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人教版七年级上册1.2.4 绝对值同步测试题
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这是一份人教版七年级上册1.2.4 绝对值同步测试题，共35页。试卷主要包含了请解答下列各题，阅读下面材料，回答问题，阅读下面材料等内容，欢迎下载使用。
1．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示2和的两点之间的距离是________．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为________．
（3）若表示一个有理数，且，则________．
（4）若，利用数轴求出的整数值为________．
2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式的最小值是多少？
探究问题：如图，点A，B，P别表示的是－1，2，x，AB＝3．
的几何意义是线段PA与PB的长度之和．
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3，
的最小值是3．
（1）解决问题，的值是 ．
（2）的最小值是 ．
（3）当a为何值时，代数式的最小值是2．
3．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为_____；如果|AB|＝3，那么x为_____；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为_____时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____．
4．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
（2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
（3）已知|x＋1|＋|x﹣2|＝7时，x的取值是 ．
5．请解答下列各题：
（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为_______，如果，那么_______．
（2）若点表示的整数为，则当________时，．
（3）要使取最小值时，相应的的取值范围是________，最小值是________．
（4）已知，则的最大值为_______，最小值为_______．
（5）若，则的取值范围是_______．
6．阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，．
（2）当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，．
综上，数轴上、两点的距离，如数轴上表示4和的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下问题：
（1）若表示数和的两点之间的距离是5，那么______；
（2）若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______；
（3）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；
（4）若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．
（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】
（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
8．阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
9．我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x﹣y|，比如表示3的点与﹣2的点之间的距离表示为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5；|x+2|+|x﹣1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x﹣1|的最小值是3，且此时x的取值范围为﹣2≤x≤1，
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）|x+2|+|x﹣2|的最小值是 ；|x+1|+|x﹣2|＝7，x的值为 ．
（2）|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是 ；此时x的值为 ．
（3）当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围．
10．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
11．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．
12．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和，在数轴上为原点，、、三点所对应的数分别是、、．请回答以下问题．
（1）①______，______，______．
②若为的中点，则在数轴上点所对应的数是______．
（2）有一动点从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，到、、的距离和为14个单位？
（3）在（2）的条件下，当点移动到点时立即掉头，速度不变，同时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度5个单位/秒，点的速度6个单位/秒．若为的中点，且设点、、、所对应的数分别是、、、，点出发的时间为，当时，求的值．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距
离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。请结合数轴解决下列问题：
①当时，表示什么意思？_____________________________；
②若，则______________________；
③若，则的值是_____________________；
④求使的值最小的所有符合条件的整数.
14．大家知道、它在数轴上的意义是表示数的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离．
（1）在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是____．
（2）反过来，式子在数轴上的意义是 ．
（3）试用数轴探究：当时的值为 ．
（4）进一步探究：的最小值为 ，此时的取值范围为 ．
（5）最后发现，当的值最小时，的值为 ．
15．如图，在数轴A、B上两点对应的数分别为−40、20，数轴上一点P对应的数为x．
（1）若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为
（2）如图，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度．当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？
（3）结合对前面问题的思考，若，求的最大值和最小值．
16．阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点O时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A，B两点都不在原点时，分三种情况．
（1）如图2，点A，B都在原点右边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
（2）如图3，点A，B都在原点左边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|；
（3）如图4，点A，B在原点两边，则|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+(-b)=|a-b|．
综上所述，数轴上A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|．
根据材料回答下列问题：
（1）数轴上分别表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上分别表示1和-3的两点之间的距离是 ；
（2）点A，B在数轴上分别表示x和-3，求A，B两点之间的距离，如果|AB|=2，求x的值；
（3）当代数式|x+1|+|x-2|取最小值，即在数轴上，表示x的动点到表示-1和2的两个点之间的距离之和最小时，求这个最小值及对应的x的取值范围．
17．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
第一次月考难点特训（二）和绝对值的几何意义有关的压轴题
1．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示2和的两点之间的距离是________．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为________．
（3）若表示一个有理数，且，则________．
（4）若，利用数轴求出的整数值为________．
【答案】（1）3；5（2）；（3）6；（4），，，0，1，2，3，4，5
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；
（2）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；
（3）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案；
（4）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案．
【详解】
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示2和的两点之间的距离是．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为．
（3）若表示一个有理数，且，
则．
（4），
，
∵为整数，
∴，，，0，1，2，3，4，5．
【点睛】
本题考查了整式的加减，数轴，利用了两点间的距离公式，解题的关键是掌握线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离．
2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式的最小值是多少？
探究问题：如图，点A，B，P别表示的是－1，2，x，AB＝3．
的几何意义是线段PA与PB的长度之和．
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3，
的最小值是3．
（1）解决问题，的值是 ．
（2）的最小值是 ．
（3）当a为何值时，代数式的最小值是2．
【答案】（1）8；（2）6；（3）a＝－1或－5
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义即可求解．
（2）原式变形−2和4距离x最小值为4−（−2）＝6；
（3）根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】
（1）．
（2）|x−4|＋|x＋2|＝|x−4|＋|x−（−2）|，表示P到A与到B的距离之和，
点P在线段AB上，PA＋PB＝6，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞6，
∴|x−4|＋|x＋2|的最小值是6；
（3）表示数轴上x与－a和3的距离和，
由（2）知最小值为，
或，
故a＝－1或－5．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是解本题的关键．
3．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为_____；如果|AB|＝3，那么x为_____；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为_____时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____．
【答案】（1）﹣2.5
（2）1
（3）
（4）-4
（5）2
（6）-1
（7）﹣5≤x≤2
【解析】
【分析】
（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【详解】
（1）B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的距离是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为﹣2.5，1；，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
【点睛】
此题主要考查利用数轴探究绝对值，熟练运用，即可解题.
