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2022-2023学年湖南省长沙市周南中学高二上学期暑假学习评价检测数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市周南中学高二上学期暑假学习评价检测数学试题含答案,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.函数的定义域为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】根据定义域的定义进行求解即可
【详解】使得函数的表达式有意义,
则且,解得
故选:D
2.已知集合,,则“”是“”( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数不等式可化解,即可根据子集关系求解.
【详解】由可得,
所以,故“”是“”的充分不必要条件,
故选:A
3.东方设计中的“白银比例”是,它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”,传达出一种独特的东方审美观.折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形(如图).设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为,折扇纸面面积为,当时,扇面看上去较为美观,那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】设小扇形、大扇形的半径分别为,且对应圆心角为,利用扇形的面积公式及已知得,即可得答案.
【详解】设小扇形、大扇形的半径分别为,且对应圆心角为,
则,,故,
所以.
故选:B
4.已知空间向量且,,,则一定共线的三点是( )
A.A,B,DB.A,B,C
C.B,C,DD.A,C,D
【答案】A
【分析】A选项,计算出,A正确;B选项,设,得到方程组,无解;C选项,设,得到方程组,无解;D选项,计算出,设,得到方程组,无解.
【详解】A选项,,所以A,B,D三点共线,A正确;
B选项,设,则,即,无解,B错误;
C选项,设,则,即,无解,C错误;
D选项,,设,
即,即,无解,D错误.
故选:A
5.已知a,b表示不同的直线,,,表示不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若,,,则
B.若,a垂直于内两条直线,则
C.若,,,则
D.若,,,则
【答案】D
【分析】根据特殊情况可判断AC,根据线面、面面垂直的判定定理判断B,根据面面平行的判定定理判断D.
【详解】对A,,,,如图,
,
显然,不一垂直,故A错误;
对B,a垂直于内两条直线,若两条直线不相交,不能推出,
由面面垂直的判定定理,不能推出,故B错误;
对C,,,,则可能垂直、平行、相交不垂直,如图
满足条件,但,故C错误;
对D,,可推出,由,可推出,故D正确.
故选:D
6.若从四个字母中任选一个字母,再从1,2,3,4四个数字中任选两个数字组成一组“代码”则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】根据题意,写出所有的代码,以及满足条件的代码,代码的个数比即为所求的概率.
【详解】由题意,所有“代码”有:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共24组,
其中恰好包含两个奇数或两个偶数的“代码”有,,,,,,,,共8组,
故所求概率为.
故选:D.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率,熟记概率计算公式即可,属于基础题型.
7.已知向量,,,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算及数量积的运算性质、夹角公式求解.
【详解】,,
,
,
,.
故选:A
8.定义域在的函数图像的两个端点为A、B,向量,设是图像上任意一点,其中,,若不等式恒成立,则称函数在上满足“k范围线性近似”,其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阈值.下列定义在上的函数中,线性近似阈值最小的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】由题意可得点的横坐标相等,点在线段上,然后可得,然后每个选项逐一求解即可.
【详解】由题意可得点的横坐标相等,点在线段上,所以
对于A,因为,所以,直线的方程为
所以,因为,
所以,当且仅当时等号成立
所以,所以该函数的线性近似阈值为;
对于B,因为,所以,直线的方程为
所以,因为,
所以,当且仅当时等号成立
所以,所以该函数的线性近似阈值为;
对于C,由函数,得,,
直线方程为
,线性近似阀值为.
对于D,由函数可得,,方程为,
由三角函数图象与性质可知,线性近似阀值为,
因为,所以线性近似阀值最小的是
故选:C
二、多选题
9.设复数且,则下列结论正确的是( )
A.可能是实数B.恒成立
C.若,则D.若,则
【答案】BC
【分析】化简为的形式,根据复数为实数、复数的模、共轭复数、复数的平方等知识对选项逐一分析,由此确定正确选项.
【详解】对选项A,若是实数,则,与已知矛盾,故A错;
对选项B,由A知,
所以,故B正确;
对选项C,,
则,因为,所以,故C正确;
对选项D,,则,因为,所以,所以,故D错误.
故选:BC
10.下列说法正确的有( )
A.的最小值为2
B.已知,则的最小值为
C.若正数x、y满足,则的最小值为3
D.设x、y为实数,若,则的最大值为
【答案】BCD
【分析】举例说明判断A;根据已知条件,结合不等式的性质,以及基本不等式计算判断BCD作答.
