湖南省衡阳市实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分．）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝﹣2B．x1＝0，x2＝2C．x＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
3．如图，四边形∽四边形，则下列角的度数正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，AF＝1，BC＝3，则DE的值是（ ）
A．B．C．D．
5．将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
6．某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司、两个月营业额的月均增长率，设该公司、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0， 若x1+x2=3，则k的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
9．若，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．如图，D为的边AB上一点，，则AC长为（ ）
A．12cmB．cmC．cmD．2cm
11．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A．B．C．D．
12．如图，D，E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）
13．计算：= ．
14．比较大小： （填“”或“”）
15．代数式的值等于 ．
16．若关于的方程是一元二次方程，则
17．如图，已知E是平行四边形ABCD的一边AD延长线上的一点，AD＝3DE，则DF＝ AB．
18．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米．
三、解答题（共8小题，19－20题每题6分，21－24题每题8分，25题10分，26题12分．）
19．计算：．
20．求值：，其中，．
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)证明：无论取何值，此方程必有实数根；
(2)等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求的值．
24．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件，假设在一定范围内，售价每降低1元，销售量平均增加2件．如果用x表示商品售价．
(1)当售价为每件50元，销量为________件：
(2)用含x的代数式表示商品的销量为________件；
(3)如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
25．如图，在中，是边上的高，且
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B点、A点，点P从点B开始沿边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若点P，Q同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，
①P点的坐标________（用b来表示）
②当为直角三角形时，求b的值；
(2)当的面积为8平方厘米时，求b与t的数量关系，并求出b的最小值．
答案与解析
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2．B
【分析】用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x(x﹣2)＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
3．A
【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形的内角和；
根据相似多边形的对应角相等，四边形的内角和是逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形∽四边形，
∴，，，，
故选：A．
4．C
【分析】通过证明△ADF∽△BDC，可求CD＝3DF，可得CF＝4DF，通过证明△CDE∽△CFA，可得，即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADF∽△BDC，
∴，
∵AF＝1，BC＝3，
∴，
∴CD＝3DF，
∴CF＝4DF，
∵DE∥BC，
∴△CDE∽△CFA，
∴，
∴＝，
∴DE＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
5．D
【分析】移项后配方，即可得出答案．
【详解】解：，
，
配方，得，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．B
【分析】根据增长后的量=增长前的量（1+增长率），即可表示出月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到万元，即可列方程．
【详解】解：该服装公司今年10月的营业额为万元，该公司，两个月营业额的月均增长率为，
该服装公司今年月的营业额为万元，月的营业额为万元．
根据题意得：，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，根据题意正确列出方程是解题关键．
7．D
【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与2被开方数相同的二次根式．
【详解】解：=2；
A、=3，被开方数是2；故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，被开方数是30；故本选项不符合题意；
C、=4被开方数是3；故本选项不符合题意；
D、=3，被开方数是6；故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
8．B
【分析】利用根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
【详解】解：设方程的两个根分别为x1，x2，
由x1+x2=2k+1=3，
解得：k=1，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，能把求k的值的问题转化为解方程得问题是关键．
9．A
【分析】由已知可设，，代入原式，计算化简即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
将，代入中，得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，运用分式基本性质进行正确运算是解题的关键．
10．B
【分析】由且∠A=∠A可证△ACD≌△ABC，则通过其比例关系可得：AC2=AD×AB.
【详解】∵∠A=∠A，
∴△ACD≌△ABC，
∴,
∴AC2=AD×AB=3×4=12
∴AC=cm
故选择B.
【点睛】本题考查了“有两角对应相等的三角形相似”的判定方法及相似三角形的性质.
11．C
【分析】本题考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握判定定理是解决本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
A. 添加，可得到相似，不符合题意；
B. 添加，可得到相似，不符合题意；
C.添加 ，不能得到相似，符合题意；
D. 添加，可得到相似，不符合题意；
故选C．
12．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质；解题的关键是证明，得出；证明，得到，由相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
，
故选C．
13．3
【分析】原式利用平方计算即可得到结果．
【详解】解：
=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握二次根式的计算方法是解本题的关键．
14．
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15．10
【分析】根据被开方数为非负数可求出，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴原式．
故答案为：10．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．根据被开方数为非负数求出是解题关键．
16．
【分析】根据一元二次方程的定义可求得的 m 值．
【详解】解： 依题意得：
1-m≠0
且3-m=2,
解得： m=
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟悉掌握相关知识是解题关键.
17．.
【分析】由AD＝3DE，可得DE∶AE=1∶4,而后证明△DEF∽△AEB，列出比例式即可解决问题．
【详解】解：∵AD＝3DE，
∴DE∶AE=1∶4
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴△DEF∽△AEB，
∴DF∶AB=DE∶AE=1∶4
即．
故答案为: .
【点睛】该命题以平行四边形为载体，以考查平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
18．##
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
19．2．
【分析】根据平方差公式计算，再根据立方根、平方根化简即可．
【详解】
【点睛】本题考查平方差公式、立方根、平方根的含义，二次根式的混合运算，会识别公式是关键，正确计算是重点．
20．2032
【分析】本题主要查了因式分解的应用．根据完全平方公式原式变形为，再把，代入，即可求解．
【详解】解：
∵，
∴原式
21．(1)
(2)
【分析】本题主要查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）先把原式化为一般式，得，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
整理得：，
∴，
∴，
解得：．
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明即可；
（2）根据是等腰三角形分类讨论即可．
【详解】（1）证明：
，
无论取何值，此方程必有实数根；
（2）解：当为腰时，则或有一条边为腰，
的解为，
，
解得：，
时原方程两根为和，此时三角形三边为，，，这样的三角形不存在，
不合题意，应舍去，
当为底时，则，为腰，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
综上所述，的值．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．
24．(1)60
(2)
(3)60元或50元
【分析】本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题：
（1）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解；
（2）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解；
（3）根据题意得出，(售价成本)(原来的销量降低的价格)，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：当售价为每件50元，销量为件；
故答案为：60
（2）解：根据题意得：商品的销量为件；
故答案为：
（3）解：设每件商品应降价y元时，根据题意，得
整理得：，
解这个方程得：，
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元．
25．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键．
（1）是边上的高，且，就可以得出，可得，由直角三角形的性质可求解；
（2）证明，可得，再把，代入可得答案．
【详解】（1）解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
26．(1)① ②或 或
(2)关系式为或，的最小值为
【分析】（1）①当 时，根据点和点的与运动可分别求出和的长，过点作垂直轴于点，则根据比例可求出和的长，进而可得到的长，即可得出点的坐标；
②根据点和点的运动可表示出，然后分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点作于，利用的正弦求出，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
【详解】（1）①∵直线与轴，轴分别交于点、点，
∴，
，
∴，
当时，由点和点的运动可知，，
如图，过点作轴于点D，则，
，即，
，
，
∴；
故答案为：
②由上可知，,若是直角三角形，则有下面两种情况：
当是直角时，，
若点未到达点，则 ，即 ，
解得 ；
若点到达点，则 ，即，
解得；
②当是直角时，，
，即，
解得 ；
综上所述，当为直角三角形时，的值为或 或 ；
（2）如图, 过点作于点,
则 ，
①当点未到达点时，的面积
整理得： ，
方程有解，则，解得
②当点到达点时，的面积，此时，
整理得 则 ，
，
，
综上可知，当的面积为 时, 与的关系式为或，的最小值为
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键.