山东省青岛市胶州市第六中学2023-2024学年九年级数学上学期第二次月考试题（含解析）

这是一份山东省青岛市胶州市第六中学2023-2024学年九年级数学上学期第二次月考试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：120分
友情提示：亲爱的同学，欢迎参加本次考试，相信你一定可以认真审题、书写工整、步骤齐全，祝你答题成功！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
4．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：1
5．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A．6米B．8米C．18米D．24米
8．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体体积应（ ）
A．不大于B．不小于C．不大于D．不小于
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（本在题共10小题，每小题3分，共30分）
11．计算tan60°+2cs45°的结果为 ．
12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
13．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 米．
14．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ．
15．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍，则点对应点的坐标为： ．
17．已知反比例函数，当时，y的取值范围为 .
18．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为 ．

19．如图是某几何体的三视图，其俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为
20．如图，在平行四边形中，E为边上的中点，交于点O，若，则平行四边形的面积为 ．
三、作图题（本大题4分）
21．尺规作图：已知：矩形内有一点．
求作：等腰直角，使它的直角顶点为，斜边落在边上．
四、解答题（本大题共6小题，共56分）
22．计算：．
23．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．

(1)求当时，与之间的函数关系式；
(2)加热一次，水温不低于的时间有多长？
24．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面的高度恰好相等，C点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为米，请计算风筝离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）

25．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接，．
(1)求直线与反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)观察该函数图象，请直接写出不等式的解集．
26．如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．

(1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______；
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度；
①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表：
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
27．已知：如图，在矩形中，，，点为边的中点，连接，交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为（）．解答下列问题：
(1)当为何值时，；
(2)连接，设五边形的面积为，求与的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值．
答案与解析
1．A
【分析】此题主要考查了反比例函数的识别．根据反比例函数的形式为：或，逐项判定即可．
【详解】解：A、∵，∴y一定是x的反比例函数，故此选项符合题意；
B、∵，∴y是x的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、∵，当时，y不是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
D、∵，∴y是x的二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之积为定值，据此逐项判断即可．
【详解】解：点在双曲线上，，
A，，不在此双曲线上；
B，，不在此双曲线上；
C，，不在此双曲线上；
D，，在此双曲线上；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值．
3．A
【分析】根据锐角三角函数的定义求出，再根据勾股定理求出，由锐角三角函数的定义可得答案．
【详解】解：在中，，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提．
4．B
【分析】根据中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，从而判定△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积==1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；
故选B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的运用相关性质定理和判定定理．
5．C
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的左视图如选项C所示，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．B
【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值．
【详解】解：如图，过B作于点D
根据勾股定理得：
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．
7．B
【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题不难求解.
【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
【点睛】本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
8．B
【分析】根据题意得出当温度不变时，气球内的气体的气压P是气体体积V的反比例函数，其图象过点（12,8），求出其解析式；从而得出当气球内的气压不大于140kPa时，气体体积的范围
【详解】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，
∵图象过（12，8），
∴，
∴P＝，
∴当P≤140kPa时，V≥m3．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
9．A
【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．
【详解】解：若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．
10．C
【分析】易得这个几何体共有3层，2行，2列，先看第一层小正方体的个数，再看第二层小正方体的可能的最多个数，第3层小正方体的个数，相加即可．
【详解】解：综合俯视图和主视图，这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列最多有4个小正方体， 所以组成这个几何体的小正方块最多有7块．
故选：C．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，难点是得到第二层小正方体的最多个数．
11．##
【分析】先计算特殊角的三角函数值，再合并即可.
【详解】解：tan60°+2cs45°
故答案为：
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键.
12．
【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，
，
则，
故答案为．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
13．10
【详解】解：如图所示，
作DH⊥AB与H，则DH=BC=8 m，CD=BH=2 m，
根据题意得∠ ADH = 45°，
所以△ADH为等腰直角三角形，
所以AH=DH=8 m，
所以AB=AH+BH=8+2=10 m．
故答案为：10．
14．
【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合，即可求出CF的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠FAE=∠FCD，
又∵∠AFE=∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴，
∵AC=，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．
15．##
【分析】分别把点、、代入反比例函数求出，即可比较出大小．
【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴， ，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点，函数图象上点的坐标满足函数解析式，理解这一点是解题关键，此题也可以利用反比例函数的性质解题．
16．或
【分析】过作轴于，根据等边三角形的性质以及点的坐标，可求出点的坐标，再由面积比可以得到位似比，从而根据位似变换的性质，求出的坐标．
【详解】解：等边三角形的顶点，，
，
过作轴于，
是等边三角形，
，
，
与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍，
与位似为，
点的对应点的坐标是或，即或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
17．
【分析】直接根据反比例函数的图象进行解答即可．
【详解】解：∵当时，.
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴y的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
18．
【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的综合问题，理解k的几何意义是解题的关键．先根据反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称可知，即可得出，再根据k的几何意义得，最后根据图象的位置得出答案．
【详解】∵反比例函数和正比例函数的图象相交于点A，B，
∴这两个点关于原点对称，
∴，
∴，
∴．
∵反比例函数图象位于第一，三象限，
可知，
∴，
∴反比例函数关系式为．
故答案为：．
19．
【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【详解】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为，底面三角形的高为，三棱柱的高为，
所以该几何体的左视图是长方形，长为，宽为，
所以该几何体的左视图的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．
20．24
【分析】根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，为边上的中点，
∴，，
，
，，即，
，，
，
的面积，
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．图见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图．过点作的垂线，交于点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，即可得到等腰直角．
【详解】解：如图所示，即为所求；
由作图可知：均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形．
22．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
根据特殊角的三角函数值，求出对应的函数值，代入原式，得到答案．
【详解】解：由题意得：
．
23．(1)函数的表达式为
(2)一个加热周期内水温不低于的时间为
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，解题的关键是看懂图像，灵活运用所学知识解决问题．
（1）当时，设与之间的函数关系式为：，将点（）代入反比例函数的表达式中即可求解；
（2）先求时的函数解析式，再令代入解析式中，解得；在降温过程中，水温为时，，最后把两个时间值相减即可．
【详解】（1）设反比例函数的表达式为：，
将点（）代入反比例函数表达式得：，
故函数的表达式为：，
当时，，
则，
即函数的表达式为：；
（2）设时，函数的表达式为：，
将点（）代入上式得：，
解得：，
即一次函数的表达式为：，
令，将其代入中，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为．
24．米
【分析】过点作，分别过点、作于点，于点，设米，则米，可求，，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，分别过点、作于点，于点．