【详解】对于A,当时,,A错误;
对于B,当时,,则,
当且仅当,即时取等号,B正确;
对于C,若正数x、y满足,即,
,
当且仅当,即时取等号,C正确;
对于D,,
于是,解得,
当且仅当时取等号,所以当时,取得最大值,D正确.
故选:BCD
11.若将函数f(x)=cs(2x+)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.g(x)的最小正周期为πB.g(x)在区间[0,]上单调递减
C.x=是函数g(x)的对称轴D.g(x)在[﹣,]上的最小值为﹣
【答案】AD
【解析】函数f(x)=cs(2x+)的图象向左平移个单位长度后得函数g(x)的解析式,从而可求出它的最小正周期、对称轴等.
【详解】函数f(x)=cs(2x+)的图象向左平移个单位长度后得,最小正周期为π,A正确;
为g(x)的所有减区间,其中一个减区间为,故B错;
令,得,故C错;
[﹣,],,,故 D对
故选:AD
12.如图,在边长为2的正方形中,E,F分别是,的中点,G是的中点,将,分别沿,折起,使B,D两点重合于H,下列说法正确的是( )
A.若把沿继续折起,C与H恰好重合
B.
C.四面体的外接球体积为
D.点H在面上的射影为的重心
【答案】ABC
【分析】根据,可说明与恰好重合判断A,根据线面垂直的性质定理可判断B,将四面体 补成长方体,可求得其外接球半径,进而求得外接球体积判断C,根据线面垂直证明线线垂直,说明点H在面上的射影为三角形的高的交点判断D.
【详解】对于A,因为,故把沿继续折起,C与H恰好重合,正确;
对于B,如图,
因为,平面,
故平面,而平面,故,故B正确;
对于,由折前平面图形可知,两两垂直,将其补成相邻三棱长为1,1,2的长方体,
则长方体外接球和四面体外接球相同,如图,
长方体对角线长,所以长方体外接球的半径为,
故外接球的体积为,故正确;
对于D,设P为点H在平面上的射影,连接,则,
由B知,又平面,故平面,
又 平面,故,
同理可证,即点P为三角形高线的交点,
所以点在平面上的射影为的垂心,故D错误,
综上,正确答案为ABC,
故选:ABC
三、填空题
13.已知,则的值为 .
【答案】1
【分析】由,得到,再利用对数运算求解.
【详解】解:因为,
所以,
,
所以,
故答案为:1
14.已知点,,向量,若与成锐角,则y的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.
【详解】因为,,与成锐角,
所以,
解得,
当与同向时,,即,解得,
此时满足,但与所成角为0,不满足题意,
综上,与成锐角时,y的取值范围为.
故答案为:
15.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得300分的概率为 .
【答案】/
【分析】根据互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.
【详解】记“这名同学答对第个问题”为事件,
则,,
这名同学得300分包括两种情况,一是答对第一和第三两个题目,二是答对第二和第三两个题目,这两种情况是互斥的,
所以
.
故答案为:
四、双空题
16.已知四棱锥的底面为正方形,,,若四棱锥的体积为,则以点为球心,以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为 ,该四棱锥外接球的体积为 .(参考数据).
【答案】
【分析】由题意画出图形,求得正四棱锥的斜高为,再求出的大小,由弧长公式求得以点为球心,以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度;再由勾股定理求出四棱锥外接球的半径,由球的体积公式可得四棱锥外接球的体积.
【详解】解:如图,连接,交于,连接,
由底面为正方形,且,得底面,
可得为四棱锥的高,
,又四棱锥的体积为,,即.
,则,
取中点,连接,则,可得,即,
则,,
以点为球心,以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为;
设四棱锥外接球的球心为,半径为,连接,
在中,可得,
即,解得.
该四棱锥外接球的体积为.
故答案为:,.
五、解答题
17.在棱长为4的正方体中,点P在棱上,且.
(1)求直线与平面所成的角的正切值;
(2)求点P到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和直线方向向量的坐标,由向量的夹角公式求解即可;
(2)根据点面距离的向量法即可求解法向量得解.
【详解】(1)以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,
因为正方体的棱长为4,且
则,0,,,4,,所以,
又平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
所以,
故直线与平面所成的角的余弦值为;正切值为;
(2),0,,,,0,,
所以,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,
故,,
故点P到平面的距离为
18.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求B;
(2)若为锐角三角形,且,求的取值范围.
