2023-2024学年山东省日照市国开中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省日照市国开中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C.
【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；
选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；
选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；
选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；
故选：A.
2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．-1C．-iD．i
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求得复数z，从而得到复数z的虚部.
【详解】因为，
所以，
所以复数z的虚部为.
故选：B.
3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．
C．或D．与的位置关系不能判断
【答案】B
【分析】观察到的直线的方向向量与平面的法向量共线，由此得到位置关系．
【详解】解：直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
显然它们共线，所以．
故选：B．
4．已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
【答案】C
【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用空间任意两个向量共面可判断B选项；利用共面向量的定义可判断C选项；利用空间向量的基本定理可判断D选项.
【详解】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确；
对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确；
对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设，
则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确；
对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为.
故D不正确.
故选：C
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
6．已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】设，根据向量共面定理，解方程组即可求解.
【详解】因为，且三向量共面，
所以，所以，
所以，解得.
故选：A
7．在三棱锥中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若为中点，连接，由已知易得、，根据线面垂直的判定及性质可证，即可得.
【详解】若为中点，连接，
由知：；由知：，即有，
又，则面，而面，
∴，即.
故选：D
8．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解.
【详解】如图，
作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．
则,,
设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，
由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．
故选：C
【点睛】方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
二、多选题
9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）
A．B．
C．复数的实部为D．复数对应复平面上的点在第二象限
【答案】BD
【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.
【详解】因为复数满足，
所以
所以，故A错误；
，故B正确；
复数的实部为 ，故C错误；
复数对应复平面上的点在第二象限，故D正确.
故选：BD
【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.
10．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．不存在实数，使得D．若，则
【答案】AC
【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，假设，则，
所以，该方程组无解，故C正确；
对于D，因为，所以，解得，
所以，，所以，故D错误.
故选：AC.
11．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A．B．四边形为矩形
C．平面D．
【答案】AC
【分析】根据向量垂直的充要条件是数量积为0判断AB，由向量垂直与线面垂直的判定与性质判断CD．
【详解】对于A选项，，，A对；
对于B选项，，故平行四边形不是矩形，B错；
对于C选项，，则，
因为，则平面， C对；
对于D选项，根据C知，所以D错.
故选：AC.
12．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由空间向量模的概念，数量积运算对选项逐一判断
【详解】由题意得是四面体外接球的球心，
设是顶点在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是的外接圆半径，
则，，，
解得，，
对于A， ，故A错误；
对于B，∵，∴，
∴，∴，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：BD
三、填空题
13．在空间四边形中， .
【答案】
【分析】根据向量的加法法则即可求解.
【详解】解：.
故答案为：.
14．已知点，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】设，由求解.
【详解】解：设，
则，
由题意得，则，解得，
所以
故答案为：
15．设复数，满足，，则= .
【答案】
【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
16．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .

【答案】/
【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解.
【详解】设，，，
则构成空间的一个基底，
设，
因为，
所以，
因为，，
所以，即，
即，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知.
(1)求的值；
(2)设,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的代数乘法运算即可；
（2）根据复数的乘除法运算即可.
【详解】（1）.
（2），
.
18．已知复数，则
（1）当实数取什么值时，是实数？
（2）当实数在什么范围时，在复平面内对应的点在第二象限？
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）利用复数的虚部为0，求出实数的值即可；
（2）利用复数的实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，解得即可.
【详解】（1）由是实数，且，
即当实数取1时，是实数.
（2）由复数在复平面对应的点在第二象限，
.
即，当时，在复平面内对应的点在第二象限.
【点睛】本题考查复数的基本概念，复数的几何意义，基本知识的考查，属于基础题.
19．如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)16
(2)0
(3)2
【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解；
（2）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解；
（3）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）如图，
设，，，
则，，，.
.
（2）
.
（3）
.
20．如图，在直三棱柱中，，．
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)求直线和平面所成角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、根据题意可证得两两垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后根据即可求出异面直线和所成角的大小；
（2）、先求出平面的一个法向量，然后根据即可求出直线和平面所成角的正弦值，进而求出直线和平面所成角的大小.
【详解】（1）为直三棱柱，⊥平面，,
又，两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
设直线和所成角的大小为，则，
又，，直线和所成角的大小为．
（2）由（1）可知：
设平面的一个法向量，
则，取，得，
设直线和平面所成角的大小为，则，．
直线和平面所成角的大小为．
五、证明题
21．如图，四棱锥中，，底面是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且.
（1）若MN∥平面PAD；
（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】（1）当时，在PA上取点E，使得，连接EN，DE，
，
EN∥AB，且，
M为CD的中点，CD=2，
，
又AB∥CD，EN∥DM，EN=DM，
四边形DMNE是平行四边形，
MN∥DE，
又 平面PAD，MN平面PAD，
MN∥平面PAD．
（2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD．以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−xyz．
则D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，−2，0），P（0，0，4），
∴，
．
该平面PBC的法向量为，则由，得，令z=1，得．
该直线AN与平面PBC所成的角为，则
，解得
∴，
设直线AD与直线CN所成的角为，
则．
所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为．
【名师点睛】（1）利用向量法求线面角的方法：
①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)；
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．
（2）利用直线的方向向量求异面直线所成的角时，要注意直线方向向量的夹角和异面直线所成角的区别，不要得到错误的结论．
22．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.