2023-2024学年广东省湛江市雷州市第二中学高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省湛江市雷州市第二中学高二上学期11月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】应用交集运算即可.
【详解】因为集合，集合，则.
故选：A
2．某学校共有师生4200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为140的样本，已知从学生中抽取的人数为130，那么该学校的教师人数是（ ）
A．200B．300C．400D．100
【答案】B
【分析】设出未知数，根据比例关系列出方程，求出答案.
【详解】设该学校的教师人数是x，则该校学生人数为人，
由分层抽样可得，解得.
故选：B
3．已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．
【详解】因为，0，，，2，，
则向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量是．
故选：．
4．已知点，点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由斜率公式可得，因此，.
故选：B.
5．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】联立两直线方程，即，
由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.
故选：D
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由圆的标准方程可得该圆的圆心和半径，再结合勾股定理知识可得弦长.
【详解】由圆的标准方程可得该圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为，
故选：C.
7．圆和圆的公切线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的一般式判断圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系，进而确定公切线的数量.
【详解】两个圆与，
圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
两圆圆心距为，
，
两圆相交，有条公切线.
故选：B.
8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.
【详解】过作，交于点，交于，则底面
平面，平面，
平面平面，又平面 平面
又平面平面，平面
为中点 为中点，则为中点
即在线段上
，
，
则线段长度的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.
二、多选题
9．已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】设点B的坐标为,根据空间两点间距离公式列式求解.
【详解】设点B的坐标为,
由空间两点间距离公式可得，解得或10,
所以B点的坐标为或.
故选：AC.
10．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ）
A．OM∥PDB．OM∥平面PAC
C．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBA
【答案】AC
【分析】根据已知条件，利用三角形中位线定理判定A正确；利用线面平行的判定定理判定C正确；根据线面平行的定义——没有公共点，判定BD错误.
【详解】因为矩形对角线的交点为O，所以O是BD的中点，
又M为PB的中点，为△的中位线，
,
又平面,平面,
所以OM∥平面PDA，
故正确；
与平面有公共点,与平面有公共点,故BD错误.
故选：.
11．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
B．直线的一个方向向量为
C．若点和点关于直线对称，则
D．已知直线：，：，则与之间的距离是
【答案】BCD
【分析】根据直线的点斜式方程求直线的方程；求直线的的方向向量；求点关于直线对称点的问题；两平行线间的距离.
【详解】A选项：过点且斜率为的直线的点斜式方程为，
所以A错误；
B选项：直线的斜率为，一个方向向量为，所以B正确；
C选项： 点和点关于直线对称，
所以，解得，故.所以C正确;
D选项：与平行，两平行线间距离为，
所以D正确.
故选BCD
12．下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．圆上存在两个点到直线的距离为2
C．已知圆：，圆：，则圆，的公共弦所在的直线方程是
D．若圆：与圆：有唯一公切线，则
【答案】ABC
【分析】验证得到A正确，解得圆心到直线的距离得到B正确，确定两圆相交，相减得到C正确，确定两圆内切，计算得到，错误，得到答案.
【详解】对选项A：将点代入直线验证成立，正确；
对选项B：圆心到直线的距离为，半径，
故圆上到直线的距离为2的点有2个，正确；
对选项C：圆：，圆心，，
圆：，圆心，，
圆心距，，两圆相交，
公共弦所在的直线方程是：，
即，正确；
对选项D：圆：,圆：，
两圆有唯一公切线，则两圆内切，即，解得，错误；
故选：ABC
三、填空题
13．已知复数（i为虚数单位），则 .
【答案】
【分析】利用复数模的定义计算作答.
【详解】复数，所以.
故答案为：
14．直线在两坐标轴上的截距之和为 ．
【答案】
【分析】根据截距的定义即可分别求解轴上的截距为，即可相加求解.
