河南省安阳市内黄县城关镇第一初级中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析）

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九年级数学（RJ）
测试范围：21.1-24.4
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是（ ）
A．y=（x+2）2B．y=（x﹣2）2C．y=x2+2D．y=x2﹣2
4．如图，点，，在上，，则的度数是（ ）
A．28°B．54°C．18°D．36°
5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
6．若抛物线，当时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能确定
8．如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点'恰好落在边上，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
9．向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数，小明相隔秒依次抛出两个小球，假设两个小球出手时离地面高度相同，在各自抛出后秒时达到相同的离地面最大高度．若第一个小球抛出后秒时在空中与第二个小球离地面高度相同，则的值是( )
A．B．C．D．
10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( )
A．B．C．4D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．点关于原点对称点的坐标是 ．
12．正六边形的中心角等于 度．
13．关于的一元二次方程有一个根是，则的值是 ．
14．如图，是圆的直径，点是延长线上的一点，点在圆上，且，，半径为3，图中阴影部分的面积为 ．

15．如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．

三、解答题（共8题，共75分）
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．已知二次函数的图象经过、、

(1)求二次函数的解析式；
(2)画出该二次函数的图象；
(3)若，请写出的取值范围______．
18．如图，如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
(1)若∠AOD＝62°，求的度数；
(2)若OC＝6，OA＝10，求的长．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一实数根大于3，求的取值范围．
20．如图，在中，，且点A的坐标是．

(1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
(2)将绕点按逆时针方向旋转，得到，画出，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求扫过的面积．
21．如图，、是上的两点，过作的垂线交于，交于，交的切线于．
(1)求证：；
(2)当，时，求及的长．
22．如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于，点P在抛物线上，横坐标设为m．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为，求m的值．
23．九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则 °，与的数量关系是 ；
(2)迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长．
答案与解析
1．C
【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．
【详解】A、中含有分式，故不是二次函数；
B、=2x-1，不符合定义，故不是二次函数；
C、符合定义，故是二次函数；
D、中a不确定不等于0，故不是二次函数；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．A
【分析】根据平移规律“左加右减”可得平移后的抛物线解析式.
【详解】解：把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是：y=（x+2）2，
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题关键.
4．D
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°．故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是知道在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．D
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法的关键点“等式两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可．
【详解】解：
；
故选D．
6．A
【分析】先根据函数的解析式判断出函数的顶点坐标，再根据当时，y随x的增大而增大可得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
7．A
【分析】根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根．
【详解】解：在方程中，
，
方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．
8．D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据旋转可得，，得，即可得到的度数．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
∴，，
，
，
∴，
∴ ，
故选：D．
9．A
【分析】设各自抛出后秒时到达相同的最大离地高度为h，则小球的高度，根据题意列出方程即可解决问题．
【详解】解：设各自抛出后1.2秒时到达相同的最大离地高度为h，
则小球的高度，
由题意，
解得．
故第一个小球抛出后秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数，学会把问题转化为我们学过的知识，利用方程的思想解决问题．
10．B
【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，
∴∠FAE=∠PAG，
在△AEF和△AGP中，
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG=EF=2，
∵BC=3，CE=2BE，
∴BE=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
，
∵AG=AE，∠GAE=90°，
∴，
在△GPE中，PE＞GE-PG，
∴PE的最小值为GE-PG=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
11．
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
【详解】解：点（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
12．60°
【分析】根据正n边形中心角的公式直接求解即可.
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角=
故答案为：60°
【点睛】本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的中心角的概念
13．1
【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是该方程的一个根，
∴，
解得，，，
由于k≠-2，
所以，k=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
14．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据勾股定理求出，再分别求出和扇形的面积即可．
【详解】解：连接，

，，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
15．或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出，先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到．再分情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，

，
，
；
②当时，

在中，，
在中，，
综上可知，的长为5或．
故答案为：5或．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的求解方法：公式法，配方法，因式分解法，直接开方法是关键．
（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
解得：，；
（2），
整理得：，
，，，
，
，
，．
17．(1)；
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把C点的坐标代入即可求得a的值；
（2）用五点法画出函数图象，
（3）根据图象即可求得x的取值．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把C点的坐标代入得，，
解得．
故抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
描点、连线，如图所示：
；
（3）解：由图象可得，当或时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是用待定系数法求函数解析式．
18．(1)∠DEB=31°；
(2)AB=16．
【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到∠DEB=∠AOD；
（2）根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出AC即可．
【详解】（1）解：∵OD⊥AB，
∴，
∴∠DEB=∠AOD=×62°=31°；
（2）解：∵OD⊥AB，
∴AC=BC，
∵OC=6，OA=10，
∴在Rt△OAC中，AC==8，
∴AB=2AC=16．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．
19．(1)见解析
(2)a>4
【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=a-1，根据题意得a-1＞3，然后解不等式即可．
【详解】（1）证明：∵Δ=(-a)2-4(a-1)
=a2-4a+4
=(a-2)2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2-ax+a-1=0，
x=，
∴x1=1，x2=a-1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a-1>3，
解得a>4，
即a的取值范围为a>4．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
20．(1)见解析，
(2)见解析，
(3)扫过的面积
【分析】（1）作出点O、A、B平移后的对应点、、，然后顺次连接，即可得出，根据作出的图形写出点的坐标即可；
（2）作出点A、B绕点按逆时针方向旋转的对应点、，然后顺次连接，即可得出，根据作出的图形写出点的坐标即可；
（3）根据扫过的面积求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形，．
（2）解：如图，为所求作的三角形，．

（3）解：∵，
∴扫过的面积．
【点睛】本题主要考查了平移和旋转作图，图形扫过的面积，解题的关键是作出对应点平移和旋转后的点．
21．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）要证明，只要证明即可，根据题目中的条件可以得到，结论得以证明；
（2）根据（1）中的结论和勾股定理可以求得及的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，
∴设，
则，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质，等腰三角形中“等角对等边”的性质，利用勾股定理解三角形是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出点B的坐标，根据图象写出m的取值范围即可；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，得出二次函数有最大值4，分两种情况讨论，当点在对称轴的左侧或对称轴上，即时，当点在对称轴的右侧，即时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：把，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）解：把代入得：，
解得：，，
∴点B的坐标为，
∴当点P在x轴上方时，m的取值范围是．
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴二次函数有最大值4，
当点在对称轴的左侧或对称轴上，即时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点为抛物线的顶点，
∴，
解得：；
当点在对称轴的右侧，即时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点就是点P，
∴，
解得：，（舍去）；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，求抛物线的最值，解题的关键是理解题意，数形结合，注意分类讨论．
23．(1)90，
(2)；
(3)或2
【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
（2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
（3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵为等腰三角形，，
∴为等边三角形，
∵将绕点O旋转，得到，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
故答案为：90，；
（2）由旋转的性质，可知，
∵为等边三角形，平分为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）分以下两种情况进行讨论：
①如图1．当点E在右边时，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
由旋转的性质，得，
∴为等边三角形，
∵F是的中点，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点E在左边时，
同理，可得，
∴．
综上所述，的长为或2．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．