长为______ .
17.2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑.如果某型号飞机降落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s=54t−32t2，则该飞机着陆后滑行最长时间为______ 秒.
18.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点E是△ABC的重心，连接CE并延长交AB于点D，连接AE并延长交BC于点P，过点P作PF⊥AB于点F.若△ACE面积为10，则△BPF的面积为______ .
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−4x−4=0；
(2)x(x+4)=−3(x+4).
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(3,8)、B(5,8)、C(6,7).
(1)△ABC外接圆的圆心坐标是______ ；△ABC外接圆的半径是______ ；
(2)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是______ ；
(3)请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为 2:1.
21.(本小题8分)
在党的二十大胜利召开之际，某中学举行“同声放歌心向党，携手欢庆二十大”歌唱大赛，向党的二十大献礼，八年级和九年级根据级部初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个年级各选出的5名选手的复赛成绩(单位：分)如下表：
(1)八年级复赛成绩的中位数是______ 分，九年级复赛成绩的众数是______ 分；
(2)计算两个年级复赛成绩的方差，并说明哪个年级的复赛成绩较稳定.
22.(本小题8分)
为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加.
(1)若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是______ ；
(2)若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率.
23.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AC=9，BC=15.
(1)求BC边上的高AD的长度；
(2)正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH的边长.
24.(本小题8分)
某商店销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月售出500kg，经市场调查，销售价每提高1元，月销售量就减少10kg.
(1)当销售单价定为60元时，求月销售量和销售利润.
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到6750元，销售单价应定为多少元？
(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润.
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的直线AM相交于点P，且∠CAB=∠APB.
(1)求证：AM是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AC=8，求线段PD的长.
26.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3，∠ACB=90∘，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD.
(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
(2)求当A、E、F三点在一直线上时CD的长.
27.(本小题8分)
规定：某一个函数图象上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”.
(1)函数y=x2______ “自反”函数(填：“是”或“不是”)，如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由；
(2)若抛物线y=ax2−5x+a−3(a为常数)上有且只有一个“反点”，求a的值；
(3)若抛物线y=(a−1)x2+bx+2(a、b为常数，a≠1)对于任意的常数b恒有两个“反点”，求a的取值范围.
28.(本小题8分)
问题提出：若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？比如两个正数的和是1，那么这两个正数可以是12和12，14和34，25和35，…它们的乘积分别是14，316，625，…，初步判断：当这两个正数分别是12和12时，乘积有最大值为14.
(1)问题探究：
若两个正数的和是10，其中一个正数为x(0(2)结论猜想：
猜想：若任意两个正数的和是一个固定的数a，那么这两个正数的乘积存在最大值，最大值为______ .
(3)结论应用：
①已知m、n满足m=2t−1(t>12),n=−2t+10(t<5)，则当t为多少时，mn取得最大值？并求出最大值：
②如图，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上一点，且AC=5，点D是半圆上一动点，点E、F分别是CD、AD延长线上一点，且满足AE+CF=20，直接写出四边形ACEF的面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.∵a2=b3，
∴2b=3a，
故该选项错误，符合题意；
B.3a=2b，
故该选项正确，不符合题意；
C.∵a2=b3，
则ba=32，
故该选项正确，不符合题意；
D. b=32a，
故该选项正确，不符合题意，
故选：A.
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵在方程x2−4x+1=0中，△=b2−4ac=16−4=12>0，
∴方程x2−4x+1=0有两个不相等的实数根．
故选D.
根据方程的系数结合根的判别式△=b2−4ac找出△=12>0，由此即可得出结论．
本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的符号与方程解的情况之间的关系是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，
故应该关注该校所有女生身高的众数，
故选：B.
根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．
本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量．
4.【答案】D
【解析】解：∵P(2, 2)，圆P的半径为2，
∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D.
点P到x轴的距离是 2，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．
本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键.
【解答】
解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线即可找到三角形的内心.
故选：B.
