2023-2024学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期假期学情检测（入学考试）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期假期学情检测（入学考试）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解指数不等式可求得集合，由补集和交集定义可直接求得结果.
【详解】，，.
故选：A.
2．函数在区间内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】根据单调性与区间端点的符号判断即可.
【详解】易得为减函数,又,
.故在区间内的零点个数是1.
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数零点的个数问题,根据单调性与区间端点的正负分析即可.属于基础题型.
3．已知，若，则（ ）
A．或B．3或5C．或5D．3
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解.
【详解】解：由题意，当时，，解得或（舍去）；
当，，解得（舍去）；
综上，.
故选：D.
4．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.
5．已知,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性可大致判断和1的大小,将用换底公式化为以2为底的对数形式,再根据对数函数的单调性即可判断的大小,进而选出结果.
【详解】解:由题知单调递增,
,
,
,
,
即,
综上:.
故选:A
6．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
7．已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
8．已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数定义可构造方程求得，由此得到解析式；由已知等式可得到，根据，配凑出基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】为上的偶函数，，即，
即，整理得：，，
，，即；
（当且仅当，即时取等号）；
的最小值为.
故选：B.
9．已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得：，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算
， 再由正方体的性质求得的范围即可求解.
【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径，
所以，，，
因为
，
又因为点是正方体表面上的一个动点，
所以当为正方体顶点时，有最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，有最小值为，
即，，所以，
故选：B.
10．已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，，所以，，
又因为函数在内单调递增，所以，，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，
因为，则，
因为存在最大值，则，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值；
④形如或转换成二次函数求最值.
二、多选题
11．对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】ABC
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若，，则或，故A是假命题；
对于B，若，，有可能出现，故B是假命题；
对于C，若，，，有可能出现，故C是假命题；
对于D，，，则或，
若，则由得，
若，则内有直线，而易知，从而，D是真命题.
故选：ABC.
12．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．“”的否定是“”
B．函数（其中，且）的图象过定点
C．当时，幂函数的图象是一条直线
D．若函数，则
【答案】ABD
【分析】根据全称量词命题的否定即可判断A；根据指数函数、对数函数的性质即可判断B；根据幂函数的定义与性质即可判断C；令，则，代入即可判断D．
【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确；
对于B，函数（其中，且），当，即时，此时，故的图象过定点，故B正确；
对于C，当时，幂函数（），其图象是一条直线（除去与y轴的交点），故C错误；
对于D，令，则，即，所以，故D正确．
故选：ABD．
13．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且、、，下面说法错误的是（ ）
A．B．是锐角三角形
C．的最大内角是最小内角的2倍D．内切圆半径为
【答案】BC
【分析】根据题意，由正弦定理，可判定A正确；由余弦定理求得，可判定B错误；由，可判定C错误；由设内切圆的半径为，根据面积相等，求得的值，可判定D正确.
【详解】因为中， ，，，
由正弦定理，可得，所以A正确；
因为，所以，
由余弦定理可得，因为，所以为钝角，
所以为钝角三角形，所以B不正确；
由余弦定理可得，可得，所以C不正确；
由，可得，
可得的面积为，
设内切圆的半径为，可得，解得，所以D正确.
故选：BC.
14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.
【详解】A选项：如图，取的中点，连接，
∵侧面为正三角形，，
又底面是菱形，，是等边三角形，
又为的中点，
又，，在平面内，且相交于点，
平面，故选项A正确；
B选项：由选项A知，平面，又平面，，
即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；
C选项：∵平面， ，
平面，，，
又平面平面，是二面角的平面角，
设，则，，
在直角中，，即，
故二面角的大小为，故选项C正确；
D选项：因为平面平面，，
所以平面，又平面，所以.
假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，
所以平面，又平面，所以，
而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题
15．已知为虚数单位，复数，则的虚部是 ．
【答案】
【分析】由复数乘法运算可求得，根据虚部定义可得结果.
【详解】，的虚部为.
故答案为：.
16．已知在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用复合函数单调性可知，在上为减函数且在上恒成立，从而得到其等价条件并求出的范围.
【详解】解：令．
在上为增函数，
应在上为减函数且在上恒成立．
因此，即．
解得，
故实数的取值范围是．
【点睛】主要考查了对数，不等式以及复合函数单调性，属于中档题.对于对数型函数，一定要注意保证真数大于零，而复合函数单调性，主要利用“同增异减”即可判断和转化.
17．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 .
【答案】33
【分析】利用中位数与百分位数的定义求得，从而得解.
【详解】因为，故中位数是，解得；
因为，故75%分位数是，则；
所以
故答案为：33.
四、双空题
18．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为 ；②设，则 ．
【答案】
【分析】①根据类比图形的结构特点，找到与的面积联系即可.
②利用向量加减法的三角形法则，用，表示出即可.
【详解】如图：
连接，由题意知，且分别为的中点，.
所以，
,
得.
，，
化简得，
所以
故答案为：①；②.
五、解答题
19．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点（不含端点），且满足．
(1)若，用向量，表示；
(2)在（1）的条件下，若，，且，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以向量，为基底，根据向量的线性运算，把用向量，表示；
（2）以向量，为基底，结合（1）中的结论，求的值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当时，．
（2）由（1）可知，
所以
．
因为，，，
所以，
即的值．
20．新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．
(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据和频率总和为1计算出a的值；频率分布直方图中中位数左右两边的直方图面积相等都为0.5，由此列式即可计算出中位数；
（2）根据频率分布直方图计算出成绩在，的学生频数，根据分层抽样规则计算出对应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.
【详解】（1），解得
设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为
所以中位数满足等式，解得
故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.
（2）成绩在的频数为
成绩在的频数为
按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人
从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.
21．函数，其中，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若是三角形的内角，当时，求的集合.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据数量积公式，结合辅助角公式求得，再根据周期公式求解即可；
（2）由，根据三角形内角范围，可得或，从而可得答案.
【详解】（1）函数
，
，
所以的最小正周期为：.
（2），
因为是三角形的内角，
所以，
所以或，
即或，
所以的集合为.
22．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）先证明，结合，由线面垂直判定定理和定义证明，取中点G，由面面垂直性质定理证明平面，由此可得，最后利用线面垂直判定定理证明平面；
【详解】（1）为等边三角形，D为中点，
，
又，，，平面，
平面，
平面，
，
取中点G，连接，
为等边三角形，
，
平面平面，平面平面，平面.
平面，
，
与相交，，平面，
平面；
（2）以为坐标原点，，所在直线为x轴，y轴，过C且与平行的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
设，则
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
取，可得，
为平面的一个法向量，
取平面的一个法向量为，
则，
解得，此时，
在线段上存在点F使得平面与平面的夹角为，且.
23．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2），
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.