2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二上学期11月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.
【详解】化为，
直线的斜率为，倾斜角为.
故选:D.
【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.
2．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，焦距为4，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．=1C．=1D．=1
【答案】C
【分析】利用长轴长及焦距求出，结合可得答案.
【详解】由题意可设所求椭圆方程为，又因为长轴长为和焦距为4，
所以，，即，，
再由，故所求椭圆方程为，
故选：C．
3．求经过两直线：和：的交点P，且与直线：垂直的直线l的方程．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先联立直线的方程，求出点坐标.设的方程为，代入点坐标，求出，即可得出答案.
【详解】联立直线的方程可得，，
所以点坐标为.
由已知可设直线的方程为，
代入点坐标，可得，
所以，，
直线的方程为.
故选：A.
4．如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】依题意以、、为基底，表示出、、，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意，所以，
，，
所以
.
故选：A
5．在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，且各局比赛的胜负互不影响.在甲第一局胜出的情况下，甲获得冠军的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解.
【详解】根据题意知只需考虑剩下两局的情况，
（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得冠军的概率为；
（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得冠军的概率为.
故甲获得冠军的概率为.
故选：B
6．已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ）
A．5hB．hC．hD．4h
【答案】B
【分析】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间
【详解】如图，，，台风中心沿方向以的速度移动，
台风中心距离城市A的最短距离为
又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．
则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响
以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为
km
则城市A受台风影响的时间为
故选：B
7．已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可.
【详解】
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，则左焦点，
由双曲线的定义得，
因为，即当，，三点共线时最大，
所以.
故选：B.
8．已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设中点，根据垂径定理可得点的轨迹方程，进而可得的取值范围，又，即可得解.
【详解】设中点，则，，
所以，
即，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，，
所以，
又，
所以的最大值为，
故选：A.
二、多选题
9．已知曲线的方程为（ ）
A．当时，曲线是焦点坐标为的椭圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．不存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线
D．“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件
【答案】BCD
【分析】对A，直接求出椭圆焦点判断；对B，判断曲线为双曲线，写出其渐近线方程；对C，根据表示双曲线求出范围判断离心率是否为；对D：求出曲线为椭圆的条件判断即可.
【详解】对A：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆，
，故曲线是焦点坐标为，故A错误；
对B：当时，曲线的方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B正确；
对C：若双曲线的离心率为，则，则，
要使得曲线为双曲线，则，即或，
当时，双曲线方程为，若离心率为，则，无解，
当时，双曲线方程为，若离心率为，则，无解，
所以不存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线，故C正确；
对D：若方程为椭圆，则 ，解得且，
所以由得不到曲线为椭圆，由曲线为椭圆可以得到，
故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件，故D正确.
故选：BCD
10．已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心恒在直线上
B．若圆经过圆的圆心，则圆的半径为
C．当时，圆与圆有条公切线
D．当时，圆与圆的公共弦长为
【答案】BC
【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此即可判断A；将圆的圆心坐标代入圆的方程即可求出参数，从而可得圆的半径，由此即可判断B；判断此时两圆的位置关系即可判断C；先求出公共弦方程，然后由圆的弦长公式计算判断D即可.
【详解】，即，
所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项A错误
因为的圆心为在圆上，所以，解得，所以的半径为，故选项B正确；
当时，圆：，圆心为，半径为，
此时圆与圆的圆心距，即大于两圆半径和，
所以圆与圆外离，圆与圆有条公切线，故选项C正确；
当时，圆，圆，两圆相交，
公共弦方程为，圆的圆心到公共弦的距离，
所以圆与圆的公共弦长为，故选项D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：对于ABD选项的判断比较常规，关键是判断C时，只需要判断两圆的位置关系即可.
11．如图，在平行六面体中，AC与BD交于点，且 ，，.则下列结论正确的有（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.
【详解】对于A，
，
所以，所以，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，
，所以，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
12．已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则为定值
【答案】BCD
【分析】根据椭圆及双曲线的关系判断A选项，根据焦点三角形面积结合余弦定理计算得出B选项，根据离心率计算判断C,D选项.
【详解】对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A项错误；
对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义
可得，
所以，.
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，.
所以有，即，故B项正确；
对于C项，若，则为直角三角形，
所以，，
即，
整理可得，，
两边同时除以可得，，即，故C项正确；
对于D项，由已知可得,,故D项正确；

故选：BCD.
三、填空题
13．与圆同圆心，且过点的圆的方程是： .
【答案】
【分析】设所求方程为，然后代入点即可求解.
【详解】设所求圆的一般式方程为，
代入点，可得，解得，
所以，所求圆的方程为.