6.【答案】C
【解析】解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为(28−x)米、宽(10−x)米的矩形面积．
∵草坪的面积为243平方米，
∴(28−x)(10−x)=243.
故选：C.
根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为(28−x)米、宽(10−x)米的矩形面积，结合草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，
∵四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，
∴AD=BC=8，
∵DM⊥AP，
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，
连接OB交圆O与点N，
∵点B为圆O外一点，
∴当直线BM过圆心O时，BM最短，
∵BO2=AB2+AO2，AO=12AD=4，
∴BO2=36+16=52，
∴BO=2 13，
∵BN=BO−NO=2 13−4.
故选：D.
首先得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，然后得到当直线BM过圆心O时，BM最短，从而利用勾股定理计算出答案．
本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
8.【答案】B
【解析】解：∵点A(m,n)、B(m+1,n)是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x=2m+12，且开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x=2或在其右侧，
∴2m+12≥2，
解得m≥32，
故选：B.
首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线x=2m+12，再根据开口向上，x≤2时，y随x的增大而减小，可得x=2m+12≥2，据此即可求解．
本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线x=2或在其右侧是解决本题的关键．
9.【答案】10
【解析】解：∵8−(−2)=10，
∴数据：8，−2，−1，5的极差为10，
故答案为：10.
根据极差的定义进行求解即可．
本题主要考查了求极差，熟知极差的定义是解题的关键：一组数据中的最大值与最小值的差为极差．
10.【答案】6
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴ACCE=BDDF=23，
又∵DF=9，
∴BD9=23，
解得BD=6，
故答案为：6.
根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是52+3+5=12，
故答案为12.
让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
12.【答案】2 5−2
【解析】解：∵BE2=AE⋅AB，AB=4，
设BE=x，则AE=4−x，
∴x2=4(4−x)，
∴x2+4x=16，
∴x1=2 5−2,x2=−2 5−2(舍去)，
故答案为：2 5−2.
根据BE2=AE⋅AB，建立方程即可求解．
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解此题的关键．
13.【答案】27∘
【解析】解：如图所示，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90∘，
∵∠D=36∘，
∴∠DOC=180∘−∠D−∠OCD=54∘，
∴∠A=12∠DOC=27∘，
故答案为：27∘.
如图所示，连接OC，利用切线的性质得到∠OCD=90∘，根据三角形内角和定理得到∠DOC=54∘，即可利用圆周角定理求出∠A的度数．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：设AB=xcm，则DE=(6−x)cm，
根据题意，得90πx180=π(6−x)，
解得x=4.
故答案为：4.
设AB=xcm，则DE=(6−x)cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15.【答案】y=−x2+4x−3
【解析】解：∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，
∴当横坐标相等时，纵坐标互为相反数，
即−y=x2−4x+3，得y=−x2+4x−3，
故所求抛物线C2的函数关系式为y=−x2+4x−3，
故答案为：y=−x2+4x−3.
利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟练掌握和运用轴对称图形的坐标特点是解决本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：如图，连接AE，
∵AB//EC，AB=EC=2，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴AE//BC，
∵AD= 32+42=5，DE=5，
∴AD=DE=5，
∴∠DAE=∠DEA，
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DCO，
∴∠DOC=∠DCO，
∴DO=DC=3，
故答案为：3.
连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得AE//BC，由勾股定理得AD=5，从而有AD=DE=5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DOC=∠DCO，进而可得DO=DC=3.
本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】18
【解析】解：s=54t−32t2=−32(t−18)2+486，
∵−32<0，
∴抛物线开口向下，
∴当t=18时，s有最大值，
∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．
故答案为：18.
