2023-2024学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高二上学期12月月考数学试题

这是一份2023-2024学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高二上学期12月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了 椭圆，12，C下列四个结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。

江⻄省宜丰中学
2023-2024
（上）创新部⾼⼆
12
⽉考试数学试卷
⼀、单选题（本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项 是符合题⽬要求的）
，
1. 椭圆：的左右焦点分别是，P
在椭圆
上，且，则（）
A. 7B. 6C. 5D. 4
2.
直线平分圆
：
C ，则（）
A.B. 1C. -1D. -3
3.12
345
两位数中任取⼀个，则这个两位数⼤于 40 的个数是（）
从由 ，
， ， ，
组成的没有重复数字的
A. 6B. 8C. 10D. 12
4.
已知双曲线
C：的渐近线⽅程为 ，且 C 过点，则 C 的⽅程为
（）
AB.C.D.
数
5. 在四⾯体中，点 E 满⾜F 为 BE 的中点，且则实λ=
（）
AB.C.D.
如图所示
， ，D
E，相邻部分不能⽤同⼀种颜⾊，但同
五部分着⾊
，
⼀种颜⾊可以反复使⽤，也可不使⽤，则复合这些要求的不同着⾊的⽅法共有（）
A
B
C
D
E
A. 500
种
B. 520
种
C. 540
种
D. 560
种
7.
已知圆
与双曲线，若在双曲线上存在⼀点，
使得过点所作的圆的两条切线，切点为、 ，且，则双曲线的离⼼率的取值范围是
（）
A.B.
C.D.
8. 如图，在棱⻓为 3 的正⽅体中， 为线段上的动点，则下列结论错误的是（）
A. 当时，
B. 当时，点 到平⾯ 的距离为 1 C. 直线与所成的⻆可能是
D.
若⼆⾯⻆的平⾯⻆的正弦值为
，则或
(
、
⼆多选题 本题共
4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
每⼩题给出的四个选项中，有多项符合
在
题⽬要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，错选 0 分)
9.C下列四个结论中正确的是（）
已知⽅程表示的曲线为 ，则
A. 当时，曲线 C 是椭圆
B. 当或 时，曲线 C 是双曲线
C
若曲线
C
若曲线
x
是焦点在
y
是焦点在
轴上的椭圆，则
轴上的双曲线，则
10.
A.
B.
给出下列命题，其中正确的是（） 若空间向量 ， ，且，则实数 若，则存在唯⼀的实数，使得
C.
若空间向量
，，则向量 在向量 上的投影向量是
D.
11.
点 关于平⾯ 对称的点的坐标是
，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.
5
个不同颜⾊
清融城中学准备引进
校园师⽣安全重于泰⼭
的⾃动体外除颤器（简称 AED
福
，则下⾯正确的是（）
A.
从
B.
从
C.
把
D.
把
12.
）
5 个 AED 中随机取出 3 个，共有 10 种不同的取法
5 个 AED 中选 3 个分别给 3 位教师志愿者培训使⽤，每⼈ 1 个，共有 60 种选法
5 个 AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地⽅，共有 129 种⽅法
5 个 AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同地⽅，每个地⽅⾄少放⼀个，共有 150 种⽅法
，提出了新的疑问：平⾯上到两个定点距离之积为
⼩明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后
常数的点的轨迹是什么呢？⼜具备哪些性质呢？⽼师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国
“”．在⽼师的⿎励
天⽂学家卡⻄尼在研究⼟星及其卫星的运⾏规律时发现的，这类曲线被称为 卡⻄尼卵形线
下，⼩明决定先从特殊情况开始研究，假设 、 是平⾯直⻆坐标系 xOy 内的两个定点，满
⾜ 的动点
P
的轨迹为曲线
C，从⽽得到以下 4 个结论，其中正确结论的为（）
C
曲线
P
动点
既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形
的横坐标的取值范围是
C.
的取值范围是
D.
的⾯积的最⼤值为
三、 填空题（本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分）
.
13. 已知点在圆的外部，则 k 的取值范围是
14.4
的展开式的第项为．
15.
设常数
．如图在矩形中，平⾯．若线段上存在点，
使得，则 的取值范围是 ．
16. 在空间直⻆坐标系中，若⼀条直线经过点，且以向量为⽅向向量，
.l
则这条直线可以⽤⽅程来表示 已知直线
的⽅程为，则
l
到直线
.
