2023-2024学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列几何体中为圆柱的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合几何体的特征逐个判断即可.
【详解】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球．
故选：B．
2．对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（ ）
A．样本空间B．必然事件C．不可能事件D．随机事件
【答案】C
【分析】列出试验中的样本点数，即可求解.
【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6，
所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，
故选：C．
3．已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式及四面体表面积的意义计算即得.
【详解】棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，
其表面积为：.
故选：C
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是
A．“至少1名男生”与“全是女生”
B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
【答案】D
【详解】从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．
选项A中的两个事件为对立事件，故不正确；
选项B中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
选项C中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
选项D中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．选D．
5．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，
故选：A
6．龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇官盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高，盆口直径，盆底直径.现往盆内倒入水，当水深时，盆内水的体积近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴截面和相似关系, 以及圆台体积即可求解.
【详解】如图所示, 画出圆台的立体图形和轴截面平面图形, 并延长 EC 与FD 于点 G.
根据题意, ,
设 ,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
故选: B.
7．手工课上某同学用六个边长相等的正方形卡片拼接成一个几何图形，如图所示，其中为对角线，该几何图形恰好能折叠组装成一个正方体卡片纸盒，则在正方体卡片纸盒中，下列各选项正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先还原出正方体，然后利用正方体中的位置关系判断每个选项.
【详解】由题意可得正方体卡片纸盒如图所示，则易知，，A正确，B错误，
连接，则是等边三角形，于是与，的夹角均为，C，D选项错误.
故选：A

8．如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（ ）

A．存在点，使
B．不存在点，使
C．对任意点，都有
D．存在点，使平面
【答案】C
【分析】A选项，根据异面直线的定义可以判断；
B选项，容易发现重合时符合题意；
C选项，利用线面垂直得到线面垂直；
D选项，先找出平面的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和垂直的问题.
【详解】
A选项，由于平面，，平面，则一定异面，A选项错误；
B选项，根据直三棱柱性质，平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
又平面，故，显然，即，故重合时，，B选项错误；
C选项，直棱柱的侧面必是矩形，而，故矩形成为正方形，
则，B选项已经分析过，平面，由平面，故，
又，平面，故平面，又平面，
则必然成立，C选项正确；
D选项，取中点，连接，根据棱柱性质可知，和平行且相等，
故平面可扩展成平面，过作，垂足为，
根据平面，平面，故，显然，故，
由，，平面，故平面，
若平面，则，过作//，交于，连接，于是共面，
又，平面，故平面，由于平面，
故，延长交于，易得//，则，而在线段上，这是不可能的，D选项错误.
故选：C
二、多选题
9．下列说法错误的有（ ）
A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C．任意事件A发生的概率满足
D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件
【答案】CD
【分析】根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断②正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断③错误，根据小概率事件的概念判断④错误．
【详解】∵随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，∴A中说法正确；
基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，∴B中说法正确；
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0且小于1.∴任意事件A发生的概率P（A）满足.∴C中说法错误；
若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，但不是不可能事件，∴D中说法错误.
故选CD
【点睛】本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清．
10．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系（ ）
A．平行B．垂直C．异面D．重合
【答案】ABC
【解析】根据空间两条直线的位置关系判断．可以用模型说明．
【详解】观察正方体中与一条棱垂直的棱可知，ABC均可能，
故选：ABC．
11．已知正方体是中点，则（ ）
A．面B．
C．D．平面
【答案】BC
【分析】与平面相交于点，判断选项A，体对角线与异面的面对角线相互垂直，判断选项B，等边三角形中为中点，判断选项C，不垂直于平面，判断选项D.
【详解】
与平面相交于点，故选项A错误；
,面
面
面
,故选项B正确；
连接,为等边三角形，
为中点，
,,则故选项C正确；
由于,故不垂直于，不垂直于平面，故选项D错误.
故选：BC.
12．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线.则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．与直线相交D．与直线相交
【答案】CD
【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论.
【详解】延长、交于点，则、的延长线也过点，如下图所示：