把二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．
18.【答案】154
【解析】解：∵点E是△ABC的重心，
∴AEAP=23，点P、点D分别是BC、AB的中点，
S△ACES△ACP=23，BPBC=12，
∴S△ACP=32×10=15，
∴S△ABC=2S△ACP=30，
∴S△BCD=12S△ABC=15，
∵在△ABC中，AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵PF⊥AB，
∴CD//PF，
∴△BPF∽△BCD，
∴S△BCPS△BCD=(BPBC)2=(12)2=14，
∴S△BCP=14S△BCD=154.
故答案为：154.
首先根据重心的性质，可求得BPBC=12，S△BCD=12S△ABC=15，再根据CD⊥AB，PF⊥AB，可证得△BPF∽△BCD，利用相似三角形的性质，即可求解．
本题考查了重心的性质，三角形中线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握重心的性质及相似三角形的性质得到相关三角形的面积是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)由原方程得：x2−4x=4，
得x2−4x+4=4+4，
得(x−2)2=8，
得x−2=±2 2，
解得x1=2+2 2，x2=2−2 2，
所以，原方程的解为x1=2+2 2，x2=2−2 2；
(2)由原方程得：x(x+4)+3(x+4)=0，
得(x+4)(x+3)=0，
解得x1=−3，x2=−4，
所以，原方程的解为x1=−3，x2=−4.
【解析】(1)采用配方法解此方程，即可求解；
(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
20.【答案】(4,6) 5 (4,6)
【解析】(1)解：如图，根据网格的特点分别作AB，BC的垂直平分线，交于点G，连接AG，
根据网格的特点可得圆心G(4,6)；
∴半径AG= 12+22= 5，
故答案为：(4,6)； 5；
(2)解：如图，连接BE，AD，交于点M，即位似中心，
根据网格的特点可知M(4,6)
故答案为：(4,6)；
(3)解：∵AB=2,BC= 2,AC= 10，
∵△A1B1C1∽△ABC，且相似比为 2:1.
∴A1B1=2 2,B1C1=2,A1C1=2 5
根据网格的特点作出△A1B1C1，如图，
∴△A1B1C1即为所求作的三角形．
(1)根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念即可求出圆心坐标，然后勾股定理即可求出半径的长度；
(2)根据位似变换和位似中心的概念解答；
(3)根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答．
本题考查的是格点正方形、作图--位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键．
21.【答案】85 100
【解析】解：(1)把八年级成绩从小到大排列为：75，80，85，85，100，处在最中间的为85，
∴八年级复赛成绩的中位数是85分；
∵九年级复赛成绩中100分出现了两次，出现的次数最多，
∴九年级复赛成绩的众数是100分，
故答案为：85；100；
(2)八年级复赛成绩的平均成绩为75+80+85+85+1005=85分，
∴八年级复赛成绩的方差为(75−85)2+(80−85)2+2×(85−85)2+(100−85)25=70；
九年级复赛成绩的平均成绩为75+80+70+100+1005=85分，
∴九年级复赛成绩的方差为(75−85)2+(80−85)2+2×(100−85)2+(70−85)25=160；
∵160>70，即S八年级2∴八年级的复赛成绩较稳定．
(1)根据中位线和众数的定义进行求解即可；
(2)根据方差的定义求出两个年级的方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可．
本题主要考查了求中位数，方差和众数，熟知中位数，方差和众数的定义是解题的关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同，
∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是14，
故答案为：14.
(2)列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数有2种，
∴恰好选中A、B两名同学参加活动的概率=212=16.
(1)根据概率计算公式求解即可；
(2)先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠A=90∘，AC=9，BC=15，
∴AB= BC2−AC2= 152−92=12，
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴AD=AB⋅ACBC=12×915=365；
(2)解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
如图，设AD与EH交于点M，
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90∘，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，
设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴AMAD=EHBC，
得365−x365=x15，
解得x=18037，
∴正方形EFGH的边长为18037.
