浙江省杭州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析)

这是一份浙江省杭州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

数学
一、选择题：有10个小题，每小题3分，共30分.
1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数的最小值是（ ）
A．1B．－1C．－2D．－3
4．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）．
A．B．C．D．
5．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ）
A．B．C．D．
6．有一道题目：“在中，，，分别以B、C为圆心，以长为半径的两条弧相交于D点，求的度数”．嘉嘉的求解结果是．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且的另一个值是B．淇淇说的不对，就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，应得D．两人都不对，应有3个不同值
7．若二次函数的图象经过，三点，则，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y=90B．2x+y=90C．2x+y=180D．x=y
9．二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
10．如图，在中，是边上的高，⊙P是的外接圆，连接．若，则的长（ ）
A．2.5B．C．D．2.8
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则袋中小球的个数为 ．
12．在二次函数（）中，与的部分对应值如表：
则，的大小关系为 n．（填“”“”或“”）
13．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．

14．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．
15．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
16．已知二次函数，经过点，当时，x的取值范围为或，则此函数的对称轴是 ；m的值可以是 （写出一个即可）
三.解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)将绕点E逆时针旋转得到，画出．
(2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
18．已知抛物线与轴交于点、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴的平行线交抛物线于、两点，求的长．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
(1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
(2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
20．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；
(2)若，，求的直径．
21．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．

(1)求证；
(2)若的度数为，求的度数．
22．已知二次函数（b，c是常数）过点三点．
(1)若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式；
(2)已知，
①若，求的取值范围；
②若，试比较与的大小．
23．如图1，为的直径，于点，，与交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)连结，如图2，求证：．
24．根据以下信息，探索完成任务.
参考答案与解析
1．D
【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
2．C
【分析】本题考查旋转的性质，中心对称，由绕O点顺时针旋转180度，即原图形与旋转后的图形关于点O中心对称，据此逐一判断即可．
【详解】解：把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项C的图形．
故选：C．
3．D
【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．
【详解】解：二次函数的开口向上，顶点坐标为（1，-3），
所以最小值为-3．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是正确掌握二次函数的顶点式，若题目给出是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．
4．D
【分析】由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
【详解】根据概率公式，摸出白球的概率， ，
摸出不是白球的概率， ，
由于二者相同，故有 ，
整理得，m+n=8，
故选：D．
【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
5．C
【分析】由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，然后根据二次函数的对称性可直接进行排除选项．
【详解】解：由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，
∵二次函数图像过点，
∴点关于y轴对称的点为，
∴点必在二次函数的图像上；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意画出图形，可知点D可能在上方，或下方，先利用等腰三角形中等边对等角及三角形内角和定理求出，再证，是等边三角形，推出，，最后分别求出和即可．
【详解】解：中，，
，
，
．
如图，点D可能在上方，或下方，连接，，，，，，
由作图方法可知，，
，是等边三角形，
，，
当点D可能在上方时，
；
当点D可能在下方时，
；
因此淇淇说得对，且的另一个值是，
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质等，画出图形，注意分情况讨论是解题的关键．
7．A
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴即可求解．
【详解】解：由题意可得：二次函数的对称轴为：直线
∵点在对称轴左边，距离对称轴个单位长度
点在对称轴右边，距离对称轴个单位长度
又二次函数开口向上
∴
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的增减性．确定二次函数的开口方向和对称轴是关键．
8．A
【分析】连接BC，由AB是直径，得∠ACB=90°.根据圆内接四边形性质得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°,
由平行线性质得∠BAD=∠BOC= y°，故x+y+90=180.
【详解】连接BC，
因为，AB是直径，
所以，∠ACB=90°.
因为，四边形ADCB是圆的内接四边形，
所以，∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°,
又因为AD∥OC，
所以，∠BAD=∠BOC= x°
所以，x+y+90=180,
所以，x+y=90
故选A
【点睛】本题考核知识点：圆的内接四边形. 解题关键点：熟记圆的内接四边形对角互补和平行线性质.
9．D
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项．
【详解】解：由二次函数可知开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
∵，是二次函数与x轴的交点，点是图象上的一点，
∴当时，则或；故、选项错误；
当时，则，故正确；当且时，此时有可能，故错误；
故选．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．B
【分析】连接，过点P作于F，根据勾股定理得出，，再由圆周角定理及垂径定理得出，，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：连接，过点P作于F，
∵，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴即，
解得：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查圆周角定理及垂径定理，勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
11．20
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用黄球的个数除以摸到黄球频率即可得出球的总个数．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，口袋中黄球有6个，
∴袋中小球的个数为（个）．
故答案为：20．
12．
【分析】根据表格的、的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线，当时，,
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，分别为点，和，的纵坐标，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
13．4
【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解．
【详解】解：∵，
∴对应的圆心角的度数为，
∵，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；
故答案为：4
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
14．48
【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽为x米，长为米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】解：设篱笆的宽为x米，长为米，
，
∵墙长不限，
当时，，S值最大，此时．
故答案为：48．
15．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
16． 直线 1（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．由当时，x的取值范围为或，可得抛物线对称轴为直线，从而可得b与a的关系，将代入解析式，用含m代数式表示a进而求解．
【详解】解：当时，x的取值范围为或，
∴抛物线开口向上，点在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线，
，
，
，
，
解得，
将代入解析式得，
，
，
，
或，
∴m的值可以是1（答案不唯一），
故答案为：直线，1（答案不唯一）．
17．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）分别作出点D、F绕点E逆时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心，即可确定点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点,
如图所示，交点P即为旋转中心，根据点P在平面直角坐标系的位置可得坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图−旋转变换和旋转的性质及平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．(1)
(2)6
【分析】（1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题．
（2）令，求出点和点的坐标即可解决问题．
【详解】（1）由题知，
将，两点坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）令得，
，
解得，．
则．
所以的长为3．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
19．(1)
(2)5
【分析】（1）先利用树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）根据概率公式得到，求解即可．
【详解】（1）解：如图画出树状图，
∵由图可知总共有六种情况，其中都是红球的情况有两种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为
（2）解：由题意得，
，
解得
所以n的值为5．
【点睛】本题考查的是概率问题，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.
20．(1)见解析
(2)20
【分析】（1）根据圆周角定理、平行线的性质可得，再根据垂径定理即可证明；
（2）根据垂径定理可得，再用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形等，解题的关键是熟练运用垂径定理．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先证明，即可求解；
（2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解．
【详解】（1）如图：连接