4．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
（2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
（3）已知|x＋1|＋|x﹣2|＝7时，x的取值是 ．
【答案】（1）①|x＋1|；②﹣3或1；（2）3，﹣1≤x≤2；（3）﹣3或4
【解析】
【分析】
（1）①根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．即可解答；
②使①中的式子等于2，解出即可；
（2）求|x＋1|＋|x﹣2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤2时，|x＋1|＋|x﹣2|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值；
（3）分两种情况讨论可求x的取值．
【详解】
解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x＋1|；
②依题意有|x＋1|＝2，
x＋1＝﹣2或x＋1＝2，
解得：x＝﹣3或x＝1．
故x值为﹣3或1．
（2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；
（3）当x在﹣1的左边时，﹣1﹣（7﹣3）÷2＝﹣3，
当x在2的左边时，2＋（7﹣3）÷2＝4．
综上所述，x的取值是﹣3或4．
故答案为：|x＋1|；﹣3或1；3，﹣1≤x≤2；﹣3或4．
【点睛】
考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A−B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（2）（3）这两道难题．
5．请解答下列各题：
（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为_______，如果，那么_______．
（2）若点表示的整数为，则当________时，．
（3）要使取最小值时，相应的的取值范围是________，最小值是________．
（4）已知，则的最大值为_______，最小值为_______．
（5）若，则的取值范围是_______．
【答案】（1）3或-7；（2）-1；（3）-3≤x≤2，5；（4）5，-4；（5）x≤-或x＞．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|，求出数轴上表示x和-2的两点A和B之间的距离是|x+2|，然后根据|AB|=5，可得|x+2|=5，据此求出x的值是多少即可；
（2）根据绝对值的意义得：x+4=x-2或x+4=2-x，分别解方程即可；
（3）根据绝对值的意义即可得到结论；
（4）因为|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-2|=6，又因为|x+2|+|x-1|的最小值为3，|y-2|+|y+1|的最小值为3，所以-2≤x≤1，-1≤y≤2，由此不难得到答案；
（5）根据绝对值的意义得：|x-|-|x+|=2或|x-|-|x+|=-2，再分两种情况计算可得结论．
【详解】
（1）|AB|=|x+2|，
∴|x+2|=5，
则x+2=±5，
x=3或-7；
故答案为：3或-7；
（2）∵|x+4|=|x-2|，
∴x+4=x-2或x+4=2-x，
x=-1，
故答案为：-1；
（3）根据绝对值的定义，|x+2|+|x-3|可表示为x到-2与3两点距离的和，
所以当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|的值即为2与-3两点间的距离，此时最小，最小值为|2-（-3）|=5，
故答案为：-3≤x≤2，5；
（4）∵|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-2|=6，
又∵|x+2|+|x-1|的最小值为3，|y-2|+|y+1|的最小值为3，
∴-2≤x≤1，-1≤y≤2，
∴代数式x+2y的最大值是5，最小值是-4．
故答案为：5，-4．
（5）||2x-1|-|2x+3||=4，两边都除以2得：
||x-|-|x+||=2，
∴|x-|-|x+|=2或|x-|-|x+|=-2，
|x-|表示数轴上数x的点到的点之间的距离，
|x+|表示数轴上表示数x的点到表示数-点之间的距离，
①若|x-|-|x+|=2，
当x≤-时， -x+x+=2，符合题意，
当-＜x≤时， -x-x-=2，x=-，不符合题意，
当x＞时，x--x-=-2，不符合题意；
②若|x-|-|x+|=-2，
当x≤-时， -x+x+=2，不符合题意，
当-＜x≤时， -x-x-=2，x=-，不符合题意，
当x＞时，x--x-=-2，符合题意；
综上，x的取值范围是：x≤-或x＞，
故答案为：x≤-或x＞．
【点睛】
此题考查数轴、绝对值，解题的关键是理解绝对值的几何意义，学会用方程的思想思考问题．
6．阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，．
（2）当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，．
综上，数轴上、两点的距离，如数轴上表示4和的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下问题：
（1）若表示数和的两点之间的距离是5，那么______；
（2）若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______；
（3）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；
（4）若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．
【答案】（1）2或﹣8；（2）9；（3）x＞2或x＜﹣4；（4）最大值为6，最小值为﹣5
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可；
（2）根据题意得出a+1＞0，a﹣8＜0，再化简绝对值即可；
（3）根据题意，分x≥2、﹣4≤x＜2、x＜﹣4三种情况进行讨论求解即可；
（4）分别求出和的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解．
【详解】
解：（1）由题意，∣a﹣（﹣3）∣=5，
∴a+3=5或a+3=﹣5，
解得：a=2，a=﹣8，