【解析】(1)由勾股定理求出BC，再由三角形面积即可得出答案；
(2)设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比，学会用方程的思想解决问题．
24.【答案】解：(1)由题意得，当销售单价定为60元时，月销售量为500−(60−50)×10=400(kg)，
∴销售利润为400×(60−40)=8000(元)；
(2)设销售单价定为x元，根据题意得：(x−40)[500−10(x−50)]=6750，
解得：x1=55，x2=85，
当x=55时，销售成本为40×[500−10×(55−50)]=18000>10000，不合题意，舍去；
当x=85时，销售成本为40×[500−10×(85−50)]=6000<10000，符合题意；
答：销售单价应定为85元；
(3)设销售单价定为x元，月利润为y元，
根据题意得：y=(x−40)[500−10(x−50)]=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，
当x=70时，y最大=9000；
答：当售价定为70元时，会获得最大利润9000元．
【解析】(1)先根据销售量和售价的关系求出月销售量，再根据销售利润=(销售单价-成本价)×数量求出对应的销售利润即可；
(2)设销售单价定为x元，根据销售利润=(销售单价-成本价)×数量建立方程求解即可；
(3)设销售单价定为x元，月利润为y元，根据销售利润=(销售单价-成本价)×数量得到y与x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意，列出对应的式子和方程是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：由圆周角定理得：∠CAB=∠CDB，
∵∠CAB=∠APB，
∴∠CDB=∠APB，
∴AM//DC，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥AM，
∵OA是⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴AD=AC=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，AB=2×5=10，
∴BD= AB2−AD2= 102−82=6，
∵∠BDA=∠BAP=90∘，∠B=∠B，
∴△BDA∽△BAP，
∴BDBA=BABP，即610=10BP，
解得：BP=503，
∴PD=BP−BD=503−6=323.
【解析】(1)首先证明AM//CD，根据平行线的性质得到AB⊥AM，再根据切线的判定定理证明结论即可；
(2)连接AD，根据勾股定理可求出BD，证明△BDA≌△BAP，再根据相似三角形的性质计算，即可求得线段PD的长．
本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理及推论、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)结论：△ABE∽△CBD，理由如下：
∵四边形BDEF是正方形，
∴BD=DE，∠BDE=90∘，∠EBD=45∘，
∴BE= BD2+DE2= 2BD，
∵AC=BC，∠ACB=90∘，
∴AB= AC2+BC2= 2BC，∠ABC=45∘，
∴∠EBD−∠ABD=∠ABC−∠ABD，即∠ABE=∠CBD，
又∵ABBC=BEBD= 2，
∴△ABE∽△CBD；
(2)∵AC=BC=3，∠ACB=90∘，
∴AB= 2BC=3 2，
∵当A、E、F三点在一直线上时，∠AFB=90∘，
∴AF= AB2−BF2= (3 2)2−22= 14，
如图1，当AE在AB左上方时，
∴AE=AF−EF= 14−2，
∵△ABE∽△CBD，
∴AECD=ABCB= 2，
∴CD= 22AE= 7− 2；
如图2，当AE在AB右下方时，
∴AE=AF+EF= 14+2
∵△ABE∽△CBD，
∴AECD=ABCB= 2，
∴CD= 22AE= 7+ 2；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为 7− 2或 7+ 2.
【解析】(1)先根据正方形的性质和勾股定理得到∠EBD=45∘，BE= 2BD，再根据等腰直角三角形的性质
和勾股定理得到AB= 2BC，∠ABC=45∘，进而证明∠ABE=∠CBD，ABBC=BEBD= 2，由此即可证明△ABE∽△CBD；
(2)先利用勾股定理求出AB=3 2，进而求出AF= 14，再分当AE在AB左上方时，当AE在AB右下
方时，两种情况求出AE的长，然后利用相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
27.【答案】是
【解析】(1)解：∵y=x2经过原点，满足定义，则y=x2是“自反”函数，
依题意y=x2y=−x，
解得：x=0y=0或x=−1y=1，
∴“自反”函数y=x2的“反点”是(0,0)或(−1,1)，
故答案为：是；
(2)解：依题意y=ax2−5x+a−3y=−x，
即ax2−4x+a−3=0有两个相等的实数解，
∴Δ=b2−4ac=16−4a(a−3)=0，
解得：a=−1或a=4；
(3)∵关于x的二次函数y=(a−1)x2+bx+2(a≠1,n为常数)对于任意的常数b恒有两个“反点”，
∴y=(a−1)x2+bx+2y=−x，
即(a−1)x2+(b+1)x+2=0有两个不等实数根，
∴Δ1=(b+1)2−4×(a−1)×2=b2+2b−8a+9>0，
即b2+2b−8a+9>0，
∴关于b的二次函数y=b2+2b−8a+9与x轴无交点，
∴Δ2=22−4(−8a+9)<0，
解得：a<1.
