2023-2024学年福建省漳州市长泰第二中学高二上学期第二次月考数学试题

这是一份2023-2024学年福建省漳州市长泰第二中学高二上学期第二次月考数学试题，共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知曲线，则 A等内容，欢迎下载使用。
2025 届⾼⼆上数学⽉考 2 试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，满分：1 50 分， 考试时间：1 20 分钟；
考试范围：湘教版选择性必修第⼀册第⼀章~ 第三章，命题⼈：sqb，时间：2023 年 1 2 ⽉ 注意事项：
1 .答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题 共 60 分）
⼀、单选题（本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项 是符合题⽬要求的）
1 . 过两点的直线的倾斜⻆为，则（）
A. B.C. D.
2. 等差数列前 项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（）
A 1 30B. 1 70C. 21 0D. 260
3. 已知等⽐数列公⽐且，前 项积为，若，则下列结论正确的是（） A. B. C. D.
4. 已知数列是公⽐为 q 的等⽐数列，若，且是与的等差中项，则 的值是
（）
A.B. 3C. 2D. 1 或 2
5. 已知，过 斜率为 的直线上存在不同的两个点满⾜：
.则 的取值范围是（）
A. B.
C.D.
6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后⼈称为“三⻆垛”.“三⻆垛”的最
上层有 1 个球，第⼆层有 3 个球，第三层有 6 个球……在 201 5 年世乒赛期间，苏州某景点就⽤乒乓球堆 成“三⻆垛”型的装饰品，假设⼀个“三⻆垛”装饰品共有 n 层，记使⽤的乒乓球数量为，则
（）
（参考公式： ）
A. B.
C. D.
7. 椭圆左右焦点为､，为椭圆上的⼀点， ，则△的⾯积为（
）
A. 1B.C. D. 2
8. 已知 F1 ，F2 分别为双曲线 C:的左右焦点，过点 F1 且斜率存在的直线 L 与双 曲线 C 的渐近线相交于 AB 两点，且点 AB 在 x 轴的上⽅，AB 两个点到 x 轴的距离之和为，若
，则双曲线的离⼼率为（）
A. B. C. D.
⼆、多选题（本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项符
合题⽬要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9. 已知曲线，则（） A. 若，，则曲线 C 表示椭圆 B. 若，则曲线 C 表示双曲线
C. 若，，则曲线 C 表示双曲线，其渐近线⽅程为
D. 若， ，则曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，其离⼼率
1 0. 实数 x ，y 满⾜，则 的值可能为（ ）
A. B. C. D.
1 1 . 记为数列 的前 n 项和，若，且 ， ， 成等⽐数列，则（） A. 为等差数列B.
C. ， ， 成等⽐数列D. 有最⼤值，⽆最⼩值
1 2. 2023 年暑期档动画电影《⻓安三万⾥》重新点燃了⼈们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗⼜称出塞诗，是 唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象⼒最丰富，艺术性最强的⼀部分，唐代诗⼈李 颀的边塞诗《古从军⾏》开头两句说：“⽩⽇登⼭望烽⽕，⻩昏饮⻢傍交河”.诗中隐含着⼀个有趣的数学问题
——“将军饮⻢”，即将军在观望烽⽕之后从⼭脚下某处出发，先到河边饮⻢后再回军营，怎样⾛才能使总路 程最短？在平⾯直⻆坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所在位置为 ，河岸线所在直线的
⽅程为，若将军从出发点到河边饮⻢，再回到军营（“将军饮⻢”）的总路程最短，则（ ）
A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的⽅程是
B. 将军在河边饮⻢的地点的坐标为
C. 将军从河边回军营的路线所在直线的⽅程是 D. “将军饮⻢”⾛过的总路程为
第 II 卷（⾮选择题共 90 分）
三、填空题（本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分）
1 3. 写出⼀个同时满⾜以下条件抛物线的⽅程
．
为
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点到其准线的距离为
1 4. 过椭圆内⼀点 ，且被这点平分的弦所在直线的⽅程
.
