2023-2024学年四川省眉山市彭山区第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省眉山市彭山区第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.
【详解】，
设该直线的倾斜角为，
因为直线的斜率为，
因数，所以.
故选：C.
2．向量，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．
【答案】B
【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由题设，故.
故选：B
3．圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】将两个圆的方程相减，可得两圆的公共弦的方程，求得弦所在直线与坐标轴的截距，即可求得答案.
【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交，
故将和相减得，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
令，则；令，则，
故与两坐标轴所围城的三角形面积为，
故选：C
4．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用双曲线上的点到焦点的最近距离为，结合离心率计算可得答案.
【详解】结合题意：双曲线上的点到焦点的最近距离为，
因为双曲线离心率为，所以，解得，
故双曲线的方程为.
故选：B.
5．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型及直线方程计算即可.
【详解】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有，
共36种结果，即点有36个.
而满足在上的有3种，故其概率为.
故选：C
6．已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（ ）
A．3B．
C．D．
【答案】C
【分析】由空间向量法求点线距．
【详解】由已知，
，所以，
所求距离为，
故选：C．
7．已知椭圆C：，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，轴，PF与椭圆的另一个交点为点Q，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意确定，进而可得，即可求椭圆的离心率．
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴，不妨设，，
因为点在椭圆上，
所以，解得，所以，
又为等腰直角三角形，所以，
即，即，所以，
解得或（舍．
故选：B

8．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，把各个点的坐标求出来，然后求出平面AEC的法向量为以及，结合即可求解.
【详解】如图，

连接，设与相交于点O，连接，
因为金字塔可视为一个正四棱锥，
故以点O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
又由题意可得，，
所以，
所以，，，，，，
不妨设，又因为，所以，
即，解得，即，
，，，
设平面AEC的法向量为，则，，
即，取，得，
所以点D到平面AEC的距离．
故选：A.
二、多选题
9．已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于5”，事件“抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件发生的概率为B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为D．事件发生的概率为
【答案】AD
【分析】首先求出样本空间，再根据选项，列出所有满足条件的样本点，结合古典概型公式，即可求解概率.
【详解】从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有12个基本事件，如下：
，
抽取的两个小球标号之和小于5的有：，共6个
抽出的两个小球标号之积为奇数的有：，共4个，
所以，故A正确；
事件包含的基本事件有：，共7个，
所以，故B错误,
事件包含的基本事件有：，共3个，
所以，故C错误，D正确；
故选：AD.
10．直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】首先得到圆心坐标与半径，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况讨论，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
依题意直线的斜率存在，
若直线过坐标原点，设直线为，即，则，解得，
所以直线的方程为或；
若直线不过坐标原点，设直线为（），即，
则，解得（舍去）或，
所以直线的方程为，
综上可得直线的方程为或或.
故选：ACD
11．已知A，B两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，下面说法正确的是（）
A．若，则最大值为2
B．若，则最大值为
C．若，则最大值为
D．若，则最大值为1
【答案】BC
【分析】以线段的中点为原点建立空间直角坐标系，则，设，根据条件分别求出动点的轨迹方程，再由三角形ABC的面积，转化为由轨迹方程求的最大值即可得解.
【详解】如图，以线段的中点为原点建立空间直角坐标系，
则，设，
对于A，，即，
化简可得点C的轨迹方程，故，
所以三角形ABC的面积，
即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误；
对于B，由题意可得，
化简可得点C的轨迹方程，
故，
所以，即C点为时，
三角形ABC面积最大，故B正确；
对于C，由知，
动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），
则，故
椭圆方程为，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确；
对于D，由题意，
化简可得C的轨迹方程，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
12．已知正方体的棱长为2，，点在底面上运动．则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若//平面时，长度的最小值是
C．若与平面所成角为时，点的轨迹长度为
D．当点为底面的中心时，三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】作关于平面的对称点，即可判断A；根据平行的判定与性质分析判断B；由线面角为，即可判断C；建立空间直角坐标系即可判断D.
【详解】对于A选项，作关于平面的对称点，
则，且，
当点与点A重合时，则，
所以存在满足题意，故A选项正确；

对于B选项，在上取，在上取，连接，
则可得平面∥平面，即当在上运动时，∥平面，
长度的最小值是即为点到直线的距离，
根据平行的性质可知：点到直线的距离即为点到直线的距离，
所以 ，故B选项正确；

对于C选项：因为平面，所以与平面所成角为，
则，解得，
所以点的轨迹是以A为圆心，半径的圆弧，长度为，故C选项错误；

对D选项，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可知的外接圆圆心的为（利用中垂线可得），
所以球心为，，，，
所以，解得，
可得，
所以，D选项正确，

故选：ABD．
【点睛】方法点睛：对命题条件探索的三种途径：
①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；
③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．
三、填空题
13．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】15
【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数.
【详解】设盒子中红球的个数为，
由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25，
则，
解得，
即盒子中红球个数大约15个.
故答案为：15
14．已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 ．
【答案】9
【分析】求出双曲线的a,b,c，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，得到所求距离．
【详解】双曲线中，，，
设双曲线的左右焦点为，可设，
若P在双曲线左支上，则；若P在双曲线右支上，则有，
所以在双曲线左支上，因为，
所以到另一个焦点的距离为9．
故答案为：9
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据直线方程得到，，，根据勾股定理得到，然后根据不等式求最值即可.
【详解】直线可得，
直线可整理为，令，解得，
所以，
因为，所以直线与直线垂直，则，
所以点的轨迹为以为直径的圆，
，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，离心率为，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点（其中点在P第一象限），且，若的周长为，则该椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据，求得的周长与的周长之比为，得到的周长为10，结合椭圆的定义，得到， 结合，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率为，可得
因为，所以，
又因为，因此的周长与的周长之比为，
因为的周长为，所以的周长为10，
由椭圆的定义，可得，
结合，解得，于是，
故椭圆的标准方程为．
故答案为：．

四、解答题
17．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【答案】（1）0.398；（2）0.994.
【分析】结合独立事件的乘法公式即可.
【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
18．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19．已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和的关系求解即可；
（2）设，，利用点差法求解即可.
【详解】（1）由题意可得椭圆中，
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率，
故的方程为，即．

五、证明题
20．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据梯形的性质求解可证，进而根据线线垂直即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解平面夹角，或者利用几何法，结合线面垂直找到两平面的夹角，根据三角形的边角关系即可求解.
【详解】（1）∵平面，平面，
∴，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面，
∴平面，平面，
故.
（2）方法一:，
∵,
，
∴.
如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
,
设平面法向量为，
则，，
取，得
同理，设面法向量为，则
，，
取，得，
由题意，.
设平面与平面的夹角为，则，
方法二：，
∵,
，
∴.
∵平面，平面，∴平面平面，
过作，则平面垂足为，平面，则,
过作的垂线，垂足为，连，
由于平面,
所以平面,平面，故，
则为所求二面角夹角的平面角.
，所以,
,，，
.
六、解答题
21．己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据题意得出，求出的取值范围，列出韦达定理，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则，
，解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
七、证明题
22．已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率满足：．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．
【答案】（1）（2）见证明
【分析】（1）由可得的值，从而得到椭圆的标准方程；
（2）原问题等价于，联立方程，利用韦达定理即可得到结果.
【详解】解：（1）设则
由得，
由，即得，
所以，所以
即椭圆的标准方程为：
（2）设
由得：


又与圆C相切，所以即
所以

所以，，即
所以，以线段为直径的圆经过原点.
【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．