2023-2024学年吉林省白山市抚松县第一中学高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省白山市抚松县第一中学高二上学期11月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( )
A．直线B．抛物线
C．圆D．双曲线
【答案】A
【分析】检验知点在直线上，则所求点的轨迹即为过这点且与直线垂直的直线.
【详解】∵点在直线上，故所求点的轨迹是过点且与直线垂直的直线．选.
【点睛】本题考查点的轨迹.求解中注意检验已知点与已知直线之间的关系.
2．设、，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
3．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
【答案】D
【分析】对a分类讨论，由截距相等列方程解出的值.
【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
4．直线和圆的交点个数（ ）
A．B．C．D．与，有关
【答案】C
【解析】圆题意可知直线恒过 圆内的定点，故可得直线与圆相交，即可判断
【详解】解：因为直线可化为，
所以直线恒过定点，
因为
则点在圆内，
故直线过圆内的点，与圆相交，即交点个数为2.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，解题的关键是发现直线恒过定点且定点在圆内.
5．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得，其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4，求出平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取求得值即可．
【详解】由，得
，
其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4．
平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，
由题得，解之得.
所以平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是
．
联立，解得．
故选：C．
【点睛】本题主要利用考查双曲线的定义求方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．双曲线的左，右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线的右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】将代入双曲线方程求出点的坐标，通过解直角三角形列出三参数，，的关系，求出离心率的值．
【详解】由于轴，且在第一象限，设
所以将代入双曲线的方程得即，
在△中，，
即,解得,
故选：B
7．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
8．如图，在棱长为1的正方体中，E是线段的中点，F是棱上的动点，P为线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在上取点使得，由对称性可知，问题转化为：在平面内，求直线上一动点到定点的距离与它到定直线的距离之和的最小值问题. 建立平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点，进而可得结果.
【详解】在上取点使得，由对称性可知.
连接，则，点、、都在平面内，
且，，.
在所在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系如图所示.
则，，，所以直线的方程为.
设点关于直线的对称点为，则
，解得，即.
因此，
所以，当且仅当三点共线且时，有最小值.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：建立平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点.
二、多选题
9．已知方程表示的曲线为,则以下四个判断正确的为（ ）
A．当时,曲线表示椭圆
B．当或时,曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则
【答案】BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程,逐项判断正误.
【详解】若曲线:表示椭圆,则,解得且,故A不正确;
若曲线:表示双曲线,则,解得或,故B正确;
若曲线:表示焦点在轴上的椭圆,则,解得,故C正确;
若曲线:表示焦点在轴上的双曲线,则,解得,故D正确.
故选:BCD.
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点
【答案】BCD
【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．
【详解】由，得，
联立，解得，
直线恒过定点，故A错误；
圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，
曲线化为标准式，
圆心距为，解得，故C正确；
设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．
故选：BCD
11．已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）
A．当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B．当时，四面体的体积为定值
C．当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D．当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
【答案】BCD
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线线角的余弦值，进而求出正切值；
B选项，证明线面平行，进而得到，四面体的体积为定值；
C选项，先作出辅助线，得到，PE⊥平面ABCD，故设出，利用列出方程，化简后得到轨迹方程，得到当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
D选项，作出辅助线，找到球心，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到外接球的表面积.
【详解】如图1，以D为坐标原点，分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设异面直线CP与AD所成角为，
则，
故，，A错误；
如图2，因为，且，
所以四边形为平行四边形，
故，
因为平面，平面，
所以平面，
故当点P在上运动时，点P到平面的距离不变，
即当时，四面体的体积为定值，B正确；
如图3，过点P作PE⊥BC于点E，连接，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以AB⊥EP，
因为，平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，
设，，其中，
当时，，
整理得：，
故当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
如图4，当时，P为的中点，取BD的中点Q，BC的中点N，连接PN，
则PN，故PN⊥平面ABCD，
因为BC⊥CD，故三角形BCD的外心为点Q，则外接球球心O在过点Q且垂直于平面ABCD的直线上，
故OQ⊥平面ABCD，OQPN，
连接OP，QN，OB，过点O作OMQN交PN于点M，设四面体BCDP的外接球的半径为R，
则OB=OP=R，，OQ=MN，
其中，设OQ=MN=h，则，
由勾股定理得，
故，解得：，
故，，
当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π，D正确.
故选：BCD.
【点睛】立体几何求外接球的表面积或体积问题，要先找到一个特殊平面，一般为直角三角形，矩形或等边三角形，找到外心，从而找到球心的位置，设出未知数，再根据半径相等列出方程，求出半径，进而求出外接球的表面积或体积.
12．已知曲线为上一点，则（ ）
A．与曲线有四个交点
B．的最小值为1
C．的取值范围为
D．过点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率
【答案】BCD
【分析】分象限讨论得出曲线图象，数形结合判断A，根据图象及椭圆、双曲线性质可知离原点最近的点判断B，利用平行线间的距离可判断C，求切线斜率结合图象判断D.