是
1 5. 已知抛物线的焦点为 为抛物线上任意⼀点，点 ，则 的最⼩值为
．
1 6. 图 1 为⼀种卫星接收天线，其曲⾯与轴截⾯的交线为抛物线的⼀部分．已知该卫星接收天线的⼝径
，深度．信号处理中⼼位于焦点处，以顶点为坐标原点，建⽴如图 2 所示的平⾯ 直⻆坐标系，若是该抛物线上⼀点，则点到直线和直线的距离之和
．
的最⼩值是
，若以为直径的圆与 y 轴的公共点坐标为，则点的横坐标为
四、解答题（本题共 6 ⼩题，共 70 分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）
1 7. 求满⾜下列条件的直线⽅程：
（1 ）过点，与直线平⾏；
（2）过点 ，与直线垂直．
1 8. 已知圆，圆 ．
（1 ）证明圆 A 与圆 B 相交，并求圆 A 与圆 B 的公共弦所在直线的⽅程；
（2）已知点，若直线 PA，PC 相交于点 P，且它们斜率之积为 ，求动点 P 的轨迹⽅程并说明 轨迹图形．
1 9. 已知数列的前 项和为，在①且 ；② ；③ 且，，这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯的问题中，并求解：
（1 ）已知数列满
，求的通项公式；
⾜
（2）已知正项等⽐数列满⾜，，求数列 的前 项和． 20. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆
（），它的离⼼率是其伴随双曲线离⼼率的倍．
（1 ）求椭圆伴随双曲线的⽅程；
（2）如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线 与上⽀交于， 两点，设的
⾯积为 ，（其中为坐标原点）．若的⾯积为，求．
21 . 双曲线的左、右焦点分别为，过作与 轴垂直的直线交双曲线于 两点，的⾯积为 1 2，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.
（1 ）求抛物线的⽅程；
（2）如图，点 为抛物线的准线上⼀点，过点作 轴的垂线交抛物线于点，连接 并延⻓交抛物线于点，求证：直线过定点.
22. 已知椭圆过点，点 与关于原点对称，椭圆上的点满⾜直 线与直线的斜率之积为 .
（1 ）求椭圆的⽅程；
（2）直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：
直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.
保密★启⽤前
2025
2
届⾼⼆上数学⽉考试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，满分：150 分， 考试时间：120 分钟；
第
，
考试范围：湘教版选择性必修第⼀册第⼀章~
三章，命题⼈：sqb
时间：2023 年 12 ⽉
注意事项：
1.
答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息
2.
上
请将答案正确填写在答题卡
第 I 卷（选择题 共 60 分）
在
⼀、单选题（本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的）
1. 过两点的直线的倾斜⻆为，则（）
AB. C.D.
D
【答案】
【解析】
.
【分析】由倾斜⻆与斜率及两点坐标的关系可求
【详解】设直线斜率为 ，则，
D.
故选：
2.
等差数列前 项的和为
，前项的和为，则它的前项的和为（）
A. 130B. 170C. 210D. 260
C
【答案】
【解析】
.
【分析】根据等差数列前 项和的性质，结合已知数据，求解即可
【详解】利⽤等差数列的性质：成等差数列， 所以 ，即 ，解得 .
C.
故选：
3.
已知等⽐数列的公⽐
且，前 项积为，若，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
C
【答案】
【解析】
【分析】⾸先计算解
，再根据等⽐数列的性质，即可求.
【 详解】 因为， 所以 ， 由且可知，同号， 所以
. C
故选：
4.q
已知数列是公⽐为
的等⽐数列，若 ，且是与的等差中项，则的值是
（）
A. B. 3C. 2D. 12
或
B
【答案】
【解析】
.
【分析】由等⽐数列的性质及等差中项的定义求得公⽐即可
【详解】由题意可得：，⽽是与的等差中项，
()，
即舍去 或
，即.
B
故选：
5.
已知
，过 斜率为 的直线上存在不同的两个点满⾜：
.（）
则 的取值范围是
A.B.
C.D.
C
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可得，是以、为焦点的双曲线的右⽀上的两点，即过
斜率为 的直线与双曲线的右⽀有两个交点，求出双曲线⽅程，联⽴直线与双曲线，消元，根据
.