的距离为
、
四解答题
（本题共 6 ⼩题，其中 17 题 10 分，18~22 每题 12 分，共 70 分）
17.
1
已知直线
.
，且 ，求直线 的⽅程；
（ ）若直线 过点
（ ）若直线 .
18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为 ，的中点．
1：平⾯ ；
（ ）求证
2与平⾯所成⻆的余弦值．
（
19.
）求直线
，抛物线上⼀点横坐标为 3
且点到焦点的距离为 4.
已知抛物线的焦点为，
1；
（ ）求抛物线的⽅程
（ ）过点作直线交抛物线于点 .
142
6 个⼈排成⼀排照相，其中两个⼥⽣相邻排法种数为多少？
28 个体育⽣名额，分配给 5 个班级，每班⾄少 1 个名额，有多少种分法？
（ ）
3⼀份有 4 个不同的朗诵节⽬和 3 个不同的说唱节⽬的节⽬单，如果说唱节⽬不排在开头，并且任
（ ）要排
意两个说唱节⽬不排在⼀起，则不同的排法种数为多少？
47，其中 3 名⼥医⽣，有外科医⽣ 5 名，其中只有 1 名⼥医⽣．现选派 6 名去甲、
（ ）某医院有内科医⽣名
⼄两地参加赈灾医疗队，要求每队必须 2 名男医⽣ 1 名⼥医⽣，且每队由 2 名外科医⽣ 1 名内科医⽣组成， 有多少种派法？（最后结果都⽤数字作答）
21.
在直⻆梯形中，，，，如图①把沿
翻折，使得平⾯平⾯（如图②）．
1： ；
（ ）求证
2上是否存在点 ，使得与平⾯所成的⻆为 60°？若存在，求出的值；若不
（ ）在线段
存在，请说明理由．
22.
1
已知椭圆
（）的离⼼率为，⼀个焦点为.
；
（ ）求椭圆的⽅程
2，直线（）与椭圆交于不同的两点 ，且与 x 轴交于点，为线
（ ）设为原点
段的中点，点 关于 轴的对称点为.： 是等腰直⻆三⻆.
明形
证
江⻄省宜丰中学
2023-2024
（上）创新部⾼⼆
12
⽉考试数学试卷
⼀、单选题（本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项 是符合题⽬要求的）
，
1. 椭圆：的左右焦点分别是，P
在椭圆
上，且，则（）
A. 7B. 6C. 5D. 4
D
【答案】
【解析】
.
【分析】求出椭圆的⻓轴⻓，根据椭圆的定义，即可求得答案
【详解】由题意知椭圆：的⻓轴⻓为，
P
⼜在椭圆
D
上， ，故 ，
故选：
2.
直线平分圆
：
C ，则（）
A.B. 1C. -1D. -3
D
【答案】
【解析】
.
【分析】求出圆⼼，结合圆⼼在直线上，代⼊求值即可
【详解】 变形为 ，故圆⼼为 ， 由题意得圆⼼ 在 上，故，解得.
D
故选：
3.12
345
两位数中任取⼀个，则这个两位数⼤于 40 的个数是（）
从由 ，
， ， ，
组成的没有重复数字的
A. 6B. 8C. 10D. 12
B
【答案】
【解析】
【分析】数字排列问题，根据符合题意的要求选取⼗位数为 4 或 5
个位数不重复则在剩余的 4 个数字⾥选
，
果
择 1 个，即可计算结.
【详解】这个两位数⼤于 40 的个数为．
B
故选： ．
4.
已知双曲线
C：的渐近线⽅程为 ，且 C 过点，则 C 的⽅程为
（）
AB. C.D. B
【答案】
【解析】
.
【分析】利⽤待定系数法即可得解
C，
【详解】因为双曲线
C
的渐近线⽅程为
，
所以可设的⽅程为
把点的坐标代⼊得，
C
所以的⽅程为
B.
，即.
故选：
5.
，点 E 满⾜F 为 BE 的中点，且则实λ=
数
在四⾯体中
（）
A.B. C.D. D
【答案】
【解析】
.
【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解
FBE
⼜
所以
，由
【详解】由为
得
的中点，得
即所以
D
故选：
如图所示
， ，D
E，相邻部分不能⽤同⼀种颜⾊，但同
五部分着⾊
⼀种颜⾊可以反复使⽤，也可不使⽤，则复合这些要求的不同着⾊的⽅法共有（）
A
B
C
D
E
A. 500
种
C
B. 520
种
C. 540
种
D. 560
种
【答案】
【解析】
【分析】由于规定⼀个区域只 涂B 区
·⼀种颜⾊，相邻的区域颜⾊不同，可分步进⾏，区域 A 有 5 种涂法，
.
