2022-2023学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省绍兴市诸暨市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知y关于x的二次函数解析式为y=(m−2)x|m|，则m=( )
A. ±2B. 1C. −2D. ±1
2.小明任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“1−6”的整数.抛掷一次正面朝上为偶数的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
3.点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足( )
A. 06D. r≥6
4.已知实数a、b满足3a=2b，则ab的值为( )
A. 32B. 23C. 6D. 94
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=29∘，BC=8，则AB为( )
A. 8sin29∘
B. 8sin29∘
C. 8tan29∘
D. 8tan29∘
6.如图为一座拱形桥示意图，桥身AB(弦AB)长度为8，半径OC垂直AB于点D，OD=3，则桥拱高CD为( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 1.5
7.如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA=2.4米，OB=6米，则树高为米.( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.要得到二次函数y=−x2+2x−2的图象，需将y=−x2的图象( )
A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
9.二次函数y=x2+bx+1中，当x>1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足( )
A. b>−2B. b≥−2C. b<−2D. b=−2
10.两个大小不一的五边形ABCDE和五边形FBCHG如图所示放置，点F在线段AB上，点H在线段CD上，对应连接并延长AF，EG，DH刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是( )
A. 一定相似
B. 一定不相似
C. 不一定相似
D. 不能确定
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知x+yx−y=43，则xy=______ .
12.如图，中位线MN将△ABC分成面积为S1，S2上下两部分(S113.如图，△ABC中边BC=10，高AD=8，正方形EFNM的四个顶点分别为△ABC三边上的点(点E，F为BC上的点，点N为AC上的点，点M为AB上的点)，则正方形EFNM的边长为______ .
14.如图，点B为AC上的黄金分割点(AB>BC)，BC=2，作如下操作：
步骤1：以点B为圆心，小于1为半径作圆弧，分别与AB，BC交于点M，N；
步骤2：作MN的中垂线BD；
步骤3：以点B为圆心，BC为半径为圆弧交BD于点E，连接AE.
则线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形面积为______ .
15.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)交x轴于A(−1,0)，B(2,0)两点，则不等式x2+bax+ca>0的解为______ .
16.三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心O1和重心O2的距离为______ .
三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：2tan60∘×cs30∘−4sin260∘；
(2)已知二次函数顶点为(1,2)，经过点(0,1)，求该二次函数的一般式.
18.(本小题8分)
如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为120∘和240∘，转盘可以自由转动.
(1)转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；
(2)转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率.
19.(本小题8分)
如图，在一片海域中有三个岛屿，标记为A，B，C.经过测量岛屿B在岛屿A的北偏东65∘，岛屿C在岛屿A的南偏东85∘，岛屿C在岛屿B的南偏东70∘.
(1)直接写出△ABC的三个内角度数；
(2)小明测得较近两个岛屿的距离AB=10km，求BC、AC的长度(最终结果保留根号，不用三角函数表示).
20.(本小题8分)
某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
(2)若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
21.(本小题10分)
如图，圆O中延长弦AB，CD交于点E，连接AC，AD，BC，BD.
(1)若∠ADB=60∘，∠BAD=10∘，求∠ACD的度数；
(2)若∠ADB=α∘，∠BAD=β∘，∠EBC=γ∘，判断α，β，γ满足什么数量关系时，AD=CD？请说明理由.
22.(本小题12分)
如图，菱形ABCD边长为4，对角线交于点O，点E为AD上一点，AE=3，过E作EF//AC交CD于点F，交BD于点G，取OE中点H，连接GH并延长交AB于点M.
(1)求AM的长度；
(2)求HEHM.
23.(本小题12分)
已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3)，(6,3).
(1)求b，c的值；
(2)当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
(3)当k−4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
24.(本小题14分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=32，BC=24，点D为AC上一定点，点E为AB上一动点，A，B两点关于DE的对称点为A′，B′.当点E运动时，始终满足DA′=DB.