【答案】(1)或或;
(2).
【分析】(1)由余弦定理可得,然后根据特殊角三角函数结合条件即得;
(2)由题可得,然后根据正弦定理,三角恒等变换及三角函数的性质即得.
【详解】(1)因为,
所以,
∴或,
∵,
∴或或.
(2)∵为锐角三角形,由(1)可得,
根据正弦定理,
所以,,
所以
,
又∵为锐角三角形,
∴,故,
∵,,
∴.
19.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有m人,按年龄分成5组,其中第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.
(1)根据频率分布直方图,求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数;
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人,担任本市的“中国梦”宣传使者.
(i)若有甲(年龄38),乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】(1),第80百分位数为
(2)(i);(ii)10
【分析】(1)根据第一组的人数及所占比例求出,利用百分位数的计算公式求出第80百分位数为;
(2)(i)利用列举法求解甲、乙两人至少有一人被选上的概率;
(ii)结合第四组和第五组的平均数和方差,利用公式求出这m人中35~45岁所有人的平均数和方差.
【详解】(1)由题意,,所以.
设第80百分位数为,
因为,,
故第80百分位数位于第四组:[35,40)内,
由,解得:,
所以第80百分位数为;
(2)(i)由题意得,第四组应抽取4人,记为,甲,第五组抽取2人,记为,乙,
对应的样本空间为:,甲,乙,甲,乙),(B,D),(C,甲),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”,
则,甲,乙,甲,乙),,甲,乙),(甲,乙),(甲,乙,,共有9个样本点.所以.
(ii)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为,方差分别为,
则,
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为.
则,
,
因此,第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,
据此,可估计这人中年䍅在岁的所有人的年龄方差约为10.
20.己知向量,,函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点,求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简,由正弦型三角函数的单调性求解;
(2)换元后,作出与图象,利用数形结合求解.
【详解】(1)
,
令,解得,
所以函数的单调递增区间为
(2)函数在区间上有且仅有两个零点,
即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点,
由,设,
则,且,如图,
由图象可知,要使曲线与直线在区间上有且仅有两个交点,
则.
21.如图1,平面四边形中,,,,E为的中点,将沿对角线折起,使,连接,得到如图2所示的三棱锥.
(1)证明:平面平面;
(2)已知直线与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)证明平面,平面平面即得证;
(2)先由题可知为直线与平面所成的角,再证明为二面角的平面角,再解三角形求解即可.
【详解】(1)在三棱锥中,
因为,,平面,
所以平面,又平面,
所以,因为,为中点,
所以,又,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面.
(2)由(1)可知即为直线与平面所成的角,
所以,故,
所以在中,;
由(1)知平面,
过作于,连接,如图,
由平面,平面,所以,
又,,平面,
则平面,又平面,所以,
故为二面角的平面角.
由,得,即,得,
在中,中线,
所以,故,
所以二面角的余弦值为,
即平面与平面夹角的余弦值为.
22.函数的定义域为D,若存在正实数k,对任意的,总有,则称函数具有性质.
(1)判断下列函数是否具有性质,并说明理由;
①;
②;
(2)已知为二次函数,若存在正实数k,使得函数具有性质.求证:是偶函数;
(3)已知,k为给定的正实数,若函数具有性质.求a的取值范围.
【答案】(1)①是,②不是,理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)根据性质的定义对函数与函数进行判断,从而确定正确答案;
(2)性质的定义列不等式,求得,进而判断出是偶函数;
(3)性质的定义列不等式,结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围.
【详解】(1)对任意,得,
所以具有性质;
对任意,得.
易得只需取,则,
所以不具有性质
(2)设二次函数满足性质.
则对任意,满足.
若,取,,矛盾.
所以,此时,
满足,即为偶函数.
(3)由于,函数的定义域为R.
易得.
若函数具有性质,则对于任意实数,
有
,即.
即,
由于函数在上递增,得.
即.
当时,得,对任意实数恒成立.
当时,易得,由,得,
得,得.
由题意得对任意实数恒成立,
所以,即
当时,易得,由,得,
得,得.
由题意得对任意实数恒成立,
所以,即
综上所述,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:求解新定义函数类型的题目,关键点是理解和运用新定义,将新定义的知识,转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题,需要对参数进行分类讨论,分类讨论要做到不重不漏.
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