河南省四市许济洛平2024届高三第二次质量检测数学

这是一份河南省四市许济洛平2024届高三第二次质量检测数学，共10页。试卷主要包含了已知圆O，设a = ln1等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若复数z满足|1-i|·z=1-2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 A=x|lnx+1≤0,B=x|x+11-x≥0,则A∩B=
A.[ -1,0] B.( -1,0] C.[ -1,0) D.( -1,0)
3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购 物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100 名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100 分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55 百分位数为
A.65 B.72 C.72.5 D.75
4.已知圆O:x²+y²=1与 x 轴交于A,B 两点,点 M 是直线 x + ty + 3 =0 上任意一点.设p: ∠AMB<π2;q:-3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知 csα+3sinα=263,则 cs2α+π3=
A.-23 B. 23 C.-13 D. 13
6.斜率为 1 的直线l过抛物线 C:y2=2pxP>0的焦点 F,且与 C 相交于A,B 两点,O 为坐标原点，若△OAB 的面积是2 2,则|AB|=
A.4 B.8 C.12 D.16
7.设a = ln1.01,b=1.01,c=e0.01,其中e为自然对数的底数，则
A. a>c>b B. b>c>a C. b>a>c D. c>b>a
8.小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是

二、选择题：本题共4小题，每小题5 分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数 fx=sin2ωx+π3的图象的一个对称中心为 -π60,其中ω∈(0,1],则
A.直线 x=π12为函数f(x)的图象的一条对称轴
B.函数f(x)的单调递增区间为 2kπ-5π62kπ+π12,k∈Z
C.当 x∈0π2时，函数f(x)的值域为( -321
D.将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)的图象
10.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列{aₙ}的前n项和为Sn，其通项公式 an=n2-12,n为奇数n22,n为偶数.则
A.84 是数列{an}中的项 B.a2+a4+⋯+a14+a16=408
C.1a2+1a3+1a3+1a7+⋯+1a2023=10112024 D.S50=21450
参考公式： 12+22+32+⋯+n2=nn+12n+16.
11.在 12x2-1xn的展开式中，若第4项与第8项的二项式系数相等，则
A.展开式中x⁵ 的系数为 -1058
B. 展开式中所有项的系数的和为 11024
C. 展开式中系数的绝对值最大的项是第5项
D.从展开式中任取2项，取到的项都是x的整数次幂的概率为 311
12.已知 fx=2excsx,gx=fxcsx-x1+csx,则
A.当 x∈-π2π2时, f(x)min=f-π4=22e-π4,无最大值
B.当 x∈-π2π2时, f(x)max=fπ4=22e44,无最小值
C.当 x∈-π4π2时,g(x)的值域是( -∞,2]
D.当 x∈-π4π2时,g(x)的值域是[2,+∞)
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。
13.已知双曲线 C:x2a2-y24=1(a>0) 的离心率为 5,则 a = .
14.在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB =2,BD⊥DC,点 M 为线段 CD 的中点，则 MA⋅MB=______¯.
15.如图，在棱长为1 的正方体ABCD -A₁B₁C₁D₁中,P 是棱 DD₁(不包含端点)上一动点，则三棱锥 P - AB₁C 的体积的取值范围为
16.已知定义在(-3,3)上的函数f(x)满足. fx=e2xf-x,f1=1f'x为f(x)的导函数,当x∈[0,3)时,f'(x)>f(x),则不等式exf(1-x)>1的解集为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。
17.(10 分)
已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且( bsinA+csA=3-1acsB+c.
(1)求 B;
(2)若 a=1,b=3,求△ABC 的面积.
18.(12 分)
已知正项数列{aₙ}的前n项和为 Sₙ,a₁=1,且满足: .
(1)求{ aₙ}的通项公式;
(2)已知 bn=nan,设数列{bₙ}的前n项和为Tn,当n∈N*时, csnπλ条件:①an+12=anan+2,且 2a₂,a₃+2,a₄成等差数列；②Sn+1-2Sn=1n∈N*; ③Sₙ₊₁+1aₙ=Sₙ+1aₙ₊₁.请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答.
19.(12 分)
党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.
(1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为X，试求X的分布列与期望.
附：相关系数 r=i=1xxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2,1740≈41.7.
20.(12 分)
如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC =60°,AE⊥平面 ABCD,AB =AE =2DF,AE∥DF.
(1)证明:平面AEC⊥平面 CEF;
(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.
21.(12 分)
已知函数f(x) =a(ex -1) -lnx.
(1)当a=1时,求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a≥1时,证明:f(x) > sinx.
22.(12 分)
已知椭圆E :x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F₁,F₂,过 F1-30的直线交椭圆于 G,H两点,△GHF₂的周长为8.