有种涂法
E3，根据乘法原理即可
【详解】先涂
AA5
，则有
种涂法，再涂 B，因为 B 与 A 相邻，所以 B 的颜⾊只要与 A 不同即可，有 4 种
涂法
同理有
D3
种涂法
3
，
有种涂法
由分步乘法计数原理可知，复合这些要求的不同着⾊的⽅法共有为 5×4×3×3×3
540
＝
C.
故选：
7.
已知圆
与双曲线，若在双曲线上存在⼀点，
使得过点所作的圆的两条切线，切点为、 ，且，则双曲线的离⼼率的取值范围是
（）
B.
C. D.
B
【答案】
【解析】
【分析】连接、、，则，，设点，则 ，分析可得
围
，可得出 的取值范围，由 可求得 的取值范.
【详解】连接、、，则，，
由切线⻓定理可知，
，
⼜因为，，所以，，
所以， ，则，
设点，则 ，且， 所以， ，
所以， ，故 ，
B.
故选：
8. 如图，在棱⻓为 3 的正⽅体中， 为线段上的动点，则下列结论错误的是（）
A 当时，
B. 当时，点 到平⾯ 的距离为 1 C. 直线与所成的⻆可能是
D.
若⼆⾯⻆的平⾯⻆的正弦值为
，则或
C
【答案】
【解析】
【分析】建⽴空间直⻆坐标系后，容易求得 即可判断 A
B，利⽤空间向量法求解距离即可，对于
对于
；
，利⽤空间向量法求解直线所成⻆即可，.
【详解】建⽴空间直⻆坐标系如图所示，
则 ，
A
对于 ，因为
，所以，所以 ，
故，故 A 说法正确；
B
对于 ，
，因为 ，由选项 A 知，所以
，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ，则，即，
令，则，故，
所以点 到平⾯ 的距离为，故 B 说法正确；
C
对于 ，假设直线
与所成的⻆可能是，则
设，则，所以，
⼜ ，所以，
整理得，解得 ，⽭盾， 所以直线 与所成的⻆不可能是，故 C 说法错误；
D
对于 ，
，由选项知 ，
设平⾯，平⾯的⼀个法向量分别为，
所以 ， ，即 ， ，
分别令，则 ，故 ， 设⼆⾯⻆的平⾯⻆为 ，则，故 ，
故由，解得 或 ，
即或确
，故 D 说法正.
C.
故选：
.
在
【点睛】关键点点睛：本题的关键是建⽴合适的空间坐标系，利⽤空间向量法求解⻆度与距离问题即可
(
、
⼆多选题 本题共
4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
每⼩题给出的四个选项中，有多项符合
题⽬要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，错选 0 分)
9.C下列四个结论中正确的是（）
已知⽅程表示的曲线为 ，则
A. 当时，曲线 C 是椭圆
B. 当或 时，曲线 C 是双曲线
C
若曲线
C
若曲线
x
是焦点在
y
是焦点在
轴上的椭圆，则
轴上的双曲线，则
BCD
【答案】
【解析】
.
【分析】利⽤椭圆以及双曲线的标准⽅程的特征可逐⼀判断各选项
A
【详解】
选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故 A 错误；
B 选项，曲线是双曲线等价于 ，解得或，故 B 正确；
C 选项，若曲线是焦点在 轴上的椭圆，则，解得 ，故 C 正确；
确
D 选项，若曲线是焦点在 轴上的双曲线，则，解得，故 D 正.
BCD.
故选：
10.
A.
B.
C.
D.
给出下列命题，其中正确的是（） 若空间向量 ， ，且，则实数 若，则存在唯⼀的实数，使得
若空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是 点 关于平⾯ 对称的点的坐标是
AC
【答案】
【解析】
D
A B，利⽤
【分析】利⽤空间向量的对称特征可判定
C
，利⽤空间向量平⾏的充要条件及坐标表示可判定 、
投影向量的概念可判定 .
A
，即 A 正确；
【详解】对于 ，可知
B ， 恒成⽴，此时不唯⼀或者不存在，故 B 错误；
对于 ，显然时
C
对于 ，向量 在向量
上的投影向量，故 C 正确；
D
对于 ，易知点关于平⾯对称的点的坐标是
AC
，故 D 错误.