(1)求AB、DB的长度；
(2)当A′B′与△ABC一边垂直时，求DE的长度；
(3)当A′B′与△ABC任意边既不垂直也不重合时，求tan12∠B′AA′的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：
|m|=2且m−2≠0，
∴m=±2且m≠2，
∴m=−2，
故选：C.
根据形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，可得|m|=2且m−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：抛掷一次共有6种等可能结果，其中正面朝上为偶数的有2、4、6三种结果，
所以抛掷一次正面朝上为偶数的概率为36=12，
故选：A.
抛掷一次共有6种等可能结果，其中正面朝上为偶数的有2、4、6三种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3.【答案】A
【解析】解：∵点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，
∴OP>r，即0故选：A.
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
4.【答案】B
【解析】解：∵实数a，b满足3a=2b，即a=23b，
∴ab=23bb=23，
故选：B.
把3a=2b代入ab，即可求出答案．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90∘，∠A=29∘，BC=8，
∴sinA=BCAB=8AB，
∴AB=8sin29∘，
故选：A.
在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA= AD2+OD2=5=OC，
∴CD=OC−OD=2，
故选：C.
根据垂径定理、勾股定理进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
7.【答案】A
【解析】解：点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF=∠DOF，
∵∠COA=90∘−∠COF，
∠DOB=90∘−∠DOF，
∴∠COA=∠DOB，
又∵∠CAO=∠OBD=90∘，
∴△ACO∽△BDO，
∴ACBD=OAOB，
∵AC=1.6米，OA=2.4米，OB=6米，
∴1.6BD=2.46，
∴BD=4米，
答：树高为4米，
故选：A.
点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF=∠DOF，进而可得出∠COA=∠DOB，由相似三角形的判定定理可得出△ACO∽△BDO，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象的平移问题，得到平移前后的顶点坐标是解题的关键．只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
【解答】
解：原抛物线的顶点坐标为(0,0);
新抛物线y=−x2+2x−2=−x−12−1，顶点坐标为(1,−1)，
∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．
故选D.
9.【答案】B
【解析】解：∵a=1>0，
∴二次函数y=x2+bx+1的图象开口向上，
∵当x>1时，y随x的增大而增大，
∴−b2≤1，
解得：b≥−2，
故选：B.
根据a的值先确定抛物线的开口方向，然后再根据已知当x>1时，y随x的增大而增大，可得抛物线的对称轴−b2a≤1，从而进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵两个大小不一的五边形ABCDE和五边形FBCHG如图所示放置，点F在线段AB上，点H在线段CD上，对应连接并延长AF，EG，DH刚好交于一点O，观察图形可知G点可以变化，
∴五边形ABCDE和五边形FBCHG不一定是位似图形，
∴这两个五边形的关系是不一定相似．
故选：C.
根据位似图形的定义即可求解．
本题考查了位似图形，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
11.【答案】7
【解析】解：∵x+yx−y=43，
∴3x+3y=4x−4y，
3x−4x=−4y−3y
−x=−7y，
x=7y，
∴xy=7yy=7，
故答案为：7.
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵MN为△ABC的中位线，
∴MN//BC，MN=12BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴S1S△ABC=(MNBC)2=14，
∴S1S2=13.
故答案为：13.
根据三角形中位线的性质得到MN//BC，MN=12BC，则可证明△AMN∽△ABC，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算面积的比．
13.【答案】409
【解析】解：设正方形的边长为x，设AD与MN交于点G，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴MN=NE=x，MN//BC，
∵ME⊥BC，GD⊥BC，
∴ME=GD=x，
∴AG=AD−GD=8−x.
∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴MNBC=AGAD，
∴x10=8−x8，
解得：x=409.
∴正方形EFNM的边长为409.
故答案为：409.