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)点M,N分别为椭圆 E 的上、下顶点,过直线y=2上任意一点 P 作直线 PM 和 PN,分别交椭圆于 S，T两点.证明：直线 ST过定点.
2024届高三第二次模拟考试参考答案
一、 选择题
1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. B 7. D 8. C
二、选择题
9. ACD 10. ABD 11. BD 12. AD
三、填空题
13. 1 14. 154 15.1613 16. (-2,0)U(2,3)
四、解答题
17. 解:(1)在△ABC中, 因为 bsinA+csA=3-1acsB+c,
由正弦定理可得： sinBsinA+csA=3-1sinAcsB+sinC,
所以 sinBsinA+csA=3-1sinAcsB+sinA+B,
所以： sinAsinB+sinBcsA=3-1sinAcsB+sinAcsB+csAsinB,
整理得 sinAsinB=3sinAcsB,, 又A∈(0,π), 所以sinA>0,
所以 sinB=3csB,得 tanB=3,……………………………………………4分
因为B∈(0,π),所以. B=π3.…………………………………………………………5分
(2)由(1)知, B=π3,又 a=1,b=3,
在△ABC中， 由余弦定理. b²=a²+c²-2accsB,得 3=1+c2-2×1×c×12,
所以 c²-c-2=0,则c=2,或c=-1(舍), ………………………………8分
所以△ABC的面积 S=12acsinB=12×1×2×32=32. ……………………10分
18. 解:(1)若选①, 因为数列{an}中, an+12=anan+2, 所以数列{an}为等比数列.
设{an}的公比为q, 则q>0, 由题意得 2a₃+2=2a₂+a₄,
又 a₁=1, 可得 2q²+2=2q+q³, 即 q³-2q²+2q-4=0,
则有 q³+2q-2q²-4=qq²+2-2q²+2=q²+2q-2=0,
因为 q²+2>0, 解得q=2, 故 aₙ=2ⁿ⁻¹.…………………………………………2分
若选②，因为 Sn+1-2Sn=1n∈N*,所以 Sn+2-2Sn+1=Sn+1-2Sn=1n∈N*,
所以 Sn+2-Sn+1=2Sn+1-Snn∈N*, 即 an+2=2an+1n∈N*;
当n=1时, 有 S₂-2S₁=1, 即 a₂-a₁=1, 且 a₁=1, 则 a₂=2a₁.
所以数列{an}是首项 a₁=1,公比q=2的等比数列， 所以 aₙ=2ⁿ⁻¹. ……………4分
若选③， 由 Sₙ₊₁+1aₙ=Sₙ+1aₙ₊₁, 得 Sn+1+1an+1=Sn+1an,
所以 Sn+1an=S1+1a1=a1+1a1=2, 所以 Sₙ=2aₙ-1.
当n≥2时, Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-1,
所以 aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-1-2aₙ₋₁-1=2aₙ-2aₙ₋₁, 所以 aₙ=2aₙ₋₁,
所以， 数列{ aₙ}是以首项 a₁=1,公比q=2的等比数列， 所以 aₙ=2ⁿ⁻¹.…………6分
(2)由(1)可知: 数列{bₙ}满足 bn=nan=n2n-1,
数列{bₙ}的前 n项和 Tn=1+22+322+⋯+n2n-1①
则 12Tn=12+222+⋯+n-12n-1+n2n②
-②可得: 12Tn=1+12+122+⋯+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-n+22n,
所以 Tn=4-n+22n-1, ……………………………………………8分
不等式 csnπλ可知数列 4-22n-1为递增数列.…………………………………………………………9分
当n为偶数时， λ<4-22n-1, 取n=2,可得λ<3;……………………………………10分
当n为奇数时， -λ<4-22n-1, 取n=1,可得λ>-2;…………………………………11分
综上,实数λ的取值范围是(-2,3).…………………………………………………………12分
19. 解:(1)由统计表数据可得: x=1+2+3+4+55=3,
y=7+12+13+19+245=15,…………………………………………………………………………………1分
所以i=15xi-xyi-y =16+3+0+4+18=41,……………………………2分
i=15yi-y2=64+9+4+16+81=174,…………………………………………………3分
i=15xi-x2=4+1+0+1+4=10, ……………………………………………………4分
所以相关系数 r=411740≈4141.7≈0.98, …………………………………………………………………5分
因此，两个变量具有很强的线性相关性. ………………………………………………………6分
(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3 …………………………………………………7分
因为 PX=0=C50C33C83=156,PX=1=C51C32C83=1556,
PX=2=C52C31C83=3056=1528,PX=3=C53C30C83=1056=528,………………………………11分
所以x 的分布列为：
所以 EX=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158. …12分
20. 解:(1)证明:如图,取EC的中点H, 连结BD交 AC于点O,连结HO、HF.
因为四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD.
又AE⊥平面 ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AE⊥BD.