故答案为：2或﹣8；
（2）∵数轴上表示数的点位于与8之间，
∴a+1＞0，a﹣8＜0，
∴=（a+1）﹣（a﹣8）=9，
故答案为：9；
（3）由题意，分三种情况：
当x≥2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离∣﹣4﹣2∣=6，
当﹣4≤x＜2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和等于﹣4与2的距离6，舍去；
当x＜﹣4时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离6，
综上，有理数的取值范围为x＞2或x＜﹣4；
（4）根据题意，
对于代数式，数轴上，当x在﹣3和4之间时，表示x的点到﹣3与4的距离和最小，最小值为∣﹣3﹣4∣=7，
同理，对于，数轴上，当y在﹣2和2之间时，x到﹣2和2的距离和最小，最小值为∣﹣2﹣2∣=4，
又，
∴﹣3≤x≤4，﹣2≤y≤2，
∴x+y的最大值为4+2=6，最小值为﹣3+（﹣2）=﹣5．
【点睛】
本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．
（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】
（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
【答案】探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）4
【解析】
【分析】
探索：（1）数轴上两数之间的距离计算用大数减去小数即可；
（2）①根据材料判断式子的意义，然后得到x的值；
②根据距离可直接得到x的取值，求和即可；
动手折一折：（3）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（4）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（5）根据式子的实际意义可知，当x=2时式子有最小值．
【详解】
解：探索：（1）4-（-2）=6；
（2）①由材料可知中x表示数轴上到-1的距离是3的数
∴x=-4或2；
②由题可知x所表示的数可为-2，-1，0，1，2，3
∴-2-1+0+1+2+3=3
【动手折一折】（3）由题可知折叠是点是原点
∴3表示的点与-3表示的点重合
（4）①由题可知折叠点是-1
∴10表示的点和-12表示的点重合
②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020
∴A，B（A在B的左侧）两点到-1的距离均为1010
∴A表示的数=-1010-1=-1011，B表示的数=1010-1=1009；
③由题意有：-1-a=b+1即b+a=-2
【拓展延伸】
（5）根据材料可知表示数轴上一数x到-1和2和3的距离和，当x=2时，式子有最小值，最小值为4
故答案为：探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）4
【点睛】
本题主要考查绝对值实际意义，结合数轴，判断式子的实际意义是解题的关键．
8．阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
【答案】（1）；（2）；或；（3），，，；（4）；
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据两点间的距离及绝对值的性质，可得答案；
（3）根据数轴上的几何意义，可得当−1≤x≤2时，它的最小值为3，从而得出符合条件的整数；
（4）根据数轴上的几何意义，可得当x=2时，y有最小值．
【详解】
解：（1）|1−（−3）|＝4；|（−2）-（-5）|＝3；
故答案为：4；3；
（2）|x−（−1）|＝|x＋1|或|（−1）−x|＝|x＋1|；
若，得
x＋1＝2或x＋1＝−2，
解得x＝1或x＝−3；
故答案为：|x＋1|；或；
（3）当x＜−1时，＝−x-1+2-x＝−2x+1，
当−1≤x≤2时，＝x＋1+2-x＝3，
当x＞2时，＝x+1＋x-2＝2x-1，
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2的距离之和，所以当−1≤x≤2时，它的最小值为3．故当取最小值时，符合条件的整数有，，，；
故答案为：，，，；
（4）在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2和到3的距离之和，所以当x=2时，y有最小值为4．
故答案为： ；
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
9．我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x﹣y|，比如表示3的点与﹣2的点之间的距离表示为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5；|x+2|+|x﹣1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x﹣1|的最小值是3，且此时x的取值范围为﹣2≤x≤1，
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）|x+2|+|x﹣2|的最小值是 ；|x+1|+|x﹣2|＝7，x的值为 ．
（2）|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是 ；此时x的值为 ．
（3）当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围．
【答案】（1）4；﹣3或4；（2）3；0；（3）a＝1.5且0≤x≤1.5或a＝﹣1.5且﹣1≤x≤0．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的几何意义，得出的最小值，根据绝对值的几何意义，分类讨论，解方程即可求解；
（2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值；
（3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当且或且时，的最小值是4.5．
【详解】
（1）根据绝对值的几何意义可得，当﹣2≤x≤2时，|x+2|+|x﹣2|的最小值是4；
当x＜﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2＝7，解得x＝﹣3，