(1)根据定义可知，“自反”函数与y=−x有交点，联立解析式求解即可；
(2)根据定义，可得y=ax2−5x+a−3与y=−x只有1个交点，根据判别式即可求解；
(3)根据定义联立二次函数解析式与y=−x，令Δ1>0，得到关于b的代数式，根据代数式恒大于0，令Δ2<0，即可求得a的取值范围．
本题考查了二次函数的性质、一次函数交点问题、反比例函数与几何图形、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，理解新定义并熟练应用是解题的关键．
28.【答案】14a2
【解析】解：(1)∵两个正数的和是10，其中一个正数为x(0∴另一个正数是10−x，
∵这两个正数的乘积为y，
∴y=x(10−x)=−x2+10x=−(x−5)2+25，
∵−1<0，
∴当x=5时，y最大，最大值为25；
(2)设其中一个正数为m，则另一个正数为a−m，它们的积为n，
∴n=m(a−m)=−m2+am=−(m−12a)2+14a2，
∵−1<0，
∴当m=12a时，n最大，最大值为14a2；
故答案为：14a2；
(3)①∵m=2t−1(t>12),n=−2t+10(t<5)，
∴m+n=2t−1+(−2t+10)=9，且m>0，n>0，
∴由(2)的结论可知，当m=92，即t=114时，mn有最大值924=814；
②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵AB=10，AC=5，
∴sinB=ACAB=12，
∴∠B=30∘，
∴∠ADC=∠B=30∘，
如图所示，过点A作AH⊥CF于H，
∴AH=AD⋅sin∠ADC，
∴S△ACF=12AH⋅CF=12AD⋅CF⋅sin∠ADH，
同理可得S△CEF=12CF⋅DF⋅sin∠EDF，
又∵∠EDF=∠ADH，
∴sin∠ADH=sin∠EDF，
∴S四边形ACEF=S△CEF+S△ACF=12AD⋅CF⋅sin⁡∠ADH+12CF⋅DF⋅sin⁡∠EDF=12CF⋅AE⋅sin⁡∠ADH=14CF⋅AE，
∵AE+CF=20，且AE>0，CF>0，
∴由(2)的结论可知CF⋅AE的最大值为2024=100，
∴S四边形ACEF的最大值为25.
(1)根据题意得到y=−x2+10x，然后利用二次函数的性质求解即可；
(2)设其中一个正数为m，则另一个正数为a−m，它们的积为n，仿照(1)得到n=−(m−12a)2+14a2，利用二次函数的性质即可得到答案；
(3)①先求出m+n=9且m>0，n>0，再根据(2)的结论进行求解即可；②先解直角三角形求出∠B=30∘，则∠ADC=∠B=30∘，如图所示，过点A作AH⊥CD于H，则AH=AD⋅sin∠ADC，推出S△ACF=12AD⋅CF⋅sin∠ADH，同理可得S△CEF=12CF⋅DF⋅sin∠EDF，进而推出S四边形ACEF=14CF⋅AE，根据(2)的结论求出CF⋅AE的最大值为100即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等等等，正确理解题意是解题的关键．八年级
80
75
85
100
85
九年级
75
100
70
100
80
A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)