2023-2024学年湖南省张家界市民族中学高二上学期第一次月考数学试题含答案
展开一、单选题
1.已知则( )
A.(0,34,10)B.(-3,19,7)C.44D.23
【答案】C
【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可.
【详解】,
所以.
故选:C
2.直线与直线平行,则的值为( )
A.或B.
C.或D.
【答案】B
【分析】由两条直线平行可得,求出的值,再检验.
【详解】因为直线与直线平行,
则,解得或,
当时,两直线方程都是,则两直线重合,不满足题意;
当时,两直线方程分别为:,,满足题意;
综上,.
故选:B
3.已知直线过,,且,则直线的斜率为( )
A.2B.C.D.
【答案】A
【分析】应用两点式求直线的斜率,由垂直关系即可得直线的斜率.
【详解】由题设,又,则直线的斜率为.
故选:A
4.已知直线和以,为端点的线段相交,则实数的取值范围为( )
A.B.
C.或D.或
【答案】C
【分析】根据直线方程得到恒过定点,利用坐标得到,,然后结合图象可得的取值范围.
【详解】
直线恒过定点,且,,由图可知,或.
故选:C.
5.已知平面α和平面β的法向量分别为,,则( )
A.α⊥βB.α∥β
C.α与β相交但不垂直D.以上都不对
【答案】B
【分析】根据两个平面法向量的关系即可判断两个平面的位置关系,从而得出结果.
【详解】因为平面的法向量为,平面的法向量为,可得,所以,即平面平面,
故选:B.
6.三棱锥ABCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则等于( )
A.-2B.2C.D.
【答案】A
【详解】试题分析:
【解析】平面向量数量积的运算
7.已知四棱锥的底面为正方形,平面,,点是的中点,则点到直线的距离是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】构建空间直角坐标系,应用向量法求点线距离.
【详解】由题设,构建如下图示的空间直角坐标系,则,
所以,
则点到直线的距离是.
故选:D
8.在平面直角坐标系中,已知点满足,记为点到直线的距离.当变化时,的最大值为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】根据直线过定点确定出对于给定的一点,取最大值时且,然后根据点为正方形上任意一点求解出,由此可知.
【详解】直线过定点,
对于任意确定的点,
当时,此时,
当不垂直时,过点作,此时,如图所示:
因为,所以,所以,
由上可知:当确定时,即为,且此时;
又因为在如图所示的正方形上运动,所以,
当取最大值时,点与重合,此时,
所以,
故选:C.
【点睛】关键点点睛:解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系,通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题,根据图像可直观求解.
二、多选题
9.已知点,,直线:,则下列结论正确的是( )
A.当时,点,到直线距离相等
B.当时,直线的斜率不存在
C.当时,直线在轴上的截距为
D.当时,直线与直线平行
【答案】CD
【分析】利用点线距离公式判断A,由直线方程得斜率判断B,取,则,从而判断C,计算得判断D,由此得解.
【详解】对于A:当时,直线为,
此时,,显然不满足题意,故A错误;
对于B:时,直线为,直线斜率为,故B错误;
对于C:时,直线为,取,则,故C正确;
对于D:时,直线为,,不过A点,
而,,所以直线与直线平行,故D正确;
故选:CD.
10.如图,在长方体中,,,,以直线,,分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则( )
A.点的坐标为
B.点关于点对称的点为
C.点关于直线对称的点为
D.点关于平面对称的点为
【答案】BC
【分析】根据题中条件,由空间直角坐标系,利用关于谁对称谁不变的原则,逐项判断,即可得出结果.
【详解】根据题意知:点的坐标为,选项A错误;
的坐标为,坐标为,
故点关于点对称的点为,选项B正确;
在长方体中,
所以四边形为正方形,与垂直且平分,
即点关于直线对称的点为,选项C正确;
点关于平面对称的点为,选项D错;
故选:BC.
11.已知空间四点,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.点O到直线的距离为D.O,A,B,C四点共面
【答案】ABC
【解析】计算数量积判断A,求向量夹角判断B,利用向量垂直判断C,根据空间向量共面定理判断D.
【详解】,
,A正确;
,B正确;
,,所以,,所以点O到直线的距离为,C正确;
,
假设若O,A,B,C四点共面,则共面,设,
则,此方程组无解,所以O,A,B,C四点不共面,D错.
故选:ABC.
12.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,为中点,下列结论中正确的是( )
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.与侧面所成角的正弦值等于
C.二面角的夹角的余弦值为
D.平面与平面所成角的正切值为2
【答案】BCD
【分析】构建空间直角坐标系,应用向量法求异面直线夹角、线面角、面面角即可.
【详解】由题设,构建如下图示的空间直角坐标系,令棱柱各棱长为2,
则,
所以,,则,
所以异面直线与所成角的余弦值为,A错;
由侧面的一个法向量为,则,
所以与侧面所成角的正弦值等于,B对;
由,
若是面的一个法向量,则,取,则,
显然是面的一个法向量,故,
所以锐二面角的夹角的余弦值为,C对;
由是面的一个法向量,则,
所以平面与平面所成角的正弦值为,则对应正切值为2,D对.