设正方形的边长为x，利用相似三角形的判定与性质列出比例式，解方程即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线间的距离相等，利用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
14.【答案】 5+1+π
【解析】解：∵点B为AC上的黄金分割点(AB>BC)，BC=2，
∴BCAB= 5−12，
∴AB= 5+1，
由题意得：
DB⊥AC，BE=BC=2，
∴∠ABE=∠CBE=90∘，
∴线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形面积=△ABE的面积+扇形EBC的面积
=12AB⋅BE+90π×22360
=12×( 5+1)×2+π
= 5+1+π，
故答案为： 5+1+π.
先利用黄金分割的定义求出AB的长，再根据题意可得：DB⊥AC，BE=BC=2，从而可得∠ABE=∠CBE=90∘，然后根据线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形面积=△ABE的面积+扇形EBC的面积，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，线段垂直平分线的性质，扇形的面积，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15.【答案】x<−1或x>2
【解析】解：当x<−1或x>2时，抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，
∴ax2+bx+c<0的解集为x<−1或x>2，
∵a<0，
∴不等式x2+bax+ca>0的解集为x<−1或x>2.
故答案为：x<−1或x>2.
写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．
16.【答案】1124
【解析】解：△ABC中，AB=AC=5，BC=6，作AH⊥BC于H，
∴AH垂直平分BC，δ
∴△ABC的外心，内心在AH上，BH=12BC=3，
∴AH= AB2−BH2= 52−32=4，
∵O2为△ABC的重心，
∴O2H=13AH=43，
设△ABC外接圆的半径是r，
∴BO1=O1A=r，
∵BO12=HO12+BH2，
∴r2=(4−r)2+32，
∴r=258，
∴HO1=4−258=78，
∴O1O2=O2H−O1H=43−78=1124，
故答案为：1124.
由三角形重心的概念求出O2H的长，由三角形外心的概念求出外接圆的半径，即可解决问题．
本题考查三角形的外心，重心，关键是掌握三角形外心，重心的定义．
17.【答案】解：(1)2tan60∘×cs30∘−4sin260∘
=2× 3× 32−4×( 32)2
=3−3
=0；
(2)设二次函数解析式为y=a(x−1)2+2，
把(0,1)代入得：1=a+2，即a=−1，
则二次函数解析式为y=−(x−1)2+2=−x2+2x+1，即y=−x2+2x+1.
【解析】(1)把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可；
(2)设出二次函数的顶点形式，把(3,10)代入求出a的值，即可确定出二次函数解析式．
此题主要考查了解直角三角形和待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解(2)题的关键．
18.【答案】解：(1)由图得：红色扇形的圆心角为120∘，
故转动一次，指针指向红色区域的概率为120360=13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，指针两次都落在蓝色扇形内的结果有4种，
∴指针两次都落在蓝色扇形内的概率为49.
【解析】(1)根据概率公式即可得出答案；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，指针两次都落在蓝色扇形内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)如图：
由题意得：
∠EAB=65∘，∠DAC=85∘，∠CBF=70∘，ED//BF//CG，
∴∠BAC=180∘−∠EAB−∠DAC=30∘，
∵ED//BF，
∴∠ABF=∠EAB=65∘，
∵BF//CG，
∴∠FBC=∠BCG=70∘，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=135∘，
∴∠ACB=180∘−∠BAC−∠ABC=15∘，
∴△ABC的三个内角度数分别为30∘，135∘，15∘；
(2)过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
设CH=xkm，
∵∠ABC=135∘，
∴∠HBC=180∘−∠ABC=45∘，
在Rt△BHC中，BH=CHtan45∘=x(km)，
在Rt△AHC中，∠HAC=30∘，
∴AH=CHtan30∘=x 33= 3x(km)，
∵AB=10km，
∴AH−BH=10，
∴ 3x−x=10，
∴x=5 3+5，
∴BH=CH=(5 3+5)km，
∴BC= 2CH=(5 6+5 2)km，
AC=2CH=(10 3+10)km，
∴BC的长度为(5 6+5 2)km，AC的长度为(10 3+10)km，
【解析】(1)根据方向角的定义可得∠EAB=65∘，∠DAC=85∘，∠CBF=70∘，ED//BF//CG，从而利用平角定义可求出∠BAC=30∘，然后再利用平行线的性质可求出∠ABF=∠EAB=65∘，∠FBC=∠BCG=70∘，从而求出∠ABC=135∘，最后利用三角形内角和定理进行计算可求出∠ACB=15∘，即可解答；
(2)过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，设CH=xkm，先利用平角定义求出∠HBC=45∘，然后在Rt△BHC中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，再在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，最后根据AB=10km，列出关于x的方程，进行计算可得BH=CH=(5 3+5)km，从而利用等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每千克涨价x元，利润为y元，由题意，得
y=(10+x)(500−20x)，
=−20x2+300x+5000=−20(x−152)2+6125，
∴a=−20<0，
∴抛物线开口向下，当x=7.5时，y最大值=6125.