由题意得，，，米，
设米，则米，
在中，，
米；
在中，，
米，
，解得；
米，
米．
答：风等离地面的高度约为米．
【点睛】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
25．(1)，
(2)8
(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）利用分割法求的面积即可；
（3）图象法解不等式即可．
正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
把，代入一次函数解析式，得：
，解得：，
∴直线的解析式为：
（2）∵，当时，，当时，，
∴，
∵，，
∴的面积为；
（3）由图象可知，的解集为：．
26．(1)；
(2)①105，90，75；②最多可以摆放40瓶葡萄酒.
【分析】（1）过A点作于D，交于E，设正方形的边长为x，根据
即可求出x的长，即正方形的边长.
（2）①由等腰三角形的性质可得cm，由勾股定理可求得cm.设第1层、第2层、第3层的隔板长度分别为、、，由阅读理解的结论可分别列方程求解.
②设第n层隔板的长度为，列出比例式，求出与n的关系式，则可求出最多可摆多少层，每层隔板的长度及每层摆多少瓶，最后求出一共可摆多少瓶即可.
【详解】（1）
如图，作于D，交于E，
由阅读理解的结论得，
设正方形的边长为x，则
，
解得.
故答案为：
（2）
如图，作于D，


①设第1层，第2层，第3层隔板的长度的分别为，则
，解得.
，解得.
，解得
故答案为：105，90，75.
②第n层隔板的长度的分别为，则
，
得，
因此得，
∴最多可摆7层，
第1层可摆（瓶），
第2层可摆（瓶），
第3层可摆（瓶），
第4层可摆（瓶），
第5层可摆（瓶），
第6层可摆（瓶），
第7层可摆（瓶），
共（瓶），
∴该展台最多可摆40瓶葡萄酒.
【点睛】本题主要考查了“相似三角形对应高的比等于相似比”，根据此比例式找出y与x之间的关系式是解题的关键.
27．(1)
(2)
(3)存在或，使得
(4)当或或时，为等腰三角形
【分析】（1）先证明，由题意得，则，由矩形的性质可得，，则，再求出，利用勾股定理求出，解直角三角形得到，则，进而建立方程，解方程即可得到答案；
（2）如图所示，过点P作于H，由矩形的性质可得，求出，证明，解，得到，解，得到，则，解，得到，，求出，再根据求解即可；
（3）先求出，再根据（2）所求建立方程求解即可；
（4）分当时，当时， 当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
由题意得，，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
解得，
∴当时，；
（2）解：如图所示，过点P作于H，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴
；
（3）解：∵，，
∴，
∴，即，
解得或，
∴存在或，使得；
（4）解：当时，则，解得；
当时，过点P作于H，则，
同理可得，
∴，
解得；
当时，过点Q作于M，则，
在中，，
∴，
解得；
综上所述，当或或时，为等腰三角形
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，一元二次方程的实际应用，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形，并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
层数/层
0
1
2
3
…
隔板长度/cm
120
______
______
______
…