当﹣1≤x＜2时，x+1+2﹣x＝7，方程无解，
当x≥2时，x+1+x﹣2＝7，解得x＝4，
∴x的值为﹣3或4，
故答案为：4，﹣3或4；
（2）根据绝对值的几何意义可得，当x＝0时，|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是3，
故答案为：3，x＝0；
（3）由图可得，只有当a＝1.5且0≤x≤1.5或a＝﹣1.5且﹣1≤x≤0时，|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5，
∴当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，a＝1.5且0≤x≤1.5或a＝﹣1.5且﹣1≤x≤0．
【点睛】
本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数的距离，的绝对值表示为．解题时注意分类思想的运用．
10．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
【答案】（1），，或（2）①②或
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上、两点之间的距离，代入数值运用绝对值可求数轴上任意两点间的距离；由可列出关于的方程，解方程即可得解；
（2）点在点、两点之间时，即为、两点之间的距离；由动点的位置不同分情况进行讨论求解．
【详解】
解：（1）由阅读材料可知：
①数轴上有理数与对应的两点之间的距离为
②数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为
③∵
∴
∴，
∴或；
（2）①∵点、、是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为点，动点表示的数为，点在点、两点之间
∴；
②∵
∴
I．当点在点左侧时，如图：
∴
∴
II．当点在点、之间时，如图：
∴
∴
III．当点在点右侧时
∴
∴（不合题意舍去）
∴综上所述，或．
故答案是：（1），，或（2）①②或
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值的概念的应用，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
11．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．
【答案】（1）x=5或-5 ；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；
（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；
（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．
试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，
∴方程|x|=5的解为x=±5；
（2）∵在方程|x-2|=3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，
∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；
（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，
∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边．
若x的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；
若x的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，
所以原方程的解是x=5或x=-4．
点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．
12．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和，在数轴上为原点，、、三点所对应的数分别是、、．请回答以下问题．
（1）①______，______，______．
②若为的中点，则在数轴上点所对应的数是______．
（2）有一动点从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，到、、的距离和为14个单位？
（3）在（2）的条件下，当点移动到点时立即掉头，速度不变，同时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度5个单位/秒，点的速度6个单位/秒．若为的中点，且设点、、、所对应的数分别是、、、，点出发的时间为，当时，求的值．
【答案】（1）①8，4，；②；（2）1秒或秒；（3）12．
【解析】
【分析】
（1）①根据多项式的次数和系数定义即可得；
②根据数轴的定义即可得；
（2）先根据数轴的定义求出点P表示的数，从而可得出PA、PB、PC的值，再解绝对值方程即可得；
（3）先根据数轴的定义分别求出、、、的值，再代入化简绝对值即可得．
【详解】
（1）①∵多项式是二次多项式，
∴，解得，
∵多项式二次项系数和一次项系数分别为和，
∴，，
综上，，，，
故答案为：8，4，；
②点是的中点，
∴点所对应的数是，
故答案为：；
（2）设秒后，点到、、的距离和为14个单位，
由题意得：点表示的数为，
∵，，，
∴，，
，
，
∴，
根据绝对值的性质，分以下三种情况：
①当，即时，
则，
解得，符合题设；
②当，即时，
则，
解得，符合题设；
③当，即时，
则，
解得，不符题设，舍去；
综上，1秒或秒时，到、、的距离和为14；
（3）由题意得：，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了多项式的次数和系数、绝对值方程、一元一次方程的几何应用、数轴动点问题等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距
离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。请结合数轴解决下列问题：
①当时，表示什么意思？_____________________________；
②若，则______________________；
③若，则的值是_____________________；
④求使的值最小的所有符合条件的整数.