(2)当y=6000时，
6000=(10+x)(500−20x)，
解得：x1=10，x2=5，
∵要使顾客得到实惠，
∴x=5.
答：每千克应涨价为5元．
【解析】(1)设每千克涨价x元，利润为y元，根据总利润=每千克利润×数量建立式子，求出y与x之间的关系即可求出结论，
(2)把y=6000代入(1)的解析式，根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论．
本题考查了总利润=每千克利润×数量建立二次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的性质的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
21.【答案】解：(1)∵∠ADB=60∘，∠BAD=10∘，
∴∠ACB=∠ADB=60∘，∠BCD=∠BAD=10∘，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60∘+10∘=70∘；
(2)当γ=2(α+β)时，AD=CD，理由如下：
∵∠ADB=α∘，∠BAD=β∘，
∴∠ACB=∠ADB=α∘，∠BCD=∠BAD=β∘，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α∘+β∘，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180∘，∠EBD+∠DBA=180∘，
∴∠EBD=∠ACD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD，
又∵∠EBC=γ∘，
∴γ=2(α+β).
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=60∘，∠BCD=∠BAD=10∘，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD进一步求解即可；
(2)由(1)的证明可知ACD=∠ACB+∠BCD=α∘+β∘，再根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补可得∠DBC=∠ACD，∠EBD=∠ACD，根据∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD，即可确定α，β，γ满足的数量关系．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)连接并延长FO交AB于P，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，AE=3，
∴AB=DA=DC=4，AC⊥BD，OD=OB，CD//AB，
∴∠FDO=∠PBO，∠DFO=∠BPO，
∴△FDO≌△PBO(AAS)，
∵EF//AC，
∴∠DEF=∠DAC，∠DFE=∠DCA，
∵∠DAC=∠DCA，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=BP=AD−AE=4−3=1，
∵∠DGE=∠DOA=90∘，
∴DG⊥EF，
∴EG=FG，
∵H为OE的中点，
∴GH//FO，
∵OGDG=AEDE=31=3，
∴OGOB=OGOD=34，
∴MPBP=OGOB=34，
∴MP=34BP=34×1=34，
∴AM=AB−MP−BP=4−34−1=94，
∴AM的长度为94.
(2)设GM交AC于点Q，
∵AM=94，AP=AB−BP=4−1=3，
∴AE=AP，AMAP=943=34，
∴∠OAE=∠OAP，OA=OA，
∴△OAE≌△OAP(SAS)，
∴OE=OP，
设OE=OP=m，
∵QM//OP，
∴△AQM∽△AOP，
∴QMOP=AMAP=34，
∴QM=34OP=34m，
∵∠OGE=90∘，EG=OH，
∴GH=HE=HO=12OE=12m，
∵∠HEG=∠HOQ，EH=OH，∠EHG=∠OHQ，
∴△EHG≌△OHQ(ASA)，
∴QH=GH=12m，
∴HM=QM+QH=34m+12m=54m，
∴HEHM=12m54m=25.