故选：
11.
校园师⽣安全重于泰⼭
，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.
5
个不同颜⾊
清融城中学准备引进
福
的⾃动体外除颤器（简称 AED
，则下⾯正确的是（）
）
A. 从 5 个 AED 中随机取出 3 个，共有 10 种不同的取法
B. 从 5 个 AED 中选 3 个分别给 3 位教师志愿者培训使⽤，每⼈ 1 个，共有 60 种选法
C. 把 5 个 AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地⽅，共有 129 种⽅法
D. 把 5 个 AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地⽅，每个地⽅⾄少放⼀个，共有 150 种⽅法
ABD
【答案】
【解析】
.
【分析】由排列组合的⽅法逐⼀计算验证即可
5 个 AED 中随机取出 3 个，共有种不同的取法，故 A 正确；
【详解】从
5 个 AED 中选 3 个分别给 3 位教师志愿者培训使⽤，每⼈ 1 个，
从
共有 种选法，故 B 正确；
5 个 AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地⽅，则每个 AED 都有 3 种安放⽅法，故共有
把
种⽅法，故 C 错误；
把 5 个 AED 安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地⽅，每个地⽅⾄少放⼀个，
5 个 AED 分成 3 组，每组⾄少 1 个，再把这 3 组 AED 放在宿舍、教学楼、体育馆三个地⽅，每个地
可先将
确
⽅放 1 组，故共有⽅法，故 D 正.
ABD
故选：
12.
，提出了新的疑问：平⾯上到两个定点距离之积为
⼩明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后
常数的点的轨迹是什么呢？⼜具备哪些性质呢？⽼师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国
“”．在⽼师的⿎励
天⽂学家卡⻄尼在研究⼟星及其卫星的运⾏规律时发现的，这类曲线被称为 卡⻄尼卵形线
下，⼩明决定先从特殊情况开始研究，假设 、 是平⾯直⻆坐标系 xOy 内的两个定点，满
⾜的动点
P
的轨迹为曲线
C，从⽽得到以下 4 个结论，其中正确结论的为（）
C
曲线
P
动点
既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形
的横坐标的取值范围是
C.
的取值范围是
D.
的⾯积的最⼤值为
ABD
【答案】
【解析】
【分析】设 ，由题设可得曲线 C 为，将、 、
代⼊即可判断；令，由在上有解，结合⼆次函数
性质求
P
的横坐标的取值范围判断
；由②分析可得，进⽽求范围判断；
由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三⻆形⾯积公式求最值判断.
【详解】令，则 ，
所以，则，
将、、代⼊上述⽅程后，均有，
所以曲线
C 既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形，正确；
令，则，
对于，对称轴为，
所以在上递增，要使在上有解，只需， 所以，即，可得，正确；
由 ，由中， ，
所以 ，其中负值舍去，
综上， ，⼜，即，
所以 ，则 ，错误；
由，仅当时等号成⽴，
的⾯积
，
，所以
⽽，
所以的⾯积的最⼤值为 ，正确.
故选：.
,
【点睛】关键点点睛：
P
通过换元，构造，利⽤根的分
.
布求的横坐标、的取值范围
三、 填空题（本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分）
.
13. 已知点在圆的外部，则 k 的取值范围是
【答案】
【解析】
.
【分析】根据⼆元⼆次⽅程表示圆的条件以及点在圆外，列出不等式求解，即得答案
【详解】由题意圆满⾜， 点 在圆的外部，
得 ，
即 的取值范围是 故答案为：
14.4
展开式的第项为．
【答案】
【解析】
.
【分析】根据⼆项展开式的通项公式求出第四项
4
【详解】的展开式的第项为
故答案为：
15.
设常数
．如图在矩形中，平⾯．若线段上存在点，
【答案】
【解析】
.
【分析】通过建系，把转换成向量垂直坐标运算，结合存在点，进⽽转换为⽅程有解问题
【详解】
因为在矩形中，平⾯，
所以以，，所在直线为 轴， 轴， 轴，建⽴空间直⻆坐标系， 设， ，其中或不符题意， 则 ， ， ， 则有 ，
由，得
即，
若线段上存在点 ，即⽅程在 有解，
设函数为，，对称轴为 ，
则⽅程在有解需满⾜ ，
⼜因为，
.
所以
故答案为：
16.
