2023-2024学年湖北省武昌实验中学高二12月月考数学试题含答案

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数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程为，
其焦点坐标为
故选：C.
2. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A. 15B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列的公差为利用基本量代换求出，进而求解.
【详解】设等差数列的公差为.
∵，∴，解得：，．
∴，∴．
∴．
故选：D．
3. 设椭圆C：的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，得到 ，由椭圆的定义得到，结合，求得，然后在中，由余弦定理求得a即可.
【详解】因为，所以 ，
P是C上一点，由椭圆的定义得：，
又，
所以，
又，则，
所以在中，由余弦定理得：，
即，
整理得：，
解得，则，
所以椭圆C的方程为
故选：D
4. 已知O为坐标原点，F为双曲线的左焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足，且，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设双曲线的右焦点为F'，连接PF'，取AB的中点M，可得M为FP的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，
取AB的中点M，由|FA|＝|BP|，
可得M为FP的中点，
|OA|＝|OB|，可得OM⊥AB，
由∠PFO＝30°，可得，
即有，
由双曲线的定义可得c﹣c＝2a，
即有e1，
故选D．
【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
5. 对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ ）
A. 55B. 76C. 110D. 113
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的特征列出集合与的前若干项，找出集合中元素的特征，进而即可求解.
【详解】因为，
所以，所以．相当于集合中除去形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以．
则，
故选：C.
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.
【详解】依题意，由于H，得，即是正三角形，，
而，则直线的方程为，
由，消去y并整理，得，
令，解得，又准线，
因此，
所以与的面积之比.
故选：C.
7. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列满足：，记，，则数列的前项和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列是以为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列的前项和.
【详解】，
，
数列是以为周期的周期数列，
又，，，
的前项和为.
故选：C.
8. 已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，则双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分焦点在轴上和焦点在轴上，由椭圆与双曲线 有相同的焦点求解.
【详解】当焦点在轴上时，由题意知：，椭圆中，，则；
双曲线中，，则；
由题意，，解得，这与矛盾；
当焦点在轴上时，由题意知，椭圆中，，则；
双曲线可化为，，则；
由题意，，解得，
双曲线的一条斜率为正的渐近线的斜率为，
又因为，所以，所以，
即双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为，
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由，用基本量表示得，然后对每一个选项进行判断即可.
【详解】由题意有，化简整理得，
所以，选项A正确；
，，由于，所以，故选项B不正确；
，故选项C正确；
，，由于，所以，故D不正确.
故选：AC
10. 已知曲线的方程为（），则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，曲线表示椭圆
B. “”是“曲线表示焦点在y轴上的双曲线”的充分必要条件
C. 存在实数，使得曲线的离心率为
D. 存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线
【答案】BC
【解析】
【分析】当时可判断A；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B；根据曲线表示椭圆的条件可得的范围，再讨论椭圆焦点在轴和轴上，由离心率公式列方程求得的值可判断C；根据曲线表示双曲线的条件可得的范围，再由焦点在轴和轴上由列方程求的值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，当时，曲线为，曲线表示圆，故选项A不正确；
对于B，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，可得，
若，则，曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以 “”是“曲线表示焦点在轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B正确；
对于C，假设存在实数，使得曲线的离心率为，
曲线表示椭圆，则，可得：，
若椭圆焦点在轴上，
由 ，可得，可得符合题意，
若椭圆焦点在轴上，
由，可得，可得符合题意，
所以存在或，使得曲线的离心率为，故选项C正确；
对于D，假设存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线，
此时有，得或，
当时，，无解；当时，，无解，
所以满足题意的实数不存在，故选项D不正确．
故选：BC.
11. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ）
A. 若，则，；
B. 若，则使的最大的n为15；
C. 若，，则中最大；
D. 若，则.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，
所以，即，
根据等差数列的性质可得，又，
所以，，故A正确；
对于B：因为，则，
所以，又，
所以，
所以，，
所以使的最大的n为15，故B正确；
对于C：因为，则，
，则，即，
所以则中最大，故C错误；
对于D：因为，则，又，
所以，即，故D正确，
故选：ABD
【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.
12. 已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A 对于任意直线m，均有AE⊥PF
B. 不存在直线m，满足
C. 对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D. 存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由及抛物线方程求出坐标，再说明三点共线，即存在直线即可；C选项设，表示出直线AE，联立抛物线，利用即可判断；D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断.
【详解】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；
B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，
由得，解得，，又，故， ，又，
可得，，故存在直线m，满足 ，选项B不正确．
C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，
直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：
，由代入左式整理得：，
所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．
D选项，如图3，设直线m的方程，
，，，
由，得．当
，即且时，由韦达定理，得
，．
因为，，所以，
又，，所以成立，故D不正确．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．
【答案】
【解析】
【分析】设自上而下的竹子容量依次为，可得为等差数列，根据，，可得数列的通项公式及
【详解】设自上而下的竹子容量依次为，可得为等差数列，
则，解得，
故，，
故答案为：.
14. 若双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解.