【解析】(1)连接并延长FO交AB于P，可证明△FDO≌△PBO，再证明∠DEF=∠DFE，则DE=DF=BP=AD−AE=1，由EG=FG，H为OE的中点，得GH//FO，则OGDG=AEDE=3，所以OGOB=OGOD=34，则MPBP=OGOB=34，所以MP=34BP=34×1=34，即可求得AM=94；
(2)设GM交AC于点Q，可求得AMAP=943=34，再证明△OAE≌△OAP，设OE=OP=m，可证明△AQM∽△AOP，得QMOP=AMAP=34，则QM=34OP=34m，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得GH=HE=HO=12OE=12m，再证明△EHG≌△OHQ，得QH=GH=12m，则HM=QM+QH=54m，即可求得HEHM=25.
此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3)，(6,3)，
∴c=3，y=x2+bx+3，
将点(6,3)代入可得：3=62+6b+3，解得：b=−6，
∴b=−6，c=3；
(2)y=x2−6x+3=(x−3)2−6，
当0≤x≤4时，
①仅当x=3时，y取得最小值，此时y=(3−3)2−6=−6；
②仅当x=0时，y取得最大值，此时y=(0−3)2−6=3；
3−(−6)=9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
(3)当k−4≤x≤k时，y=x2−6x+3=(x−3)2−6，
①当k−4≤x≤k≤3时，即k≤3，
仅当x=k，y取得最小值，此时y=k2−6k+3；仅当x=k−4，y取得最大值，此时y=(k−4)2−6(k−4)+3；
(k−4)2−6(k−4)+3−(k2−6k+3)=8，解得：k=4，
∵k<3，
∴k=4不符合题意；
②当k−4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y=−6，
当x=k−4取得最大值时，y=(k−4)2−6(k−4)+3，
(k−4)2−6(k−4)+3−(−6)=8，解得：k=7±3 2，
∵3≤k≤7，7+3 2>7，7−3 2<3，
∴k=7±3 2不符合题意；
当x=k取得最大值时，y=k2−6k+3，
k2−6k+3−(−6)=8，解得：k=3±2 2，
∵3≤k≤7，3<3+2 2<7，3−2 2<3，
∴k=3+2 2符合题意，k=3−2 2不符合题意，
∴k=3+2 2；
③当3≤k−4≤x≤k时，即k≥7，
仅当x=k−4，y取得最小值，此时y=(k−4)2−6(k−4)+3；仅当x=k，y取得最大值，此时y=k2−6k+3；
k2−6k+3−[(k−4)2−6(k−4)+3]=8，解得：k=6，
∵k≥7，
∴k=6不符合题意；
综上所述，当k−4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为3+2 2.
y取得最小值，此时y=(3−3)2−6=−6；
【解析】(1)(0,3)是与y轴的交点，可得c=3，再将(6,3)代入求值，可求得b的值；
(2)根据二次函数的解析式y=x2−6x+3=(x−3)2−6；当0≤x≤4时，仅当x=0时，y取得最大值；仅当x=3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差；
(3)分类讨论：①k−4≤x≤k≤3，k≤3；②当k−4≤3且k≥3时，即3≤k≤7；③当3≤k−4≤x≤k时，即k≥7；根据函数特点，计算求出符合题意k的值．
本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
24.【答案】解：(1)如图1，当DA=DA′，而DA′=BD，
∴DB=DA=DA′，
∴A、B、A′、B′始终在以D为圆心，DA为半径的圆上，
设BD=m，
∴∠C=90∘，AC=32，BC=24，
∴AB= 322+242=40，
m2=(32−m)2+242，
解得m=25，
∴DB=25；
