2023-2024学年黑龙江省鸡西市密山市第四中学高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省鸡西市密山市第四中学高二上学期11月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，
由可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
2．命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【详解】命题“，”为真命题，则在上恒成立，
∵，∴，则.
故选∶B．
3．已知直线与直线垂直，则m，n的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线一般式中两直线垂直系数满足的关系即可求解.
【详解】直线与直线垂直,则，
即
故选：C
4．已知为双曲线上点．则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点在双曲线上及双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】因为为双曲线上点，
所以，解得或（舍），
所以双曲线的方程为，所以，
所以，解得或（舍），
所以该双曲线的离心率为.
故选：B.
5．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】讨论与0、1的大小关系，写出的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.
【详解】因为.
①当时，.
②当时，.
③当时，.
综上所述：.
故选：D.
6．已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点．若，则抛物线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，利用和抛物线焦半径公式的形式可构造方程组求得，进而得到抛物线方程.
【详解】过点作，垂足为．
在抛物线上，则，则…①，
由抛物线的性质可知：．
，，即，
解得：…②；
由①②得：（舍去）或，抛物线的方程是．
故选：C．
7．已知直线，点是圆内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（ ）
A．l与圆C相交，且B．l与圆C相切，且
C．l与圆C相离，且D．l与圆C相离，且
【答案】D
【分析】由题可得，根据点到直线的距离公式可得，利用圆的性质可得过点A的圆的最短弦与垂直，进而即得.
【详解】因为点是圆内一点，
所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相离，
由圆的性质可知当时，过点A的圆的弦最短，此时，
所以.
故选：D.
二、多选题
8．已知a，b为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，，
【答案】BC
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，若，，，则可能异面，A选项错误.
B选项，由于，，所以，由于，所以，B选项正确.
C选项，由于，，所以，由于，所以，C选项正确.
D选项，若，，，，则可能，D选项错误.
故选：BC
9．四叶草曲线是数学中的一种曲线，某方程为，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如图），在几何学、数学、物理学等领域中有广泛的应用.例如，它可以用于制作精美的图案、绘制函数图象、描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性质，其中错误的是（ ）
A．四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数；
B．曲线上两点之间的最大距离为；
C．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）；
D．四个叶片围成的区域面积小于.
【答案】AB
【分析】根据函数与方程的定义可判断A；设曲线上的点到原点的距离为，利用基本不等式可得的范围可判断B；由的范围可得的范围，可得曲线上的整点可判断C；由的范围得曲线上的点到原点的距离最大值为，求出以为圆心，为半径的圆的面积可判断D.
【详解】对于A， 用替换方程中，方程不变，四叶草曲线方程不是函数的解析式，
所以不是偶函数，也不是奇函数，只是四叶草曲线关于轴、原点对称，故A错误；
对于B， 设曲线上的点到原点的距离为，因为，所以
，，所以，
可得，即，根据对称性可得两点之间的最大距离为，故B错误；
对于C， 由B可知，所以，可得曲线上的整点有，曲线经过5个整点，故C正确；
对于D，由B可知，曲线上的点到原点的距离最大值为，
以为圆心，为半径的圆的面积为，所以四个叶片围成的区域面积小于，故D正确.
故选：AB.
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线与直线垂直，则实数a的值是
B．直线必过定点
C．直线在y轴上的截距为
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【分析】根据直线垂直关系列方程求，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.
【详解】解：对A：因为直线与直线垂直，
则，解得或，A不正确；
对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B正确；
对C：由直线方程取，得，
所以直线在y轴上的截距为，所以C正确．
对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；
故选：BC．
11．在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC（ ）
A．垂直B．相交C．共面D．异面
【答案】ABC
【分析】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，可判断选项B,C，D，利用基底向量表示出向量，求出，从而可判断选项A,得出答案.
【详解】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，所以选项B,C正确，选项D不正确.
因为E为BC的中点，所以
因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
所以
所以， 故选项A正确.
故选:ABC.
12．关于圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是
B．若，过的直线与圆C相交所得弦长为，其方程为
C．若，圆C圆相交
D．若，，直线恒过圆C的圆心，则恒成立
【答案】AC
【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；根据圆心距可判断C；由题可得，然后利用基本不等式可判断D.
【详解】对于A，若方程表示圆，
则，解得，故A正确；
对于B，若，则圆C：，
即，圆心为，半径为
若过的直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1，
所以直线与圆C相交所得弦长为，满足已知条件，故直线方程可以为；
若过的直线的斜率存在时，设斜率为m，则直线方程为，即，
设圆心到直线的距离为d，又弦长为，
则，则，即，解得，
故直线方程为；
故满足已知条件的直线方程为或，故B错误；
对于C，，则圆C：，圆心为，半径为2，
圆的圆心为，半径为1，
两圆心间的距离为，且，故两圆相交，故C正确；
对于D，若，圆心为，
若直线恒过圆C的圆心，则，又，
则，
当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知x，y满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】作出不等式组的可行域，求出目标函数的最优解，即可得出答案.
