2023-2024学年福建省莆田市第二中学高二上学期10月月考数学数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市第二中学高二上学期10月月考数学数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将椭圆方程转化为标准方程，利用即即可求解.
【详解】解：因为椭圆的方程为，即，
故，又，故.
故选：C.
2．已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解
【详解】因为，所以.又，
所以，即，所以，则.
所以.又，所以.
故选：C.
3．若圆与圆有3条公切线，则（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
【答案】D
【分析】根据公切线的条数可判断两圆的位置关系即可求解.
【详解】因为两圆有3条公切线,所以两圆的位置关系为外切,
则圆心距等于两圆半径之和,
即,解得或,
故选:D.
4．若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的焦距为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】A
【分析】由题得双曲线的渐近线方程为，不妨设直线，解方程即得解.
【详解】由，则该双曲线的渐近线方程为，
不妨设直线被圆所截得的弦长为，
则，解得，所以，所以.
故该双曲线的焦距为
故选：A
5．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.
【详解】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别A、，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由切线性质得，A，，四点共圆，且，则，又，故当直线时，最小，最小，即可由点斜式求得方程
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由切线性质得，，A，，四点共圆，且. 所以，
而，则当直线时，最小，即最小，即最小，所以此时直线，即
故选：B
7．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面，再结合三角形内切圆性质求出长即可作答.
【详解】依题意，平面截球O得球面大圆，如图，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F，
显然，而，则，又，有，
由圆的切线性质知，，
在中，，则，于是得椭圆长轴长，即，
又F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，因此，
所以椭圆的离心率.
故选：A
8．长方体中，，，上底面的中心为，当点在线段上从移动到时，点在平面上的射影的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，证明平面，以，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，由，可得：，化简可得射影的轨迹，求出轨迹对应的圆心角，利用弧长公式，即可求得答案.
【详解】易证明平面，则面面
如图所示，以，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，
则有：，，，设，
∴由，可得：，
整理可得：，
∴点在平面上的射影的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，
∵，
∴
∴是等边三角形，即，
∴圆弧的长
故选：B
二、多选题
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则或
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；
再根据两直线垂直列出方程，求出.
【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．
若，则，解得，C正确，D错误．
故选：AC
10．下列结论不正确的有（ ）
A．如果，，那么直线不经过第三象限；
B．过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为：；
C．直线：在轴的截距为；
D．直线：的倾斜角为；
【答案】BCD
【分析】根据直线方程的倾斜角、斜截式、截距式的概念与图象性质，以及直线方程不同形式与一般式的转化，即可判断正误.
【详解】解: 对于A，易得，直线方程可化为，
，，
A与C符号相反，B与C符号相反，
则A与B符号相同，
直线的斜率，在y轴上的截距，
直线不经过第三象限，A选项正确；
对于B，当在轴上的截距不为0时，由题可设直线方程为，
因为点在直线上，则，
所以直线方程为，即，
当在轴上的截距为0时，直线过原点，可设直线方程为，
因为点在直线上，
所以直线方程为，即，B选项错误；
对于C，已知直线：，
当时，
直线：在轴的截距为1，C选项错误；
对于D，直线：可化为，
设倾斜角为，则，
而，所以，D选项错误；
故选：BCD.
11．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或D．若A，B，C，O四点共圆，则
【答案】ACD
【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线过点，
圆，即①，
圆心为，半径为，
由于，所以在圆内.，
所以，此时，所以A选项正确.
若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误.
设，则，此时三角形是等腰直角三角形，
到直线的距离为，即，
解得或，所以C选项正确.
对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，，
所以的垂直平分线为，则②，
圆的方程为，
整理得③，
直线是圆和圆的交线，
由①-③并整理得，
将代入上式得，④，
由②④解得，
所以直线即直线的斜率为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.
12．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．椭圆离心率为D．面积最大值为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义得到，进而判断当轴时，最小，此时最大，进而求出b,c,即可判断A,B,C.设出直线AB并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.
【详解】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：
将代入椭圆方程得：，则.
所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确；
对D，设，，代入椭圆方程得：，则，
所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为.故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题答案D的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到；在处理最好采用换元法，这样可以简化运算.
三、填空题
13．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
14．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值是 .
【答案】25
【分析】根据题意，由分析可得两条动直线所过定点即坐标，然后结合直线一般式方程判断两直线始终垂直，即可得，结合勾股定理即可求得的值.