不等式组，解得即
及⻙达定理得到可
【详解】因为 ，
所以，是以 、 为焦点的双曲线的右⽀上的两点， 且， ，所以 ， 双曲线⽅程为 ，
则过 斜率为 的直线⽅程为，
由，消去 整理得，
所以，解得，即 的取值范围为.
C.
故选：
6.·
，后⼈称为“ 三⻆垛” .
三⻆垛” 的
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中“
……2015世乒赛期间，苏州某景点就⽤乒乓球堆
成“ 三⻆垛” 型的装饰品，假设⼀个“ 三⻆垛” 装饰品共有 n 层，记使⽤的乒乓球数量为，则
（）
（参考公式：）
A.B.
C. D.
D
【答案】
【解析】
【分析】通过观察发现每⼀层的乒乓球数为 ，从⽽求转 化成数列的前 项和，利⽤等差数列前 项和公式和即可求
.
出结果
【详解】
D
故选：
7.
椭圆的左右焦点为
､，为椭圆上的⼀点，，则△的⾯积为（）
A. 1B. C.D. 2
C
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆⽅程可得，结合余弦定理求得 ，最后根据三⻆形⾯积公式 求△的⾯积.
【详解】∵ 点是椭圆上的⼀点，､是焦点，
∵ 在△
中
，
∴
∴ ，即 ①，
②，
①-②得： ， .
C.
为双曲线的左右焦点
故选：
8.F1 F2
已知，
分别C:，过点 F1 且斜率存在的直线 L 与双曲
线的渐近线相交于
AB 两个点到 x 轴的距离之和为，若
，则双曲线的离⼼率为（）
B.C.D. A
【答案】
【解析】
.
【分析】根据得到为直⻆三⻆形，进⽽根据点差法得中点弦的性质即可求
【详解】设 , ，设的中点为 ， 由于 ，故 , 因此为直⻆三⻆形，故 ， 由于 ，所以 ，进⽽可得 ， 故或 ，由双曲线渐近线上，
所以，
进⽽，
所以，
当 时， ,，所以 不符合题意，舍去， 综上：故离⼼率为 .
A
故选：
在
⼆、多选题（本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
每⼩题给出的四个选项中，有多项符合
题⽬要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9.
已知曲线
，则（）
A. 若，，则曲线 C 表示椭圆
B. 若，则曲线 C 表示双曲线
C. 若，，则曲线 C 表示双曲线，其渐近线⽅程为
D. 若，，则曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，其离⼼率
BC
【答案】
【解析】
.
【分析】利⽤曲线的⽅程逐项分析即得
【详解】对于
A若，，当时，则曲线 C 表示圆，故 A 错误；
B
对于 ，若
，
，当 时曲线 C 表示焦点在 x 轴上的双曲线，当时曲线 C 表示焦
点在 y 轴上的双曲线，所以若，则曲线 C 表示双曲线，故 B 正确；
C
对于 ，若
C
，，则，，
，⽅程为，
所以曲线表示双曲线
令 ，得 ，即 ，故其渐近线⽅程为 ，故 C 正确；
D
对于 ，若
，，则曲线 C ⽅程为，即，
因为误
，所以曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 D 错.
BC.
故选：
10.xy，则的值可能为（）
实数 ， 满⾜
A. B. C. D.
BCD
【答案】
【解析】
.
【分析】令，与联⽴，然后利⽤解出 的取值范围，即得
【详解】令，可得，
则直线与圆，
将代⼊⽅程，
得 解得，即 .
BCD.
故选：
11.
A.
n
记为数列的前
为等差数列
项和，若 ，且 ， ， 成等⽐数列，则（）
B.
C. ， ， 成等⽐数列D. 有最⼤值，⽆最⼩值
AC
【答案】
【解析】
.
【分析】先根据递推公式求出数列的通项公式，再根据条件求出，然后逐项分析
【详解】由题意 ，
得：，
， 是⾸项为 ，公差为 1 的等差数列，
，
由于成等⽐数列，，，解得；
；
对于 ，正确
；
对于 ，错误
C
对于 ，
D
对于 ，
，正确；
，是关于 n 的⼆次函数，所以在 或 13
处取得最⼩值，⽆最⼤值，错误；
AC.