14．双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是（2，0），则k= .
【答案】
【分析】根据双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是（2，0），得到a=1，b2=﹣ ，再利用a，b，c的关系求解.
【详解】解：因为双曲线方程5x2+ky2=5，且一个焦点是（2，0），
所以a=1，b2=﹣ ，所以c2=1﹣，
因为双曲线的一个焦点坐标（2，0），
所以1﹣=4，
解得.
故答案为：
15．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.
【详解】法一：将代入椭圆的方程得，所以①，
设，，则，
两式相减得，
又，，所以②，
解①②得，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
法二：将代入椭圆的方程得，所以①，
直线的方程是，即，
代入椭圆的方程并消去整理得，
则，
设，，则，即②，
解①②得，满足，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
故答案为：.
16．设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围．
【详解】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点，
所以半径，即，且．
所以，
由于，令，则，则
．
由于函数在上单调递减，
故在上单调递减，
故，即，满足，符合题意．
所以椭圆离心率的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可.
四、解答题
17．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升．燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求的值及样本数据的第50百分位数；
(2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率．
【答案】(1)，第50百分位数为；
(2)
【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1计算求解，根据频率分布直方图和第50百分位数定义计算；
（2）利用分层抽样的概念和古典概型计算公式计算即可．
【详解】（1）依题意，，；
前三组的频率之和，
前四组的频率之和
样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为；
（2）与两组的频率之比为1：2，
现从与两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则组抽取2人，记为，组抽取4人，记为．
从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况为：
，共15种，
其中至少有1人的年龄在的情况有，共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，则.
18．已知圆．
(1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
(2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）确定圆心和半径，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系得到答案.
（2）确定圆心到直线的距离，计算，，计算面积的最大值得到答案.
【详解】（1）圆：，圆心的坐标为，半径．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到的距离，与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，解得，
所以直线的方程为．
综上所述：直线的方程为或．
（2）圆心到直线的距离，所以，
因为为圆上异于，的动点，所以点到直线的距离，
所以的面积，
当且，在圆心的两侧时，等号成立，
所以的面积的最大值为．
19．的内角的对边分别为，，，为中点，设.
(1)求；
(2)若的面积等于，求周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目信息利用正弦定理以及辅助角公式即可得，结合角的范围即可得；
（2）利用面积公式以及基本不等式可得，再由余弦定理可得，可求出周长的最小值为.
【详解】（1）因为.
由正弦定理与诱导公式可得.
显然，所以，
利用辅助角公式可得，
∵，所以，
∴.
（2）依题意，即，∴，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号，
所以的周长最小值为.
20．如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，，，，.
(1)求证：平面BCE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)线段CE上是否存在点G，使得平面BCF？请说明理由.
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】(1)证明．然后证明平面．
(2)在平面内，过作，建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
(3)解法一：求出平面的法向量通过，说明平面与平面不可能垂直．
解法二：假设线段上存在点，使得平面，设，其中，．通过平面，得方程组，判断方程组无解，说明假设不成立．
【详解】（1）∵，且，
∴ 四边形为平行四边形，
∴．
∵平面，
∴平面．
（2）在平面内，过作．
∵ 平面平面，平面平面，
又平面，，
∴平面，
∴，，．
如图建立空间直角坐标系：
由题意得，，0，，，4，，，2，，，．
∴，，，，，．
设平面的法向量为，则，即
令，则，，∴．
平面的一个法向量为，
则．
∴ 二面角的余弦值．
（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：
解法一：设平面的法向量为，则,即
令，则，，∴．
∵，
∴平面与平面不可能垂直，
从而线段上不存在点，使得平面．
解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：
假设线段上存在点，使得平面，
设，其中，．
设，，，则有，
∴，，，从而，
∴．
∵平面，∴．
∴有，
∵上述方程组无解，∴假设不成立．
∴线段上不存在点，使得平面．
21．已知双曲线的右焦点，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】【小题1】； 【小题2】证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出，即可写出双曲线方程.
（2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点设出直线方程；再与双曲线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出，结合韦达定理化简即可证明结果.
【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，.
联立，消去得，
所以.
，
又，
.
22．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两个不同的点，记的面积为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程；
（2）由题意可得等于的面积，设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理可得，令，则可由基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）由已知得，圆半径为9，圆半径为1，
设动圆圆心，半径为，
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切，故
，所以，
所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，
则，所以，
所以曲线的方程为.
（2）由已知得，所以等于的面积，即的面积为，
由已知可设直线的方程为，，
由得：，
则，，
所以，
令，则，，
所以，
当且仅当即，亦即时，取最大值.
综上，当时，的面积取得最大值为.