【详解】当时，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分，
当，曲线方程为，曲线不存在，
当，曲线方程为，即，曲线为双曲线一部分，
当，曲线方程为，即，曲线为椭圆一部分，
综上，作曲线图象，如图，
对A，由双曲线方程可知，渐近线方程为，直线与渐近线平行或重合，作渐近线的平行线，由图象可知，直线与曲线不存在四个交点，故A错误；
对B，由双曲线、椭圆顶点性质可知，曲线上与原点距离最近的点为B，由曲线方程知，所以的最小值为1，故B正确；
对C，表示曲线上的动点到直线的距离，可转化为两平行线与直线间的距离，且与曲线有交点，
联立，可得，
由，可解得或（舍去），
结合图象可知，，
即，故C正确；
对D，由在曲线的切线上，
设过点M与相切的直线方程为，
联立，消元得：，
所以，
化简可得，解得或（与双曲线左支相切，不满足题意，舍去），
由图象可知，当直线斜率满足时，直线与曲线有3个交点，故D正确.
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题第一个难点在于通过分象限讨论，去掉绝对值得出曲线方程，再由曲线方程画出曲线图象；第二个难点在于解题中充分应用曲线在第一象限及第三象限的图象为双曲线部分，且具有相同的渐近线；第三个难点在于求过点与第一象限双曲线相切时，计算量繁琐，基本不能完成.
三、填空题
13．抛物线的焦点坐标是 .
【答案】
【分析】抛物线标准方程，即可求出焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程，得焦点坐标为.
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了理解辨析能力，属于基础题目.
14．若，，则在上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】由在上的投影向量，坐标运算可得.
【详解】，，
，且，
则与方向相同的单位向量为，
设与的夹角为，则在上的投影向量为
.
故答案为：.
15．已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设动圆圆心的坐标为，半径为，由题意可得，可得点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支．根据，，求得的值，可得点的轨迹方程．
【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，，，
故点的轨迹方程为．
故答案为：
16．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当时，该椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形，由此可求得椭圆离心率.
【详解】设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示：
则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，则，
又，则.
故答案为：
【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.
四、解答题
17．在中，已知，.
（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）直线过的中点或直线平行两种情况分别求出直线的方程即可；
（2）设关于的角平分线的对称点为，根据点关于直线对称求出对称点的坐标，再由，在直线上，即可求出直线的方程；
【详解】（1）∵点，到的距离相等，∴直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）设关于的角平分线的对称点为，，
解得，∴，再由，在直线上，所以
所以的方程为整理得.
18．已知空间中的三点，，，，．
(1)当与的夹角为钝角时，求的范围；
(2)求点到直线的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两向量夹角为钝角时，数量积小于0且不共线，再利用向量的线性运算、数量积运算的坐标表示求解.
（2）利用点到直线的距离公式进行求解.
【详解】（1）由题意得，，
所以，，
由，
解不等式，得．
∵当时，两个向量的夹角为，
∴的取值范围是．
（2）设直线的单位方向向量为，
则，
∵，
∴，，
∴点到直线的距离．
19．已知点，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果；
（2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解．
【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即的中点为圆心，半径，
则圆的标准方程为．
（2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即，
由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是．
．
故所求圆的标准方程是．
解法二：待定系数法
设圆的标准方程为，
则
故所求圆的标准方程为．
20．如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而可证明.
（2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

所以，设，
则，解得，即.
则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
因为，设平面的一个法向量为，
所以即，令，解得，
所以平面的一个法向量为，
又，所以平面平面；
（2），
所以.
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，解得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
，
所以平面和平面夹角的大小为
21．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．
【答案】（1）.（2）
【解析】(1)由椭圆的定义知，又，进而求出，从而可得椭圆方程；
(2) 设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0),与椭圆方程联立得，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据韦达定理以及2≤λ＜3即可求出结果.
【详解】(1)根据题意，设椭圆C的标准方程为 (a＞b＞0)，
则，
解得，
所以椭圆C的方程为.
(2)根据题意可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立方程，得 ，消去x，得，
，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝①，
y1y2＝②，
又，所以y1＝－λy2③，
把③代入①得y2＝，y1＝ ，并结合②可得y1y2＝，则，即λ＋－2＝，
因为在2≤λ＜3上递增，所以≤λ＋－2＜，
即，且k＞0，解得0＜k≤，
故直线l的斜率k的取值范围是.
【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了平面向量的坐标表示，考查了韦达定理，考查了直线与椭圆相交的问题，考查了利用单调性求取值范围，属于中档题.
22．曲线C的方程为，点D的坐标，点P的坐标.
(1)设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标：
(2)设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于M､N两点，线段MN的垂直平分线经过点P.证明；直线AB的斜率为定值，并求出此值.
【答案】(1)或.
(2)证明见解析，定值为.
【分析】（1）化简曲线曲线C的方程得，根据抛物线的定义可求出结果；
（2）联立直线与抛物线方程求出的坐标，利用的垂直平分线经过得到与的斜率为相反数，再联立直线与抛物线方程得到的坐标，根据斜率公式可证结论成立.
【详解】（1）曲线C的方程为，
移项平方得，化简得，
∴曲线C的方程为.
∴为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线.
设，则.∵，，解得.
∴，解得.∴E的坐标为或.
（2）∵，曲线C的方程为，点在曲线C上，
∵A､B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA､PB与y轴分别交于点M､N，∴直线PA､PB的斜率都存在，且都不为0，
分别设为k､，则，
直线PA的方程为，即.
当时，，即.
同理可得.
∵线段MN的垂直平分线经过点P，
∴，即.
由，得：.
设，则1，是的解.
由书达定理得：
∴，同理可得
∴，∴直线AB的斜率为定值.