，若⼀条直线经过点 ，且以向量 为⽅向向量，
在空间直⻆坐标系中
.l
则这条直线可以⽤⽅程来表示 已知直线
的⽅程为，则
【答案】
l
到直线
.
的距离为
【解析】
【分析】根据题意，可得直线恒过定点，即可得到其⽅向向量，再由空间向量的坐标运算，代⼊计算，即
.
可得到结果
l
【详解】直线
的⽅程标准化：，
l
直线 过点
，⽅向向量为.
， ，，
Ml
到直线
.
的距离
故答案为：
、
（本题共 6 ⼩题，其中 17 题 10 分，18~22 每题 12 分，共 70 分）
四
17.
1
解答题
已知直线
.
，且 ，求直线 的⽅程；
（ ）若直线 过点
（ ）若直线
1
.
（ ）或 .
【答案】（ ） 2
【解析】
1
两直线垂直，斜率之积为，可求得直线 的斜率，
【分析】（ ）根据
再由直线的点斜式⽅程，即可写出直线⽅程；
2两直线平⾏，斜率相等，设出直线 的⽅程为 ，
（ ）先根据
再根据两平⾏直线的距离公式即可求出．
1
，所以直线 的斜率为.
【详解】（ ）因为直线 的⽅程为
因为，所以直线 的斜率为.
因为直线 过点 ，所以直线 的⽅程为，即 .
2与直线 之间的距离为，所以可设直线 的⽅程为 ，
（ ）因为直线
所以，解得 或.
.
故直线 的⽅程为或
【点睛】本题主要考查直线⽅程的求法，涉及两直线垂直，平⾏关系的应⽤，以及平⾏直线的距离公式的 应⽤，意在考查学⽣的数学运算能⼒，属于基础题．
18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为 ，的中点．
1：平⾯ ；
（ ）求证
2与平⾯所成⻆的余弦值．
（ ）求直线
1
【答案】（ ）证明⻅解析
2
（ ）
【解析】
）
【分析】（1
法⼀，通过构造平⾏四边形，找到线线平⾏，利⽤线⾯平⾏的判定定理即可证明；法⼆，通
过证明⾯⾯平⾏，证明线⾯平⾏；
2，求出平⾯ 的法向量，利⽤线⾯⻆的公式即可求.
（ ）建⽴空间直⻆坐标系
1
【⼩问详解】
取的中点，连接，，
∵ 直三棱柱中，为的中点，
所以 ，且，
因为，分别，的中点，
∴， ，
，，
∴ 四边形为平⾏四边形，
∴，
⼜∵平⾯，平⾯，
.
故平⾯
（法⼆）：
AB
取的中点
，连接，，
由直三棱柱可得四边形为平⾏四边形
⼜为的中点，
∴，，
∴，
⼜∵平⾯，平⾯ 故平⾯．
∵ 点，分别为，的中点，
∴，
⼜∵平⾯，平⾯，
∴平⾯，
⽽，平⾯，平⾯，
∴ 平⾯平⾯，
⽽平⾯，故平⾯ .
2
【⼩问详解】
∵ 在直三棱柱中⼜有，
∴，，两两垂直，分别以直线，，为 轴， 轴， 轴建⽴如图所示的空间直⻆ 坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设 是平⾯的法向量，
则，取，则
所以直线与平⾯所成的⻆的余弦为．
19. ，抛物线上⼀点横坐标为 3且点到焦点的距离为 4.
已知抛物线的焦点为，
1；
（ ）求抛物线的⽅程
（ ）过点作直线交抛物线于点 .
1
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，结合抛物线定义即可求解，
【分析】（
2
）由抛物线的焦半径公式
与抛物线⽅程可得 ，进⽽根据⾯积求解，结合基本不等式即可求解最值
（ ）联⽴直线.
1
【⼩问详解】
由题意知,
所以.
2
【⼩问详解】
由 ( 1 ) 知, 抛物线, 直线过,
可设直线的⽅程为, 联⽴
设 , 不妨设，
∴ ，
当且仅当，即 时取等号，
.
