新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县第四中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县第四中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．
C． D．
2．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
3．已知点关于原点对称的点在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，与相切于点B，的延长线交于点C，连接．若，则的度数为（ ）
A．18°B．27°C．36°D．54°
6．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，点 ，，都在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
9．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10．已知是关于x的一元二次方程，则m= ．
11．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm的半圆，则这个圆锥的底面半径长是
12．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就有128人患上了新冠肺炎，则x的值为 ．
13．如果一个正六边形的边长等于，那么这个正六边形的半径等于 ．
14．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．

15．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．已知关于x的方程．
(1)请你判断方程的解的情况；
(2)若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
18．育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．
(1)小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？
(2)如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．
19．如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
20．某中药厂销售一种中药产品，每瓶生产成本为30元．销售过程中发现，每周销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的关系满足一次函数：．
(1)该中药厂每周获得的利润为w（元），则每周可获得的最大利润是多少元？
(2)如果该中药厂想要每周获得3000元的利润，为了减少库存，那么销售单价应定为多少元？
21．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
22．如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标；
(3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.
故选C.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键．
2．C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
3．D
【分析】根据点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，可得点P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围．
【详解】∵点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，
∴点P在第一象限，
∴，
∴，
则a的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式组的解法，根据不等式组的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限．
4．B
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
由题意得：，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．
5．B
【分析】如图：连接，由切线性质有，则由直角三角形角的性质可得的度数，再由及三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：如图，连接
∵与相切于点B
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握切线的性质是解答本题的关键．
6．C
【分析】利用列表法或树状图即可解决．
【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．
7．D
【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大．
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．C
【分析】根据旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，得出，再由旋转性质和三角形的外角性质可知．
【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，
故选：．
【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断①；当时，，即可判断②；当时，，即可判断③；根据抛物线与轴有2个交点，即可判断④．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
∵，
∴，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故错误；
②观察函数图象，可知：
当时，，
，故错误．
③抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
当时，，
，故正确；
④抛物线与轴有2个交点，
△，故正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
10．-2
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
11．9cm##9厘米
【分析】设该圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的半圆的圆弧长，列出方程即可求解．
【详解】设该圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得：，
解得（cm）．
故答案为：9cm．
【点睛】本题主要考查了圆锥体展开图的知识，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的半圆的圆弧长，是解答本题的关键．
12．7
【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系列出方程是关键．
13．2
【分析】根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案．
【详解】解：如图，
根据正六边形的性质可知
∴为等边三角形，
∴，即正六边形的外接圆半径为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
14．
【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】解：连接AC，

∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
15．
【分析】利用顶点式计算即可．
【详解】解：由图可知顶点为：，且经过原点，
设函数关系式为：，代入原点得：，解得：；
∴函数关系式为：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次函数解析式的计算，能够熟练运用顶点式是解题关键．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
或，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．(1)方程有两个实数根
(2)5
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断出方程的解的情况；
（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长．
【详解】（1）由题意知：，
∵，即，
∴方程有两个实数根；
（2）当时，，则，
方程化为，解得，
∴的周长；
当或时，
把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去；
综上所述，的周长为5．
【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．注意：在判别式中，①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．
18．(1)不同意，理由见解析；
(2)P（恰好是1名男生和1名女生）．
【分析】（1）根据概率的意义即可解答；
（2）画出树状图，找出从3名候选主持人中随机选拔2名主持人所有结果，再找出选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的结果，然后根据概率的公式即可求解．
【详解】（1）解：不同意，
∵有2名男生和1名女生，
∴主持人是男生的概率，
主持人是女生的概率；
∴选出的主持人是男生和女生的不可能性相同，不同意他的说法；
（2）解：画出树状图如下：
一共有6种情况，恰好是1名男生和1名女生的有4种情况，
所以，P（恰好是1名男生和1名女生）．
【点睛】本题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
19．（1）60；（2）菱形，理由见解析
【分析】（1）通过等边三角形的判定和性质和旋转的性质，求解即可；
（2）根据直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，证明四边形ACFD的四边相等，从而得证．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60；
（2）四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC．
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【点睛】此题主要了考查了菱形的判定，涉及了直角三角形的有关性质，熟练掌握菱形的判定方法和直角三角形的有关性质是解题的关键．
20．(1)每天获得的最大利润为4000元
(2)销售单价应定为40元
【分析】（1）根据题意列出，整理后化成顶点式，即可作答；
（2）当时，求出相应的价格，再根据减少库存确定最后的价格即可．
【详解】（1）根据题意，得．
∵，对称轴为直线，
∴当时，w取得最大值为4000，
答：每天获得的最大利润为4000元；
（2）当时，，
解得，，
当时，销量为：（件）；
当时，销量为：（件）；
∵，销量越高，库存越少，
∴为了减少库存，价格应该定为40元，
答：销售单价应定为40元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意列出函数关系式是解答本题的关键．
21．(1)见解析
(2)半径的长为3
【分析】（1）连接，易得，，，根据等量代换可得，证明可得结论；
（2）设半径为，则，，在中用勾股定理列方程计算即可．
【详解】（1）证明：连接．

∴是的切线；
（2）解：设半径为，则
∵
∴，
在中，
∴
解得
即半径的长为．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标，然后根据点在抛物线对称轴的右边来判断得出的点是否符合要求即可．
（3）根据点坐标可求出直线的解析式，由于，由此可求出点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出点的坐标．求的面积时，可先求出，的长度即可求出的面积．
【详解】（1）解：函数的图像与轴相交于，
，
，
，
（2）解：假设存在点，过点作轴于点，
的面积等于6，
，
当，
，
解得：或3，
，
，
即，
解得：或（舍去）．
又顶点坐标为： 1.5，．
，
轴下方不存在点，
点的坐标为：；
（3）解：点的坐标为：，
，，
当，
，
设点横坐标为：，则纵坐标为：，
即，
解得 或（舍），
在抛物线上仅存在一点 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图像交点、图像面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
R
B
W
r
rR
rB
rW
b
bR
bB
bW