因为AE⊂平面AEC, AC⊂平面AEC, 且AE∩AC=A,
所以BD⊥平面AEC. …2分
月份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
月份编号x
1
2
3
4
5
利润y(百万)
7
12
13
19
24
X
0
1
2
3
P
156
1556
1528
528
因为H、 O分别为EC、 AC的中点,所以HO∥EA,且 HO=12EA;又AE∥DF,且 DF=12EA.
所以HO∥DF,且HO=DF,所以四边形HODF 为平行四边形,所以HF∥OD,即HF∥BD,所以HF⊥平面AEC.
因为HF⊂平面CEF,所以平面AEC⊥平面CEF. …………………………………5分
(2)取CD中点M , 连接AM. 因为菱形 ABCD中, ∠ABC=60°, 所以△ACD为正三角形,又M 为CD中点,所以AM⊥CD,因为AB∥CD,所以AM⊥AB. 因为AE⊥平面ABCD, AB,AM⊂平面ABCD,所以AE⊥AB, AE⊥AM .如图,以A为原点,AB,AM,AE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz. ………7分
不妨设AB=AD=AE=2DF=2,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1, 3,0),D(-1, 3,0),E(0,0,2),F(-1, 3,1).…8分
因为AM⊥平面ABE,所以AM=030为平面ABE的一个法向量， ………9分
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z), 因为 CE=-1-32,CF=-201,
所以n⋅CE=-x-3y+2z=0n⋅CF=-2x+z=0 ⇒y=3xz=2x
不妨令x=1, 得 n=132. …………11分
设平面 ABE与平面CEF 夹角为θ,
贝 csθ=|cs|=|n⋅AM||n|⋅|AM|=322×3=64, …………………………11分
所以平面 ABE 与平面CEF夹角的余弦值为 64. ……………………………………12分
21. 解:(1)当a=1时, fx=eˣ-1-lnx, 则 f'x=ex-1x, ……………1分
所以 f'1=e-1,……………………………………………………………………………………2分
又f(1)=e-1,……………………………………………………………………………………3分
故所求切线方程为y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.………………………4分
(2)因为f(x)的定义域是(0,+∞),
所以当a≥1时, fx-sinx=aeˣ-1-lnx-sinx≥eˣ-1-lnx-sinx
设 gx=eˣ-1-lnx-sinx,则 g'x=ex-1x-csx,………………………………5分
设 hx=g'x=ex-1x-csx, 则 h'x=ex+1x2+sinx>0,……………………6分
所以h(x)在(0,+∞)上是增函数, 则 h13=e13-3-cs13<0, 又 hπ4=eπ4-4π-sinπ4,因为 eπ> 2.73>16=24,所以 eπ4>2,
又 4π+sinπ4<43.14+1.422≈1.984<2, 所以 hπ4>0,
所以h(x)在 13π4上存在唯一零点x₀，也是h(x)在(0，+∞)上的唯一零点，
所以 hx0=ex0-1x0-csx0=0, 即 ex0=1x0+csx0.………………………………9分
当0当x>x₀时, g'(x)<0, g(x)在(x₀+∞)上单调递增.
所以 gxmin=gx0=ex0-lnx0-1-sinx0=1x0+csx0-lnx0-1-sinx0…………10分
由于 01,lnx0<0,csx0>sinx0,
所以 gxₘᵢₙ=gx₀>0,所以g(x)>0,………………………………………………11分
所以当a≥1时,f(x)-sinx>0,即f(x)>sinx成立………………………………12分
22. 解:(1)由题意知,△GHF₂的周长为4a,则4a=8,所以a=2,…………1分
又 c=3, 则 b²=a²-c²=4-3=1, …………………………………………………………3分
所以椭圆 E 的方程为 x24+y2=1.……………………………………………………………………4分
(2)如图,
由题意知, M (0,1) ,N(0,-1) , 直线 PS,PT,ST 斜率均存在.
设P(m,2), (m∈R,m≠0), 则直线PS :y=xm+1,… ……………………………………5分
由y=xm+1x2+4y2=4 , 消去 y可得： m²+4x²+8mx=0,
因为 Δ=64m²>0恒成立，所以 xS+xM=-8mm2+4, ………………………6分
即 xS=-8mm2+4, 所以 yS=-8mm2+4×1m+1=m2-4m2+4;
同理 xT=24mm2+36,yT=36-m2m2+36, ……………8分
所以 kST=ys-yTxs-xT=m2-4m2+4-8mm2+36m2+36-84-m4m2+192m=12-m212+m216m12+m2=12-m216m, ……………10分
所以直线ST 方程为： y=12-m216mx--8mm2+4+m2-4m2+4=12-m216mx+12, ……………11分
所以直线ST 过定点 012. ……………………………………………………12分