∴⾯积最⼩值为
142
6 个⼈排成⼀排照相，其中两个⼥⽣相邻的排法种数为多少？
28 个体育⽣名额，分配给 5 个班级，每班⾄少 1 个名额，有多少种分法？
（ ）
3⼀份有 4 个不同的朗诵节⽬和 3 个不同的说唱节⽬的节⽬单，如果说唱节⽬不排在开头，并且任
（ ）要排
意两个说唱节⽬不排在⼀起，则不同的排法种数为多少？
47，其中 3 名⼥医⽣，有外科医⽣ 5 名，其中只有 1 名⼥医⽣．现选派 6 名去甲、
（ ）某医院有内科医⽣名
⼄两地参加赈灾医疗队，要求每队必须 2 名男医⽣ 1 名⼥医⽣，且每队由 2 名外科医⽣ 1 名内科医⽣组成， 有多少种派法？（最后结果都⽤数字作答）
1；（
）；（ ） 76
（ ）.
【答案】（ ）235； 4
【解析】
1
两个⼥⽣相邻的排法种数；
【分析】（
2
）利⽤捆绑法即可求得
；
（ ）利⽤隔板法即可求得名额的分法种数
3不同的排法种数；
（ ）利⽤插空法即可求得
（ ）按外科⼥医⽣来或.
4不来分类讨论，再依据分步计数原理即可求得所有不同的派法种数
1两个⼥⽣相邻捆绑处理，有 ；
【详解】（ ）
28 个体育⽣名额排成⼀列，在形成的中间 7 个空隙中插⼊ 4 块隔板，
（ ）将
所以不同的放法种数为；
31，先排 4 个朗诵节⽬共种；
（ ）第步
第 2 步，排说唱节⽬，不相邻则⽤插空法，且保证不放到开头，
从剩下 4 个空中选 3 个插空共有种，所以⼀共有 =576 种排法；
4：
（ ）先分类
4141
①若外科⼥医⽣必选，则⼀组内科
男选 ，外科
男选 ；
另⼀组内科 3 ⼥中选 1 ⼥，外科 3 男选 2
共有 种；
，
3142
②若外科⼥医⽣不选，则⼀组内科
⼥选 ，外科
男选 ；
另⼀组内科 2 ⼥选 122 ，共有种；
外科男选
，
由于分赴甲⼄两地，所以共有 种．
21.
在直⻆梯形中，，，，如图①把沿
翻折，使得平⾯平⾯（如图②）．
1：；
（ ）求证
2上是否存在点，使得与平⾯所成的⻆为 60°？若存在，求出的值；若不
（ ）在线段
存在，请说明理由．
1；
【答案】（ ）证明⻅解析
（ ）存在.
2，，理由⻅解析
【解析】
1
，连接，易得，由⾯⾯、线⾯垂直的性质有，最后
【分析】（ ）若为中点
根据线⾯垂直的判定和性质证结论；
2 ，并构建空间直⻆坐标系，应⽤向量法及已知线⾯⻆的余弦值求出满⾜要求的 点
（ ）过作
坐标，即可判断存在性并求的值.
1
【⼩问
详解】
由题设，若为中点，连接，则，
由⾯⾯，⾯⾯，⾯，则⾯，
⽽⾯，故，
⼜，，则，且， 所以，故，
所以，
，⾯，则⾯，
⼜⾯，所以.
2
【⼩问
详解】
1： ，且⾯，
过作，由（ ）知
所以可构建如下图示的空间直⻆坐标系，则，
设 且，则 ，且 ，
，
若是⾯的⼀个法向量，则 ， 令，则 ，⼜与平⾯所成的⻆为 60° 所以 ，
整理得，可得或（舍），即，
⽽ ，则， ，即 ，故.
22.
1
已知椭圆
（）的离⼼率为，⼀个焦点为.
；
（ ）求椭圆的⽅程
2，直线（）与椭圆交于不同的两点 ，且与 x 轴交于点，为线
（ ）设为原点
段的中点，点 关于 轴的对称点为.： 是等腰直⻆三⻆.
明形
证
1
【答案】（ ）
2.
（ ）证明⻅解析
【解析】
1，进⽽结合 求解即可得答案；
【分析】（
2
）由题知
，，进⽽联⽴并结合题意得
（ ）设点
或，进⽽结合⻙达定理得，再的中点为，证明
1
【⼩问
明
，进⽽得 ， ，故 ，综合即可得证.
详解】
解：因为椭圆的离⼼率为，⼀个焦点为
所以，所以
.
所以椭圆的⽅程为
2
【⼩问
详解】
解：设点 ，则点,
所以联⽴⽅程 得，
所以有，解得， 因，故或
设，
所以
设向量，
所以
，
所以 ，即 ， 设的中点为，则
所以，
⼜因为，所以，
所以，
.
因为点 关于 轴的对称点为
所以，
所以，
三⻆.
所以是等腰直⻆形