【答案】①表示数5的点到表示数3的点的距离；②8或；③或3；④．
【解析】
【分析】
①根据数轴的定义即可得；
②解绝对值方程即可得；
③分、和三种情况，结合数轴，分别化简绝对值，然后解方程即可得；
④参考③，分、和三种情况，再分别化简绝对值求出的最小值，然后找出符合条件的整数即可得．
【详解】
①当时，表示的意思是：表示数5的点到表示数3的点的距离，
故答案为：表示数5的点到表示数3的点的距离；
②，
或，
解得或，
故答案为：8或；
③由题意，分以下三种情况：
（ⅰ）当时，，
则，解得；
（ⅱ）当时，，
则无解；
（ⅲ）当时，，
则，解得；
综上，的值是或3，
故答案为：或3；
④由题意，分以下三种情况：
（ⅰ）当时，，
（ⅱ）当时，，
（ⅲ）当时，，
综上，在内，取得最小值，最小值为5，
则所有符合条件的整数为．
【点睛】
本题考查了绝对值方程、数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的定义和数学结合思想是解题关键．
14．大家知道、它在数轴上的意义是表示数的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离．
（1）在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是____．
（2）反过来，式子在数轴上的意义是 ．
（3）试用数轴探究：当时的值为 ．
（4）进一步探究：的最小值为 ，此时的取值范围为 ．
（5）最后发现，当的值最小时，的值为 ．
【答案】（1）；（2）表示的点与表示的点之间的距离；（3）或；（4）10；；（5）．
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的条件，写出绝对值形式即可；
（2）将原式改写为，因此表示a和-5之间的距离；
（3）到2距离为3的点有两种情况，在2的左侧和右侧，分两种情况求解即可；
（4）原式表示m到-1的距离与m到9的距离之和，根据数轴，可以判断当m在-1和9之间时，这个距离和最小；
（5）根据（4）问结果，原式表示m到-1的距离、m到9的距离与m到16的距离三者之和，当m在-1和16之间且和9重合时距离最小．
【详解】
（）由题意可得：在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是，
故答案为；
（）根据题意可知：式子在数轴上的意义是，表示的点与表示的点之间的距离，
故答案为表示的点与表示的点之间的距离；
（）由可知数轴上表示数m的点与表示数2的点之间的距离是3，所以m=5或m=-1，
故答案为，；
（）根据题意可知：式子表示，数轴上表示数m点与表示数-1的点之间的距离，与表示数m的点与表示数9的点之间的距离的和，
观察可知只有当表示数m的点在-1和9之间时，这个距离的和是最小的，为10
∴此时m的取值范围为
故答案为8；
（）根据（4）以及观察数轴可知，原式表示m到-1的距离、m到9的距离与m到16的距离三者之和
只有当m=9时，的值最小，
故答案为9．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是要弄清题意，有空间思维能力以及想象力．
15．如图，在数轴A、B上两点对应的数分别为−40、20，数轴上一点P对应的数为x．
（1）若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为
（2）如图，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度．当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？
（3）结合对前面问题的思考，若，求的最大值和最小值．
【答案】（1）60；（2）或5；（3）最大值为2，最小值为-14．
【解析】
【分析】
（1）用B点表示的数减去A点表示的数即可求解；
（2）根据题意Q点表示的数为，分为四种情况讨论：①在点左边、②都在点中间、③在中间，在点右边、④都在点右边，列出方程求解即可；
（3）根据绝对值的意义和前两问的结果得到，，结合题意得到，根据数轴解该方程即可，然后分类讨论即可求解．
【详解】
（1）
∴距离为60个单位长度；
（2）①若在点左边，则点与点的距离为，点与点的距离为，得，
②若都在点中间，此时距离和为，不符合题意；
③若在中间，在点右边，则点与点的距离为，点与点的距离为，
，得，
④若都在点右边，此时仅点与点的距离，不符合题意；
综上所述，当或5时，满足题意．
（3）由前面可知，，，
∴，
∵已知，
∴，
∴，，
当，时，有最大值：2-0=2，
当，时，有最小值：，
综上所述，的最大值为2，最小值为-14．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，绝对值方程，一元一次方程，题目综合性较强，重点是分类讨论，不要漏掉某一种情况．
16．阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点O时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A，B两点都不在原点时，分三种情况．
（1）如图2，点A，B都在原点右边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
（2）如图3，点A，B都在原点左边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|；
（3）如图4，点A，B在原点两边，则|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+(-b)=|a-b|．
综上所述，数轴上A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|．
根据材料回答下列问题：
（1）数轴上分别表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上分别表示1和-3的两点之间的距离是 ；
（2）点A，B在数轴上分别表示x和-3，求A，B两点之间的距离，如果|AB|=2，求x的值；
（3）当代数式|x+1|+|x-2|取最小值，即在数轴上，表示x的动点到表示-1和2的两个点之间的距离之和最小时，求这个最小值及对应的x的取值范围．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）由阅读信息得到数轴上两点间的距离公式，，直接利用距离公式计算即可得到答案；
（2）由数轴上两点间的距离公式可得A，B两点之间的距离为，化简即可得到答案，再利用 列绝对值方程，解方程可得答案；
（3）分三种情况讨论：当＜时，当时，当＞时，分别画出符合题意的图形，利用两点间的距离公式与线段的和差关系可得答案．
【详解】
解：（1）
故答案为：
（2）A，B两点之间的距离为：
当 则
或
或
（3）如图，当＜时，
＞
当时，
当＞时，
＞
综上：代数式|x+1|+|x-2|取最小值为，的取值范围是
【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，一元一次方程的解法，线段的和差，掌握利用数轴解决数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
17．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a<6
【解析】
【分析】
（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可；
（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集；
（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答．
【详解】