故选：
12. 2023三万⾥》重新点燃了⼈们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗⼜称出塞诗，是唐 年暑期档动画电影《⻓安
代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象⼒最丰富，艺术性最强的⼀部分，唐代诗⼈李颀
“，⻩昏饮⻢傍交河 .
中隐含着⼀个有趣的数学问题
——“
”，即将军在观望烽⽕之后从⼭脚下某处出发，先到河边饮⻢后再回军营，怎样⾛才能使总路
将军饮⻢
程最短？在平⾯直⻆坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所在位置为 ，河岸线所在直线的
“”，则（）
⽅程为，若将军从出发点到河边饮⻢，再回到军营（ 将军饮⻢ ）的总路程最短
A.
将军从出发点到河边的路线所在直线的⽅程是
B.
将军在河边饮⻢的地点的坐标为
C.
将军从河边回军营的路线所在直线的⽅程是
D. “
”
将军饮⻢ ⾛过的总路程为
BD
【答案】
【解析】
【分析】求出点 关于直线的对称点为 ，直线的⽅程为即为从 出发点到河边的路线，可得 A 错误；联⽴直线⽅程可解得交点坐标即为饮⻢地点的坐标为，可得
B 正确；直线的⽅程为 即为从河边回军营的路线，可得 C 错误；由各路段⻓度总和即可
“”，可知 D 正.
确
求出 将军饮⻢ ⾛过的总路程为
【详解】由题可知在的同侧，
设点 关于直线的对称点为 ，如下图所示：
则，解得 ；即.
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，
⼜，所以直线的⽅程为，故错误； 设将军在河边饮⻢的地点为，则即为与的交点， 联⽴两直线⽅程解得 ，故 B 正确；
将军从河边回军营的路线所在直线为，⼜ ，
所以直线的⽅程为 ，故 C 错误； 总路程 ，
“”，故 D 正.
所以 将军饮⻢ 的总路程为
BD.
故选：
确
第 II 卷（⾮选择题共 90 分）
三、填空题（本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分）
13.
写出．
⼀个同时满⾜以下条件的抛物线的⽅程为
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点到其准线的距离为
【答案】 （答案不唯⼀）
【解析】
【分析】待定系数法去求抛物线的⽅程
【详解】由①②可知的⽅程为抛物线的标准⽅程，由③可知，，
所以抛物线的⽅程可以为．
不唯
⼀
故答案为：(案)
答
是
14. 过椭圆内⼀点 ，且被这点平分的弦所在直线的⽅程 .
【答案】
【解析】
.
【分析】利⽤点差法即可求得过点且被点 P 平分的弦所在直线的⽅程
【详解】设该直线与椭圆的两个交点分别为， 则
⼜ ， ，两式相减得
，则
，
则 则所求直线⽅程为 ，即
.
经检验符合题意
故答案为：
15.
上任意⼀点，点 ，则 的最⼩值为
已知抛物线的焦点为为抛物线
．
4
【答案】
【解析】
【分析】利⽤抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．
【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线 的⽅程为，过作于
由抛物线定义可知，所以，
则当共线时取得最⼩值，所以最⼩值为：．
4
故答案为： ．
16.
图
1 为⼀种卫星接收天线，其曲⾯与轴截⾯的交线为抛物线的⼀部分．已知该卫星接收天线的⼝径
，深度．信号处理中⼼位于焦点处，以顶点为坐标原点，建⽴如图 2 所示的平⾯
直⻆坐标系，若是该抛物线上⼀点，则点到直线和直线的距离之和
的最⼩值是
. 2
【答案】①
，若以为直径的圆．
.##
②
【解析】
）
【 分 析 】（ 1
由 题 知 ， 根 据 待 定 系 数 法 得， 进 ⽽ 根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 将 问 题 转 化 为 求
的距离，再数形结合求解即可；
（
）
2取中点为，过作 轴的垂线，垂⾜为，过作 轴的垂线，垂⾜为，进⽽结合抛物线
的定义得以为直径的圆案
与 y 轴相切，再结合题意得 P 点纵坐标为，进⽽代⼊抛物线⽅程即可得答.
