2023-2024学年四川省南充市嘉陵第一中学高二上学第三次月考试题数学

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一、单选题(每小题5分，共40分)
1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A
二、多选题(每题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，多选或错选得0分)
9．BCD 10．BD 11．BCD12．BC
【详解】对于A，当λ=1时，由BP=BC+μBB1，得CP=μBB1，因为μ∈0,1，所以点P在线段CC1上，
设CP=x (0≤x≤2)，则PC1=2−x，BP2=4+x2，PD12=(2−x)2+4，BD12=23，
若PB⊥PD1，则BP2+PD12=BD12，
则4+x2+(2−x)2+4=12，则x=0或x=2，
当x=0时，P与C重合；当x=2时，P与C1重合，
故当λ=1时，有两个点P，使得PB⊥PD1，故A不正确；
对于B，当μ=1时，由BP=λBC+BB1，得B1P=λBC，又λ∈0,1，则点P在线段B1C1上，
因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB=A，A1D,AB⊂平面D1ABC1，
所以A1D⊥平面D1ABC1，
若A1D⊥平面PAD1，则平面D1ABC1与平面PAD1重合，
此时P必与C1重合，即当μ=1时，有且仅有一个点P，使得A1D⊥平面PAD1，故B正确；
对于C，当λ+μ=1时，由BP=λBC+μBB1以及λ∈0,1，μ∈0,1，得点P在线段B1C上，
因为B1C//A1D，B1C⊄平面A1DC1，A1D⊂平面A1DC1，所以B1C//平面A1DC1，
所以点P到平面A1DC1的距离等于B1到平面A1DC1的距离，
所以VA1−PDC1=VP−A1DC1=VB1−A1DC1为定值，故C正确；
对于D，由BP=λBC+μBB1，以及λ∈0,1，μ∈0,1得点P在侧面BCC1B1内，
易知，AB⊥BP，由AP=3，AB=2，得BP=AP2−AB2=9−4=5，
所以点P的轨迹是侧面BCC1B1内以B为圆心，5为半径的弧，
即有无数个点P满足题意，故D不正确.

三、填空题(每题5分，共20分)
13．±22. 14．34/0.75 15．(2+1,+∞)
16．6,43
【详解】因为双曲线方程为x24−y212=1，设Ax1,y1,Bx2,y2，若点P为线段AB的中点，
则x1+x2=8,y1+y2=2t，又x124−y1212=1x224−y2212=1，两式相减并化简可得y1−y2x1−x2=12t，
又直线AB的斜率k=y1−y2x1−x2，即k=12t，
设直线l的方程为y−t=kx−4，联立y−t=kx−4x24−y212=1 ,
化简可得3−k2x2−24−8k2x−t2+84−16k2=0
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以Δ=24−8k22−43−k2−t2+84−16k2>0，又k=12t，
化简得t4−84t2+123>0，即t>43或00，即k2