(2)如图2，当A′B′⊥CB，则A′B′//AC，
∴∠CAN=∠EA′A，
∵由对称轴可知：EA=EA′，AA′⊥DE，
∴∠EAA′=∠EA′A，
∴∠NAC=∠NAB，∠ADE=∠AED，
∴AD=AE=25，DQ=QE，
由角平分线的性质可知N到AC，AB的距离想等，
结合三角形的面积公式可得：
ACAB=NCNB=45，
∵BC=24，
∴CN=323，
∴DQAQ=13，
∴ 10DQ=AD=25，
∴DQ=52 10，
∴DE=52 10，
当A′B′⊥AB时，如图3，
∵AA′⊥DE，BB′⊥DE，
∴∠AEQ=∠A′EQ=∠BEK=∠B′EK=45∘，
∴∠ADB′=90∘，AQ=EQ=A′Q，EK=BK=B′K，
∴AB′= 25+25=25 2，
∠ADQ+∠B′DK=90∘=∠ADQ+∠BAQ，
∴∠B′DK=∠QAD，
∴△ADQ≌△DB′K(ASA)，
∴DQ=B′K=EK，DK=AQ，
设AQ=EQ=x，EK=B′K=y，
∴AE= 2x，BE= 2y，
∴ 2x+ 2y=40，
∴x+y=20 2，
∵B′K2+DK2=DB′2，
∴x2+y2=625，
∴2xy=175，
∴DE= (x−y)2
= (x+y)2−4xy
=15 2；
当A′B′⊥AC于L，则∠ALE=90∘，如图4，
∴B′L=A′L，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠ALE，
∴A′B′//BC，
△ALE∽△ACB，
∵AA′⊥DE，BB′⊥DE，
∴A′A//DE，
由对称轴可知：∠EB′B=∠EBB′=∠EAA′=∠EA′A，
∴AB′=AB′，A′B′=AB′，
∴AB=A′B′=40，
∴B′L=A′L=20，
∵AC=32，BC=24，AB=40，∠C=90∘，
∴BC：AC：AB=3：4：5，
由△ALE∽△ACB，
∴LE：AL：AE=3：4：5，
设AE=5n，
∴A′E=AE=5n，LE=20−5n，
∴15n=100−25n，
解得n=52，
则LE=152，AL=10，
∴DL=15，
∴DE= 152+(152)2=152 5；
综上所述：DE的长度为152 5或15 2或52 10，
(3)如图5当E在AB中点上方，接近点A时，
同理可得：∠ADB′=∠ADB，
∴ABB′的度数是定值，
∴∠B′AA′为定值，即旋转过程中不改变大小，包括A′B′⊥AC时，
当A′B′⊥AC时，
此时AB′=AA′，∠B′AL=∠A′AL=12∠B′AA′，
由(2)可得：AL=10，A′L=20，
∴tan12∠B′AA′=tan∠A′AL=2，
当E在AB中点下方，接近点B时，如图6，
同理可得：∠B′AA′为定值，即旋转过程中不改变大小，
当AA′与AC重合时，过D作DT⊥A′B′，作∠A′DT的角平分线交A′B′于S，
∴12∠B′AA′=14∠B′DA′=∠TDS，
同理可得：DA′=AB′−25，A′T=B′T=20，
∴DT= 252−202=15，
同理可得：由角平分线的性质，结合三角形的面积公式可得：
A′DDT=A′SST=53，
∴TS=38×20=152，
∴tan12∠B′AA′=tan∠TDS=12，
综上所述：tan12∠B′AA′的值为2或12.
【解析】(1)由题意可知DB=DA=DA′，可得A、B、A′、B′始终在以D为圆心，DA为半径的圆上，设BD=m，用勾股定理得AB的长，进而求出BD的长；
(2)分三种情况讨论，当AB′⊥CB，则A′B′//AC，当A′B′⊥AB时，当A′B′⊥AC于L，则B′L=A′L，用数形结合的方法求出DE的长度；
(3)分两种情况讨论，当E在AB中点上方，接近点A时，∴∠B′AA′为定值，即旋转过程中不改变大小，包括A′B′⊥AC时，用A′B′⊥AC时，求出结果；当E在AB中点下方，接近点B时，证明∠B′AA′为定值，即旋转过程中不改变大小，当AA′与AC重合时，过D作DT⊥A′B′，作∠A′DT的角平分线交A′B′于S，求出结果．
本题考查勾股定理的应用，旋转的性质、圆的综合应用，锐角三角函数的应用，相似三角形的应用，画出图形，建立几何模型是解题关键．