【详解】由图
2
，可设抛物线⽅程为
，过点 ，
∴，抛物线⽅程为，
∴，是抛物线的准线，
∴到的距离等于．
1 ，则到直线 和直线 的距离之和为
（ ）过作于
∵ 抛物线的焦点
F
∴ 过作于
，和抛物线的交点就是，
∴（当且仅当三点共线时等号成⽴）
∴ 点到直线的距离和到直线的距离之和的最⼩值就是到直线 距离，
∴ 最⼩值．
2，过作 轴的垂线，垂⾜为，过作 轴的垂线，垂⾜为
（ ）取中点为
则为梯形的中位线，
由抛物线的定义可得 ，
所以 ，
所以，以为直径的圆与 y 轴相切，
所以点为圆与 y 轴的切点，所以 D 点的纵坐标为，
⼜ D 为中点，所以 P 点纵坐标为，
P
⼜点在抛物线
上，则有，解得，所以 P 点横坐标为．
故答案为： ；.
四、解答题（本题共 6 ⼩题，共 70 分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）
17.
1
求满⾜下列条件的直线⽅程：
，与直线平⾏；
（ ）过点
2，与直线 垂直．
（ ）过点
1；
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，利⽤直线平⾏可得所求直线的斜率，由点斜式可得结果；
【分析】（ ）由直线的斜率为
（ ）由直线的斜率为.
1
【⼩问详解】
因为直线的斜率为，所求直线与直线平⾏，
所以所求直线的斜率是 ， 因为所求直线过点 ，
所以所求的直线⽅程是 ，即；
2
【⼩问详解】
因为直线的斜率为，
所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率是，
因为所求直线过点 ，
所以直线⽅程为，即 .
18.
1
已知圆
，圆．
A 与圆 B 相交，并求圆 A 与圆 B 的公共弦所在直线的⽅程；
（ ）证明圆
2，若直线 PAPCP，且它们的斜率之积为，求动点 P 的轨迹⽅程并说明
相交于点
（ ）已知点，
轨迹图形．
1；
【答案】（ ）证明⻅解析
（ ）轨迹⽅程为P
轨迹是除去 ， 两点的双曲线
【解析】
1
A 与圆 B 的圆⼼和半径，再根据圆⼼距与半径的关系即可判断证出两圆相交，两圆的
【分析】（
）求出圆
A 与圆 B 的公共弦所在直线的⽅程；
⽅程作差即可求出圆
2，由题意得，，化简即得动点 P 的轨迹⽅程，并可知轨迹图形．
（ ）设
1
【⼩问
A
详解】
，半径，
圆 ，圆⼼
B
圆 ，圆⼼
，半径 ， ，
A 与圆 B 相交．
∴，所以圆
圆，圆， 两式相减，得．
2
【⼩问详解】
设，由题意得，，
P
化简得，
的轨迹⽅程为
，所以 P 的轨迹是除去， 两点的双曲线．
19.
已知数列的前 项和为
，在①且；②；③
且，，这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯的问题中，并求解：
1 ；
（ ）已知数列满⾜，求的通项公式
2 ， ，求数列的前 项和．
（ ）已知正项等⽐数列满⾜
1
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，由已知可推得，进⽽得出数列是常数列，从⽽得出；若选②，
【分析】（ ）若选①
由已知推得，进⽽根据与的关系，即可推得；若选③，根据等差中项的性质，可
.
推得数列是等差数列 然后由已知求得
，即可得出 .
2，然后根据对数运算以及裂项化简可得，然
（ ）根据已知可求出
.
后相加即可得出
1
【⼩问详解】
若选①且
.
由可得
⼜，
所以数列是常数列，且，所以 .
若选②
由已知 可得，.
当时，有；
当时，有 ， ，
两式作差可得， ，
所以
⼜ 满⾜，所以
若选③且，
由可得， ，
所以列
，数列 是等差数.
⼜，，
所以，所以，
所以
2
【⼩问
1
.
