2023-2024学年广西“贵百河”高二上学期12月新高考月考测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西“贵百河”高二上学期12月新高考月考测试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．{2}B．{4，5}C．{3，4}D．{2，3}
【答案】B
【分析】先求集合的补集，再与集合求交集即可.
【详解】，
或，
故选：B.
2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】先利用复数除法求得复数z，进而求得复数z的虚部
【详解】由，可得
则复数z的虚部为2
故选：D
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可
【详解】由题意，的渐近线方程为
故选：C
4．已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量线性运算计算即可.
【详解】
.
故选：D.
5．在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为（ ）
A．60°B．150°
C．90°D．120°
【答案】D
【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系
则
即
故选：D
6．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.
【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
7．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（ ）
A．2.6小时B．3小时C．6小时D．4小时
【答案】B
【分析】先通过前3个小时消除了20%的污染物求得的值，再由求得，进而得到污染物消除至最初的64%还要3小时.
【详解】由题意得，前3个小时消除了20%的污染物，则，则
则由，可得，解之得
则污染物消除至最初的64%还要小时
故选：B
8．若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出点的轨迹方程为，“好曲线”一定与有公共点，联立后求出交点坐标或由判断出有无公共点，判断出结论.
【详解】由题意知：平面内两点，距离之差的绝对值为8，
由双曲线定义知：的轨迹是以，为焦点的双曲线且，，
故，
即轨迹方程为：，
“好曲线”一定与有公共点，
联立与得：，，
故与有公共点，A为“好曲线”，
联立与得：，无解，B不是“好曲线”，
联立与得：，，有解，C为“好曲线”，
联立与得：，，有解，故D为“好曲线”.
故不是“好曲线”的是B．
故选：B．
二、多选题
9．对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．焦点到准线的距离为4
C．开口向上，焦点为D．准线方程为
【答案】AB
【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案.
【详解】对于A、C项，由已知可得，，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、C错误；
对于B项，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故B正确；
对于D项，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误.
故选：AB.
10．已知函数，则（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．将函数f（x）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称
C．函数f（x）的一个对称中心为
D．函数f（x）在区间上单调递减
【答案】AD
【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.
【详解】，
对于A项，，故A项正确；
对于B项，的图象向右平移个单位后为，
所以，所以图象不关于y轴对称.故B项错误；
对于C项，因为，，所以的对称中心为，，
当时，，所以不是的对称中心.故C项错误；
对于D项，因为，则，
，令，则，，
因为在上单调递减，所以在上单调递减.故D项正确.
故选：AD.
三、单选题
11．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为( )
A．9B．10
C．11D．12
【答案】B
【详解】不妨设样本数据x1，x2，x3，x4，x5，且x1四、多选题
12．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较的大小，计算出，利用基本不等式得，而，从而可比较大小．
【详解】由题意可知，对于选项AB，因为，所以，又因为，且，所以，则，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且，所以，故选项C正确，选项D错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．
五、填空题
13．若两条直线与互相垂直，则a的值为 .
【答案】4
【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.
【详解】由题可知，.
故答案为：4.
14．圆心为，且过点的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】求出圆的半径，再根据圆心和半径即可求出圆的方程.
【详解】由题意圆的半径，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】利用椭圆的标准方程和离心率计算公式求解即可.
【详解】由题意可得，，
因为轴，且，所以，
则①，
又②，①②联立得，
所以，解得或（舍去），
故答案为：
16．已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】将变形为，由此设函数，说明其在上单调递减，将化为，即，利用函数单调性即可求得答案.
【详解】由题意当时，有，即，
即，
故令，则当时，，
则在上单调递减，
由于，而，
即有，即，
所以 ，
即实数a的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.
六、证明题
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．

(1)证明：//平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由中位线定理证明，再由判定证明即可；
（2）求出点到平面的距离，再由体积公式求解.
【详解】（1）证明：四边形为正方形，为与的交点，
是的中点，
又是的中点，，
又平面平面，
//平面．
（2）平面是的中点，
到平面的距离，
四边形是正方形，，
三棱锥的体积．
七、解答题
18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；
（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）由整理得，
，由，
；
（2），
由正弦定理得，①，
又，②，
由①②得，
.
19．已知直线．
(1)求证：直线与圆恒有公共点；
(2)若直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系即可证明；
（2）由题意可知圆心到直线的距离，建立方程，解之即可.
【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离．
又因为，所以，即．
所以直线与圆相交或相切，即恒有公共点．
（2）由圆得，圆心，半径为2．
因为与圆相交于两点，且是直角三角形，
所以．且，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以实数a的的值为.
20．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
【答案】(1)选择猜法二，理由见解析
(2)
【分析】(1)利用列举法列出不放回取两球的所有结果，再借助古典概率公式计算判断作答.
(2)利用(1)的结论，将乙获胜的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式计算得解.
【详解】（1）用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：
ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同结果，它们等可能，
令事件为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6个，
令事件为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8个，
于是得，，显然，，
为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
（2）由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为，
游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，
于是得，
所以乙获得游戏胜利的概率是.
21．如图，已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程及的面积.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据给定条件，由椭圆的定义求解轨迹的方程.
（2）由点差法求出直线的斜率，进而求出该直线方程及三角形面积.
【详解】（1）圆的圆心，半径，
由的垂直平分线交于点，得，
则，
因此的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，则，半焦距，短半轴长，
所以点的轨迹的方程为：.
（2）设曲线上的点，即有，
两式相减得，而中点为，即 ，
于是，即直线的斜率为，直线的方程为，即，
显然点在椭圆内，即直线与椭圆必相交于两点，符合题意，
所以直线的方程为；
由消去y得：，则，
，，
点到直线的距离，所以的面积.

八、证明题
22．如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．
(1)证明：；
(2)若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）找出AC的中点O，连接OP，OD，根据等边三角形性质和题意，先证明面POD，通过证明线面垂直最后证明出线线垂直．
（2）根据（1）可知二面角就时，因此以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量与二面角关系求出答案．
【详解】（1）取AC的中点O，连接OP，OD，
因为是正三角形，所以，
因为D是AB的中点，所以，
因为，所以，
又，PO，面POD，所以面POD，
又因为面POD，所以．
（2）以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
易得，又，则，
由得直线BC的一个方向向量为，
设平面PAB的法向量为，，，
则，令，则平面PAB的一个法向量为，
记直线BC与平面PAB所成角为，那么．