故选:BCD
三、填空题
13.直线与直线之间的距离是 .
【答案】
【分析】根据两条平行线间的距离公式,可直接求出结果.
【详解】直线与直线之间的距离.
故答案为
【点睛】本题主要考查两平行线间的距离,熟记公式即可,属于常考题型.
14.已知某直线的倾斜角,则该直线的斜率的范围为 .
【答案】
【分析】根据倾斜角和斜率关系确定斜率范围即可.
【详解】当,斜率,
当,斜率不存在,
当,斜率,
综上,,则.
故答案为:
15.在三棱锥中,若是正三角形,为其重心,则化简的结果为 .
【答案】
【分析】首先根据几何关系,转化向量再进行运算可得答案.
【详解】延长交边于点,则,
则有,,
故.
故答案为:.
16.已知正四面体的棱长为2,点,分别是,的中点,则的值为 .
【答案】
【分析】由向量的位置关系及加减法的几何意义有,,应用向量数量积的运算律及定义求.
【详解】由题设,,
所以
.
故答案为:
四、解答题
17.已知向量,.
(1)求与的夹角余弦值.
(2)若,求实数的值.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)应用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角余弦值.
(2)由向量线性运算的坐标表示及垂直关系的坐标表示列方程求参数.
【详解】(1)由题设.
(2)由,又,
所以,则.
18.已知直线:,直线:
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的值.
【答案】(1);
(2)或.
【分析】(1)(2)利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值,对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求.
【详解】(1)由,则,即,
所以或,
当,,,两线重合,不合题设;
当,,,符合题设;
综上,
(2)由,则,即,
所以,即或.
19.求经过点 ,且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【答案】2x-3y=0和x+y-5=0.
【分析】讨论当截距为0和截距不为0两种情况,分别求直线方程.
【详解】若所求直线截距为0,设其方程为y=kx.
依题意将点A的坐标代入可解得k=.
所以此时直线方程为2x-3y=0.
若所求直线截距不为0,则设其截距为a,
则方程的截距式为=1,将点A的坐标代入可解得a=5.
所以此时直线方程为x+y-5=0.
【点睛】本题考查了直线方程截距式的简单应用,注意讨论截距是否为0,属于基础题.
20.已知直角梯形,是边上的中点,,,,,将沿折到的位置,使,点在上,且.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)由题设易得四边形为正方形,即有,,应用线面垂直的判定、性质证结论;
(2)构建空间直角坐标系,应用向量法求二面角的余弦值.
【详解】(1)由,是边上的中点,且,,
所以四边形为正方形,故,即,,
又,,面,则面,
面,则,又,面,
所以平面.
(2)由(1),可构建如下图示的空间直角坐标系,且,
则,故,
令是面的一个法向量,则,取,则,
而是面的一个法向量,则,
所以,锐二面角的余弦值.
21.如图,三棱柱中,所有棱长都为2,且,平面平面,点为中点,点为中点.
(1)求证:平面;
(2)求点到直线的距离;
(3)点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;
(2);
(3).
【分析】(1)连接,若为中点,连接,易证面、,构建空间直角坐标系,应用向量法证明线面平行;
(2)(3)应用向量法求点线、点面距离即可.
【详解】(1)由题设四边形为菱形,都为等边三角形,连接,
所以为等边三角形,若为中点,连接,则,
又面面,面面,面,
所以面,故可构建空间直角坐标系,如下图示,
则,
所以,
若是面的一个法向量,则,
取,则,故,即,
又面,故平面.
(2)由(1)知:,则,
所以点到直线的距离为.
(3)由(1)知,若是面的一个法向量,
则,取,则,
所以点到平面的距离.
22.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马中,侧棱 底面,且 ,过棱的中点 ,作交 于点,连接
(Ⅰ)证明:.试判断四面体 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面与面 所成二面角的大小为,求的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【详解】(解法1)(Ⅰ)因为底面 ,所以,
由底面为长方形,有 ,而,
所以.而,所以 .
又因为,点 是的中点,所以 .
而,所以 平面.而 ,所以.
又, ,所以平面 .
由平面 ,平面 ,可知四面体的四个面都是直角三角形,
即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 .
(Ⅱ)如图1,在面内,延长 与交于点 ,则是平面 与平面
的交线.由(Ⅰ)知,,所以.
又因为底面 ,所以.而 ,所以.
故是面 与面所成二面角的平面角,
设, ,有,
在Rt△PDB中, 由, 得,
则 , 解得.
所以
故当面与面 所成二面角的大小为时,.
(解法2)
(Ⅰ)如图2,以为原点,射线 分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
设, ,则, ,点是 的中点,
所以, ,
于是,即 .
又已知,而 ,所以.
因, , 则, 所以.
由平面 ,平面 ,可知四面体的四个面都是直角三角形,
即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 .
(Ⅱ)由,所以是平面 的一个法向量;
由(Ⅰ)知,,所以是平面 的一个法向量.
若面与面 所成二面角的大小为,
则,
解得.所以
故当面与面 所成二面角的大小为时,.
【解析】四棱锥的性质,线、面垂直的性质与判定,二面角.
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