是的直径
，即
又
．
（2）的度数为
又，且
．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)
(2)①，②
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．需要熟练掌握二次函数的性质方可解答该题．
（1）根据顶点式写出即可；
（2）①由抛物线过点A，得到，由，可知，得到，即可得到，由，可得；②由，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵点为二次函数的顶点，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵，
∴ ，得，
将代入，得到，
，
，
；
②，
，
，，
∴， ，
．
23．(1)见解析
(2)的长为
(3)见解析
【分析】（1）由为的直径，于点得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；
（2）连接，由（1）得：，，从而得到，则，设，则，在中，，即，即可得到答案；
（3）连接交于，则，通过证明，得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由，即可得到答案．
【详解】（1）证明：为的直径，于点，
，
，
，
，即，
；
（2）解：如图所示：连接，
，
由（1）得：，
，
，
为的直径，于点，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
的长为；
（3）解：如图所示：连接交于，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为半径，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
24．（1）的值分别为，；（2）每平方米应种植4株或10株；（3）第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米；第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米．
【分析】本题考查了二元一次方程组，二次函数的实际应用，读懂题意列出关系式是解答本题的关键．
（1）根据题意，列出方程组解答即可；
（2）根据题意列出，解答即可；
（3）根据题意列出关于a、b的关系式，依据a、b取正整数，推出种植方案即可．
【详解】解：任务1：由题意可得：，
解得：，
答：x，y的值分别为，；
任务2：每平方米种植A作物每增加m株，
由题意可得：，
解得：，
，
∴每平方米应种植4株或10株；
任务3：，
∴A作物每平方米的最大产量为千克，
由题意可得：，
，
∵a，b均为正整数，
∴①，②，
共有两种方案：第一种，种植A作物28平方米，种植B作物15平方米，种植C作物57平方米；
第二种：种植A作物14平方米，种植B作物30平方米，种植C作物56平方米．
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
2
m
n
0
…
如何设计种植方案？
素材1
某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有、，三种作物的相关信息如表所示.已知5株作物和2株作物的产量共为7千克：10株作物和6株作物的产量共为15千克．
作物
作物
作物
每平方米种植株树（株
2
10
4
单株产量（千克）
1.6
素材2
由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树.经过实验发现，每平方米种植作物每增加1株，作物的单株产量减少0.1千克.而，单株产量不发生变化．
素材3
若同时种植，，三种作物，实行分区域种植．
问题解决
任务1
确定单株产量
求，的值．
单一种植
（全部种植作物）
任务2
预估种植策略
要使作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植
（种植，，三种作物）
任务3
规划种植方案
设这100平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米的产量最大：有平方米用于种植作物，剩余的全用来种植作物，，均为正整数.当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案．