详解】
， ，所以 .
由（ ）知
设等⽐数列公⽐为，
由已知可得，解得，
.
所以
所以，
.
所以
20. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆
（），它的离⼼率是其伴随双曲线离⼼率的倍．
1 ；
（ ）求椭圆伴随双曲线的⽅程
2，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线 与上⽀交于， 两点，设的
（ ）如图
⾯积为 ，（其中为坐标原点）．若的⾯积为，求．
1
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
与其伴随双曲线的离⼼率分别为，，依题意可得，，根据
【分析】（ ）设椭圆
离⼼率公式得到⽅程，求出，即可得解；
2，，，直线 的⽅程，联⽴直线与双曲线⽅程，消
（ ）设直线 的斜率为
元、列出⻙达定理，求出，由求出，再由
可得解
1
【⼩问
详解】
，根据数量积的坐标表示，代⼊⻙达定理，即可得.
设椭圆与其伴随双曲线的离⼼率分别为，，
依题意可得，，
所以椭圆，则椭圆 伴随双曲线的⽅程为.
2
【⼩问
1
详解】
， ，设直线 的斜率为 ，， ，
由（ ）可知
则直线 的⽅程，与双曲线联⽴并消去 得，
则，所以 ， ，则，
⼜，⼜ ，
所以 ，
解得或（舍去），
⼜
，所以
，
因为 ，所以.
21.
双曲线的左、右焦点分别为
，过作与 轴垂直的直线交双曲线于
， .
两点，的⾯积为 12
抛物线以双曲线的右顶点为焦点
1；
（ ）求抛物线的⽅程
2，点为抛物线的准线上⼀点，过点作 轴的垂线交抛物线于点，连接
（ ）如图
.
，求证：直线过定
并延⻓交抛物线于点点
1
【答案】（ ）
2
（ ）证明⻅解析
【解析】
1
，令，代⼊的⽅程得 ，结合三⻆形的⾯积求出 ，即可得出
【分析】（ ）设
，从⽽得解；
（ ）由1
，可得的坐标，直线的⽅程为，代⼊抛物线的⽅程可得
的坐标，进⽽得的⽅程，求解即可.
1
【⼩问详解】
设，则，
令，代⼊的⽅程，得 .
所以，所以，
故，即 .
.
所以抛物线的⽅程为
2
【⼩问
1
详解】
，则.
由（ ）知
直线的⽅程为，代⼊抛物线的⽅程有.
当时，，
所以直线 的⽅程为，即.
.
所以此时直线过定点
当时，直线的⽅程为，此时仍过点，
综上，直线过定点 .
22.
已知椭圆过点
，点 与关于原点对称，椭圆上的点满⾜直
线与直线的斜率之积为.
1；
（ ）求椭圆的⽅程
2与椭圆相交于 两点，已知点 ，点 与关于原点对称，讨论：
（ ）直线
.
直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由
1
【答案】（ ）
2，
（ ）是定值0
【解析】
1，设 ，由可得，求得，从⽽可得
【分析】（ ）先求得
椭圆⽅程；
2，联⽴直线⽅程与椭圆⽅程，利⽤⻙达定理可得
（ ）设
，由题意得，⽽
1
【⼩问
详解】
解
，把 代⼊即可求.
因为椭圆过点，所以，
设满⾜ ，则 ，
⼜ ，
则，
.
所以椭圆的⽅程
2
【⼩问
详解】
直线，代⼊椭圆，可得，
由于直线 交椭圆于 两点，所以 ，整理得. 设 ，由于点 与关于原点对称，所以 ， 于是有，
，
⼜ ，
于是有
故直线 的斜率与直线的斜率之和为 0.
【点睛】⽅法点睛：利⽤⻙达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基
本步骤如下：
1
，设交点坐标为 ；
（ ）设直线⽅程
2与圆锥曲线的⽅程，得到关于 （或 ）的⼀元⼆次⽅程，必要时计算；
（ ）联⽴直线
3；
（ ）列出⻙达定理
4 （或 、 ）的形式；
（ ）将所求问题或题中的关系转化为、
5.
（ ）代⼊⻙达定理求解