【详解】解：作出可行域，如图所示，
画出目标函数的图像，
当目标函数过点时，取得最大值，
，解得，即，
所以的最大值为.
故答案为：2.
14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则 .
【答案】8
【分析】可分别构造与，分别求得的长度以及、，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可取中点为，构造，求出以及的值.又，根据数量积的定义即可求得.
【详解】方法一：
图3
如图3，取中点为，连结，显然过点.
易知，，，
则，，.
所以，.
图4
如图4，延长交于，易知是的中点，且.
则，，
在中，，.
所以，.
所以，.
故答案为：8.
方法二：
图5
取中点为，连结，显然过点.
易知，，，
如图5，取中点为，显然，，.
在中，，.
又为中点，则.
所以，.
故答案为：8.
15．已知正项等比数列的前项和为，，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列的性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】设正项等比数列的公比为，，
因为，所以，
因此，
而，所以，
故答案为：
16．若函数有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，则，即为，有交点．根据基本不等式求得的值域，由此可求得答案．
【详解】令，所以，令，，则函数有零点，即为，有交点．
当时，，当且仅当时，即时取等号，
所以当时，，
当时，，当且仅当时，即时取等号，
所以当时，，
所以要使与有交点，则需或，
故答案为：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
四、解答题
17．某学校为了解学生中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，搜集了7位男生的数据，得到如下表格：
根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为
(1)求；
(2)已知，且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好．判断该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好，说明你的理由（的结果保留到小数点后两位）．
参考数据：
【答案】(1)；
(2)该线性回归方程的拟合效果是良好的；理由见解析．
【分析】（1）根据给定数表，求出样本的中心点，再代入计算作答.
（2）由（1）及已知求出，进而求出比较作答.
【详解】（1）由题中数据可得：，
，于是得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
则有，即，
所以该线性回归方程的拟合效果是良好的.
18．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A､B的一点，平面PAB，，.
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由线面垂直及圆的性质可得、，根据线面垂直的判定可得平面PAD，最后由面面垂直的判定即可证结论.
（2）在平面PAB内过P作于E，利用线面垂直的性质和判定可知PE是三棱锥的高，进而求，再根据及棱锥的体积公式求三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为平面PAB，平面PAB，所以.
因为AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上不同于A､B的一点，
所以，即，又，AD、平面PAD，
所以平面PAD，又平面PBC，
所以平面平面PAD.
（2）在平面PAB内过P作于E.

因为平面PAB，平面PAB，所以.
因为，所以平面ABCD，
所以PE是三棱锥的高.
在中，所以，
所以.
因为四边形ABCD是直角梯形，，，
所以，.
所以.
19．有一个农场计划用铁网栅栏建设一个矩形养殖棚，如图，养殖棚的后面是现成的土墙，其他三面用铁网栅栏，侧面长度为米．
(1)若铁网栅栏长共米且养殖棚内部两侧和前面都要留出宽米的投喂通道．
①求养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式，并求有效面积为（平方米）时的值；
②若后面现成的土墙足够长．求怎样设计，才能使有效养殖面积最大．
(2)若要使建设的养植棚面积为平方米，铁网栅栏建设费用为元/米，那么，当为何值时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值．
【答案】(1)①答案见解析；②当垂直与墙的一边边长为米时，有效养殖面积最大.
(2)当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元.
【分析】（1）①利用图形结合矩形的面积公式可得出关于的函数关系式，结合实际情况求出的取值范围，然后解方程，可得出的值；
②利用二次函数的基本性质可求得的最大值，求出对应的值，即可得出结论；
（2）求出关于的函数关系式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】（1）①由图可知，，
由，解得，
故养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式为，其中，
由，可得，解得或；
②当时，取最大值，即（平方米），
即当垂直与墙的一边边长为米时，有效养殖面积最大.
（2）由题意可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元.
20．三棱锥中，，平面平面ABC，，，E，F分别为PC和PB的中点，平面平面．
(1)证明：直线；
(2)设M是直线l上一点，且直线PB与平面AEF所成的角为，直线PM与直线EF所成的角为，满足，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定与性质定理证明
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解
【详解】（1）证明：∵E、F分别为PB、PC的中点，∴，
又∵面EFA，面EFA，∴面EFA，
又∵面ABC，面面，∴，
（2）以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，设，
，，，
设平面AEF的一个法向量为
有则平面AEF的一个法向量为
，
∵，∴，∴
即存在M满足题意，此时
21．在四棱锥中，底面ABCD，E为AC的中点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用所给条件，找出几何关系即可；
（2）建立空间坐标系，用空间向量的方法即可.
【详解】（1）证明：因为E为AC中点，且，所以，
由底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，AC，平面PAC，
所以平面PAC，平面PAC，所以；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由，，
得，，，，，
则，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，得 ，令，得，
设平面PED的一个法向量为，
则，得 ，令，得，
所以，
由图可知，二面角的平面角为锐角．
故二面角的余弦值为．
故答案为：证明见解析，.
序号
1
2
3
4
5
6
7
身高x（cm）
166
173
174
178
180
183
185
体重y（kg）
57
62
59
71
67
75
78