2023-2024学年江西省新余市实验中学高二上学期12月月考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省新余市实验中学高二上学期12月月考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A．－3B．－4
C．3D．4
【答案】A
【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】∵，
∴，
故存在实数，使得，
即，故，解得，
∴.
故选：A
2．设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】试题分析：两焦点分别为：（2，0），（-2，0）．
根据椭圆的定义：
P到两焦点的距离之和等于 4×2=8 ，
又因为 P到两焦点的距离之差为2，
可求得，P到两焦点距离分别为 5，3.
所以三角形边长分别为3，4，5.所以是直角三角形选B.
【解析】本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质．
点评：常见题型，利用椭圆的定义及几何性质，确定三角形边长，以确定其形状．
3．已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先设，根据题意直接求，再由代入可得，再利用，即可得解.
【详解】设，由，
由，所以，
可得，
所以，
即，所以，所以离心率.
故选：B
4．直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式和韦达定理可求斜率的范围，从而得到倾斜角的范围.
【详解】由可得，
整理得到在上有两个不同的根，
故，解得或,
故直线的倾斜角的范围为：，
故选：B
5．三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.
【详解】
故选：D.
6．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线 与所成的角大小等于（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
【答案】A
【分析】取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义找到异面直线与所成角，再由正方体的结构特征及已知求大小.
【详解】取的中点，连接，
因为分别为，，，的中点，
所以，所以，故为异面直线与所成的角，
在正方体中，由分别为，，的中点，
则，即为等边三角形，所以，
即异面直线与所成的角大小等于.
故选：A
7．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图像，求出各点坐标结合向量共线，求出关系即可.
【详解】当时，，
所以，则，
，
则，则.
故选：A

8．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，
设中点为，，
由垂径定理得，
在圆上，
又 ，
由图可知，
，
的范围为.
故选：C
二、多选题
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】利用空间向量的坐标表示及投影向量的定义一一计算即可.
【详解】易知，显然，故A错误；
易知：，
故B正确；
易知，故C正确；
在上的投影向量，故D正确.
故选：BCD
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（ ）

A．平面B．平面平面
C．D．平面
【答案】ABC
【分析】A选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B选项，在A选项的基础上证明面面平行；从而推导出D错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到.
【详解】因为O为底面四边形对角线的交点，
所以O为的中点，由M是的中点，可得，
因为在平面，平面，
所以平面，A正确；
同理可推得平面，
而，
所以平面平面，B正确；
因为平面，故不可能垂直平面，D错误；
设该正四棱锥的棱长为a，
则，
所以，
因为，
所以，C正确.

故选ABC．
11．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于
C．曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】BD
【分析】A选项，变形后得到，求出定点；B选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；C选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；D选项，数形结合得到当取得最小值时，取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】A选项，变形得到，
故，解得，所以恒过定点，A表述正确；
B选项，圆的圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，B表述错误；
C选项，曲线与恰有四条公切线，故圆与圆相离，
其中变形为，圆心为，半径为1，
变形为，圆心为，半径为，
故，解得，
故圆心距为，所以，
解得，
则实数的取值范围为，C表述正确；
D选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故过点向圆引条切线，有，
所以当取得最小值时，取得最小值，
的最小值为，故最小值为，D表述错误.
故选：BD
12．已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则C是圆
B．若，且，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为
D．若，则C是椭圆，其离心率为
【答案】BC
【分析】对于A：取特值，则，代入原方程可判断；
对于B：由已知得，由椭圆的标准方程可判断；
对于C：由双曲线的标准方程和渐近线方程可判断；
对于D：由已知得，可判断曲线C是焦点在y轴上的椭圆，再由椭圆的离心率公式可判断.
【详解】解：对于A：若，则，原方程为，此时曲线C不存在，故A不正确；
对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确；
对于C：若，则C是双曲线，但渐近线方程为，故C正确；
对于D：由已知得，又，所以，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故D不正确，
故选：BC.
三、填空题
13．2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.
【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为，
3个窗口各有1辆车在等候的事件含有个基本事件，
所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为.
故答案为：
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】由已知点在椭圆内，根据椭圆定义可知，所以，所以其最大值为，即可得解.
【详解】
如图所示，
由椭圆方程为，则，，
又点，满足，所以点在椭圆内，
由椭圆定义可知，
即，
所以，
故答案为：.
15．的展开式中的系数是 ．
【答案】126
【分析】根据展开式的通项公式表示出各部分中的系数，然后利用组合数的性质进行求解．
【详解】因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的系数为：
．
故答案为：.
16．已知分别是双曲线的左右焦点，若，则 .
【答案】9
【分析】利用双曲线方程及其定义解得或，又因为，即可得.
【详解】根据双曲线方程可得，
再由双曲线定义可得，解得或，
又因为，所以可得.
故答案为：
四、解答题
17．已知空间三点，，，设，．
(1)求；
(2)与互相垂直，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；
（2）首先求出，的坐标，再根据向量垂直列方程求参数．
【详解】（1）由题设，，
所以．
（2）由，，而，
所以，
可得或．
18．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件渐近线与直线垂直，右顶点到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；(2)用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得方程.
【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为.
19．已知点、．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若点、到直线的距离相等，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值.
【详解】（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
20．某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；
(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【答案】(1)25
(2)72
【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；
（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．
【详解】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为，
②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，
所以共有选法种数为20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，
第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ，
所以共有不同的分配方案数为：．
五、证明题
21．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】（1）利用勾股定理先证，再证平面即可得面面垂直；
（2）根据条件建立合适的空间直角坐标系，根据体积先计算E坐标，再利用空间向量求面面角即可.
【详解】（1）为等边三角形，
，
又四边形为梯形，，则，
根据余弦定理可知，在中，
根据勾股定理可知，，即，
平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）为中点，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，
所以PO，BD，OC两两垂直．
以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，
设且，则，
由三棱锥的体积为得：，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故．
所以平面与平面的夹角余弦值为：
.
22．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D．且,设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据两圆内切和外切满足的几何关系，即可得，结合椭圆的定义即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据两点斜率公式即可代入求解.
【详解】（1）由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，
圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知，两式相加得，，
所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以，轨迹的方程为.
（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线AB方程为：，D坐标为．所以，
设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．恒成立，
由韦达定理知，且，，
则
．
故（定值）．

【点睛】圆锥曲线中取值范围或者定值问题的求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值或者范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的关系建立不等式或者方程，从而求出参数的取值或者范围；
（4）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
六、解答题
23．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以.
（2）由余弦定理得，所以，
故．
七、证明题
24．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．

(1)求证：；
(2)求点与平面的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，取AB中点O，连接交于,

∵为等边三角形，
∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故平面，
而平面，∴，
又∵,，
∴.
∴，
又∵平面,平面,，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）设点与平面的距离为，
∵ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，
∴,，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故⊥平面，
而平面，所以，，
∴在中，，
∴,则易得，
由（1）知，平面，
∴为三棱锥的高，
∴
又∵，
得.
故点与平面的距离为.
25．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k