【详解】解：直线，整理成，则，即
直线，整理成，则，即
又，过定点的动直线和过定点的动直线始终垂直，为两条垂直直线的交点
则有
所以.
故答案为：25.
15．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则 .
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】解：因为点，分别是、的中点，
所以，，
，
，
所以.
故答案为：
16．直线与曲线恰有2个公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得答案.
【详解】由曲线得，当时；当时；
直线恒过点，
所以直线与曲线的图象为
当直线与相切时，此时，
得，解得，
当直线与平行时，，
直线与曲线要恰有2个公共点，
可得，
故答案为：.
四、解答题
17．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，.
(1)求圆A的标准方程；
(2)求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）计算出圆A的半径，可得出圆A的标准方程；
（2）利用勾股定理计算出圆心A到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程.
【详解】（1）设圆A半径为R，由圆与直线相切，
则点到直线的距离等于半径，
得，
∴圆A的标准方程为.
（2）由（1）知，，，
则圆心A到直线的距离
.
当直线l与x轴垂直时，即，
此时圆心A到直线的距离为，符合题意；
当直线l不与x轴垂直时，
设方程为，即，
， 解得，
∴直线l为：.
综上所述，直线l的方程为或.

18．如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PB的中点N，连结MN，AN，MO，构造平行四边形，通过证明线线平行从而证明线面平行；
（2）根据已知条件通过面面垂直从而证明线面垂直，再以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，通过向量法计算点M到平面PAB的距离.
【详解】（1）取PB的中点N，连结MN，AN，MO，
⸪M、N为PC、PB的中点 ⸫且
又⸪菱形ABCD，O为AD中点，⸫且
⸫且，⸫四边形为平行四边形
⸫，又平面，平面
⸫平面
（2）连结PO、OC，又⸪菱形 ，
又平面平面，平面平面，平面
⸫平面，⸪为正三角形，⸫且
如图建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），A（1，0，0），B（2，，0），M（0，，）
设平面PAB的法向量为，
则，取且
⸫M到平面的距离
即点M到平面PAB的距离为
19．已知点，点在双曲线：上
(1)求的最小值，并求出此时求点的坐标；
(2)直线与交于点（异于点），若原点在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设，则有，计算，计算得到答案.
（2）设：，联立方程得到方程组，消去利用韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为，利用向量的运算法则计算得到答案.
【详解】（1）设，则有，
则，
当时，，此时点的坐标为
（2）由题知直线的斜率存在，故可设：，，，
与双曲线方程联立得，，
则，解得且
，，
，依题意得，解得
所以
20．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
(1)证明：．
(2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，出相关点坐标，求出向量的坐标，计算的数量积，即可证明结论；
（2）求出平面与平面的法向量，利用空间角的向量求法求出平面与平面所成的二面角的余弦值的表达式，即可求得正弦值表达式，结合二次函数性质可确定其最小值，即可得答案.
【详解】（1）由题意直三棱柱中，，
平面，故平面，
又平面，故，
以B为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
则，
则.
（2）由（1）知平面，则可作为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，而，
则，即，
令，则，
设面与平面所成的二面角的平面角为，
则，
则，
当且仅当时等号成立，
即时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小.
21．某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.
(1)经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？
(2)若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？
【答案】(1)经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时
(2)小时.
【分析】（1）判断A市受到台风影响，建立坐标系，根据台风中心到A的距离不超过400公里，列不等式求解即可得；
（2）根据实际情况，由于风圈缩小，根据台风中心到A的距离不超过400公里，列不等式求解即可得.
【详解】（1）如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则,，
依题意得：即，
整理得：，
所以（小时），
经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时.
（2）依题意得：，
整理得：，解得，
所以（小时），
台风B影响A市的时间为小时.
22．已知椭圆且四个点、、、中恰好有三个点在椭圆C上，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且，证明：直线l与定圆相切，并求出的值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的对称性判断椭圆经过的三点，再代入求解作答.
（2）直线l的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直的向量表示，并求出原点到直线l的距离，再讨论直线斜率不存在的情况作答.
【详解】（1）由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，则不在椭圆上，有在椭圆上，
因此，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，设，则点，
因，则，解得，即原点O到直线l的距离为，
当直线l的斜率存在时，设直线，，
由消去y并整理得：，
有，，，
因，则
，整理得，满足，
原点O到直线l的距离，
综上得：原点O到直线l的距离恒为，即直线l与圆相切，
所以直线l与定圆相切，.