【详解】由知椭圆中，
所以，即椭圆的焦点为，
所以，
由题意知双曲线的离心率，
所以，故双曲线的渐近线方程为，
不妨取椭圆左焦点，则由点到直线距离可得，
同理，椭圆右焦点到渐近线的距离也是，
所以椭圆焦点到渐近线的距离为，
故答案为：
15. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（A在轴上方），延长交抛物线的准线于点C，若，则抛物线的方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的定义及性质，即可求得直线的斜率，求得直线的方程，代入抛物线方程，求得直线的方程，即可求得点坐标，即可求得的值，求得抛物线方程．
【详解】由题意得：，
当直线的斜率不存在时，，
因为，所以直线的斜率存在，
因为在轴上方，所以直线的斜率大于0，
设直线，，
与抛物线方程联立可得：，
恒成立，
设，则，，
由抛物线定义可知：，
因为，所以，即，
将代入，中，
，，
所以，解得：，
因为，所以，
则，，
所以，所以直线方程为，
当时，，，
∴直线与x轴平行，，∴，
.
故答案为：.
16. 已知圆锥曲线的方程：.当m、n为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点、满足，写出满足题意的所有有序实数对：_____.
【答案】，，
【解析】
【分析】圆锥曲线的定义，易得到，，是椭圆，，，，是双曲线，从而根据题意可得，2，，，6，7，，再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案．
【详解】由题意得，，是椭圆，，，，是双曲线，
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，
从而时，存在两条曲线、有交点，
必然有，2，，，6，7，，
设，，则由椭圆与双曲线的定义可得，
，，
且，，故，
即，
所以存在两条曲线、，且，，．
故答案为：，，．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 数列中，，，
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；
（2）先找出数列正负的分界线，分类讨论，去掉绝对值，把转化为求解.
【小问1详解】
因为，即，所以数列是等差数列，
所以，.
【小问2详解】
令得，；
当时，；
当时，
.
综上可得，
18. 已知点，圆C：.
（1）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，过点的直线垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；
（2）过点的直线垂直平分弦AB，则圆心在直线上，由此可得直线的斜率，然后由垂直求得，由直线与圆相交求得的范围，比较可得．
【小问1详解】
∵点，直线l过点P，
∴设直线l的斜率为k（k存在），则方程为.
又题C的圆心为，半径，
由弦长为，故弦心距，由，解得.
所以直线方程为，即.
当l的斜率不存在时，l的方程为，经验证也满足条件.
故l的方程为或.
【小问2详解】
把直线，即.代入圆C的方程，
消去y，整理得.
由于直线交圆C于A，B两点，
故，即，解得.
设符合条件的实数a存在，由于垂直平分弦AB，故圆心必在上.
所以的斜率，而，所以.
由于，
故不存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦AB.
19. 设各项均为正数的数列满足（为常数），其中为数列的前n项和.
（1）若，求证：等差数列；
（2）若，求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，结合“”计算推理作答.
（2）把代入，结合“”求出相邻两项间关系，再构造常数列作答.
小问1详解】
当时，，当时，，
两式相减，得，整理得，
所以是等差数列.
【小问2详解】
当时，，令，而，得，解得，
于是，当时，，
两式相减，得，整理得，即，
因此，数列是常数列，从而，，显然满足上式，
所以数列的通项公式是.
20. 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值．
【答案】（1）e>且e≠；（2）a＝.
【解析】
【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，结合条件得，从而可得离心率范围；
（2）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x1＝x2，由根与系数的关系可得－＝，从而得解.
【详解】(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
∴解得0又双曲线的离心率e＝，∴e>且e≠.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．有P(0,1)．
∵，∴(x1，y1－1)＝ (x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根与系数的关系，得x2＝－， ＝－.
消去x2，得－＝.由a>0，得a＝.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.
21. 如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；
（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②存，且.
【解析】
【分析】（1）设，则可得，圆的直径为，利用动圆与轴相切，即可求得曲线的方程；
（2）①设直线的方程为，点、、，联立直线的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到恒成立，可得结论；
②由①知，根据与垂直，斜率积为，可得，再由，求出值.
【小问1详解】
设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，
则，
而，
因为动圆过定点且与轴相切，则，
即，化简得，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
①若直线与轴重合，则直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
所以，
，
故不可能为钝角；
②假设存在这样的点满足条件，
因为，则线段的中点为，
若，则轴，此时，直线的方程为，联立可得，
则，此时，位于轴上，则，
所以， 为直角三角形，不合乎题意，
所以，，则，可得，
则，

则，
而，
由，可得，解得，
所以，存在点满足条件.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
22. 已知椭圆的右焦点的坐标为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点、为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足，为的中点，线段的垂直平分线分别交轴、轴于、两点．
（ⅰ）求证：为的中点；
（ⅱ）若（为三角形的面积），求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由已知得，再由的值，求，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线方程为，与椭圆方程联立，设，，得出的坐标关系，求出点坐标，得到垂直平分线方程，求出点坐标，即可证明结论；
（ⅱ）由结合（ⅰ）的结论，求出点的坐标，再由，得到关系，代入点坐标，求出的值即可．
【详解】（Ⅰ）椭圆的右焦点的坐标为，
，又离心率，
椭圆的方程为；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线方程为，
联立，消去，得，
，
设，，则，
设中点，则，
，即点坐标为），
线段的垂直平分线方程为，
令，得，令，得，
，为中点；
（ⅱ）由（ⅰ）得为中点，
，
，
整理得，即，
又，
整理得，解得或（舍去），
，此时，
直线方程为.