因为，则平面，则直线即为所求作的直线，
所以，直线与直线、直线、直线、直线都相交.
故选：CD
三、填空题
13．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是 .
【答案】/0.5
【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.
恰好出现一次正面向上的概率:.
故答案为：.
14．如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为 ．
【答案】//
【分析】利用几何法求解异面直线所成的角，通过做辅助线，将异面直线所成的角转化到同一平面内两直线所成的角进行求解.
【详解】如图，连接，由正方体的性质可知，且，
故异面直线与所成的角即为与所成的角.
在中，均为面对角线，
∴，为等边三角形，
所以，即为异面直线与所成的角.
故答案为：.
15．已知直三棱柱 的 6 个顶点都在球的表面上， 若， 则球的体积为 ．
【答案】/
【分析】根据正余弦定理可得的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.
【详解】因为，，
所以，即，
所以的外接圆半径为，
在直三棱柱中， ，
设球的半径为，则，
因此球的体积为.
故答案为：.
16．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为 ．
【答案】/
【分析】根据线面角定义可知，设，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果.
【详解】
设，则，
平面，即为与底面所成角，即，
，，
，，；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，即，又，
顶点的曲率为.
故答案为：.
四、解答题
17．画一个三棱锥和一个四棱台.
【答案】答案见解析
【分析】根据三棱锥的结构特征作图即可；根据四棱台可以通过四棱锥截得作图即可.
【详解】解：画三棱锥可以分四步骤完成，
第一步：画底面——画一个三角形；
第二步：确定顶点——取底面外的任意一点为顶点；
第三步：画侧棱——连接顶点与底面三角形的各顶点
第四步：完成虚实线——将不能看到的线画出虚线，可看到的线用实线.
画四棱台的步骤如下：
第一步：做一个四棱锥；
第二步：在四棱锥的一条侧棱上取一点，从该点开始，依次在各个面内作与底面对应的边平行的线段.
第三步：将多余的线擦除，如图.
18．在一次猜灯谜活动中，甲、乙两人同时独立猜同一道灯谜，已知甲、乙能猜对的概率分别是0.6和0.5．
(1)求两人都猜对此灯谜的概率；
(2)求恰有一人猜对此灯谜的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可；
（2）根据概率的加法与乘法公式求解即可
【详解】（1）设“甲猜对”，“乙猜对”，则“甲猜错”，“乙猜错”，由题意得与相互独立，与，与，与都相互独立，
“两人都猜对”，由事件独立性的定义可得
；
（2）设“甲猜对”，“乙猜对”，则“甲猜错”，“乙猜错”，由题意得与相互独立，与，与，与都相互独立，
“恰有一人猜对”，因为与互斥，由概率的加法公式可得
．
19．如图所示，在斜三棱柱中，点为的中点.

(1)若三棱柱的体积为3，求多面体的体积；
(2)证明：平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用割补法，棱柱的体积减去棱锥的体积.
（2）利用线面平行的判定定理.
【详解】（1）
因为，
，
，
所以；
（2）
连接交于点，连接，则在平行四边形中，
点为的中点，又点为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
20．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
【答案】（1），58分钟；（2）.
【分析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值；再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得到答案.
(2) 样本在［60，80）［80，100]内的学生的频率为0.3,0.2，即样本在［60，80），［80，100] 采用分层抽样的比例为3:2，再结合古典概率即可求解得出答案.
【详解】（1）由可得；
这1000名学生每日的平均阅读时间，分钟；
（2）由于，因此，［60，80）抽取了3人a，b，c，抽取了2人d，e，
则再从中抽取2人共有10种不同的抽取方法，
抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为.
21．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面ABC是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．

(1)求直线PC和平面ABC所成角的正切值大小；
(2)求该几何体的表面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）连接CO，则可得直线PC和平面ABC所成角等于，然后在直角中求解即可；
（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积，然后根据已知条件分别求出其面积即可.
【详解】（1）连接CO，由题意，平面ABC，
故直线PC在平面ABC上的射影为直线CO，
因此直线PC和平面ABC所成角等于．
因为是以AB为直径的等腰直角三角形，
所以．

因此，由知．
即直线PC和平面ABC所成角的正切值大小为2．
（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上、和的面积．
因为圆锥的高，圆锥的底面半径，
所以圆锥的母线长为，
表面积为．
在和中，，，
所以，得．
同理．
因此．
而，
因此，所求表面积为．
22．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.
(1)求证： 平面；
(2)设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，当为中点时，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质得出，再由，知，即可证明；
（2）求出三角形和正方形的面积比，由点，到平面的距离之比，结合棱锥的体积公式，即可得出的值.
【详解】（1）∵，，，平面，
∴平面，
又平面，∴，
，平面，，
∴平面，
平面，
，
由，知，
又平面，，
平面
（2）∵为中点
∴，
点，到平面的距离之比为
∴