【详解】令则，令，则，
所以在轴上的截距分别为，
故，
故答案为：
15．方程表示圆，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得，得到关于的不等式，求解可得的范围．
【详解】由圆的一般式方程可得，即，求得.
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的一般式方程的特征，考查基本运算求解能力，属于基础题．
16．已知实数，满足方程，则的最大值为 .
【答案】
【分析】计算圆心到，然后加上半径长度即可.
【详解】由，所以，圆心为，
圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，
所以的最大值为
故答案为：
四、解答题
17．已知空间向量.
(1)求；
(2)若向量与垂直，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
【详解】（1），所以
（2），，
由向量与垂直，则 ，
则，
解得：.
18．如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面,平面,
所以 ，
又由题可知，，
,平面
且,
所以平面,
又因为平面,所以.
（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为 ,
所以 即 令则，
所以
因为平面,所以为平面的一个法向量，
所以,,
即二面角的余弦值等于.
19．在中，已知，，，为的中点.
(1)求所在的直线方程；
(2)求边上的高所在的直线方程.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用中点坐标求出，再利用两点式斜率公式求出直线斜率，代入点斜式直线方程即可求解.
（2）利用直线垂直求出高所在直线的斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解.
【详解】（1）由题意知，，，所以线段中点坐标为，
所以可得所在的直线斜率，
所以可得直线方程为：，即；
故所求直线方程为：.
（2）由题意知所在直线斜率，
所以可得边上的高所在的直线斜率，
所以可得直线方程为：，即.
故所求直线方程为：.
20．在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆相切，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求交点，再结合两直线平行则斜率相等求出直线；
（2）应用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离等于半径即可求.
【详解】（1）由，解得，则交点为，
直线l与直线平行，则设直线l的斜率为：
由点斜式得直线l的方程为：，即
（2）当斜率不存在时，，此时满足题意；
当斜率存在时，设直线l的方程为：，即，
由圆，即，圆心为，半径为1，
直线l与圆相切，
则圆心到直线的距离，解得，
则直线l的方程为：或.
21．已知圆与圆相切．
(1)求圆的半径；
(2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）根据两圆外切或内切进行分类讨论，从而求得.
（2）设出直线和直线的方程，求得两点的坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得直线的方程，进而求得点到直线距离的最大值.
【详解】（1）由题易知，圆C的标准方程是．
因为圆与圆相切，所以分两圆外切与内切两种情况讨论．
若圆与圆相外切，则，解得；
若圆与圆相内切，
即圆内切于圆，
则，解得．综上可得，或．
（2）由（1）知，若圆与圆相内切，则．由圆，可得．
设，，直线，的斜率分别为，，则直线，．
联立方程整理得，
所以，即．所以．
同理得．由，可得．
将代入，可得点，
，
当时，直线MN的斜率存在，．
所以直线MN的方程为，
即，
化简得．所以直线恒过一定点，该定点为，．
故点P到直线MN的距离小于；
当时，直线MN的斜率不存在，
，或，，
所以直线MN的方程为，点P到直线MN的距离为．
综上所述，点P到直线MN距离的最大值为．
【点睛】圆与圆的位置关系中，“相切”包括了内切和外切，在解题过程中，如果题目所给条件是“相切”，则可能为内切和外切两种情形.要求直线的方程，首先要判断直线的斜率是否存在.
22．在中，角所对的边分别是，且．
(1)求角；
(2)为边上一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行角化边，结合余弦定理即可；
（2）法一，在中，由余弦定理可求得，在结合余弦定理求，在中，应用余弦定理即可；法二，在，结合余弦定理求得，在，应用余弦定理求得，再由中结合正弦定理先求，进而结合诱导公式求得.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，，所以．
（2）方法一：不妨取，则，在中，由余弦定理可求得．
在中，由余弦定理可求得．
在中，由余弦定理可得．
方法二：不妨取，则，
在中，，
则，则，，，
中，，
在中由正弦定理可得：，
解得：，
又因为，所以．