解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5，
∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5；
（2）在数轴上找出|x-2|=1的解．
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3，
∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3．
（3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．
∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边．
若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3，
∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3，
∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3．
（4）原问题转化为：a小于|x+2|+|x-4|最大值．
当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2，
当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6，
当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2，
即|x+2|+|x-4|的最小值为6．
故a<6．
【点睛】
本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．
1．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示2和的两点之间的距离是________．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为________．
（3）若表示一个有理数，且，则________．
（4）若，利用数轴求出的整数值为________．
2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式的最小值是多少？
探究问题：如图，点A，B，P别表示的是－1，2，x，AB＝3．
的几何意义是线段PA与PB的长度之和．
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3，
的最小值是3．
（1）解决问题，的值是 ．
（2）的最小值是 ．
（3）当a为何值时，代数式的最小值是2．
3．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为_____；如果|AB|＝3，那么x为_____；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为_____时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____．
4．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
（2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
（3）已知|x＋1|＋|x﹣2|＝7时，x的取值是 ．
5．请解答下列各题：
（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为_______，如果，那么_______．
（2）若点表示的整数为，则当________时，．
（3）要使取最小值时，相应的的取值范围是________，最小值是________．
（4）已知，则的最大值为_______，最小值为_______．
（5）若，则的取值范围是_______．
6．阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，．
（2）当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，．
综上，数轴上、两点的距离，如数轴上表示4和的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下问题：
（1）若表示数和的两点之间的距离是5，那么______；
（2）若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______；
（3）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；
（4）若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．
（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】
（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
8．阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
9．我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x﹣y|，比如表示3的点与﹣2的点之间的距离表示为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5；|x+2|+|x﹣1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x﹣1|的最小值是3，且此时x的取值范围为﹣2≤x≤1，
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）|x+2|+|x﹣2|的最小值是 ；|x+1|+|x﹣2|＝7，x的值为 ．
（2）|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是 ；此时x的值为 ．
（3）当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围．
10．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
11．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．
12．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和，在数轴上为原点，、、三点所对应的数分别是、、．请回答以下问题．
（1）①______，______，______．
②若为的中点，则在数轴上点所对应的数是______．
（2）有一动点从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，到、、的距离和为14个单位？
（3）在（2）的条件下，当点移动到点时立即掉头，速度不变，同时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度5个单位/秒，点的速度6个单位/秒．若为的中点，且设点、、、所对应的数分别是、、、，点出发的时间为，当时，求的值．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距
离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。请结合数轴解决下列问题：
①当时，表示什么意思？_____________________________；
②若，则______________________；
③若，则的值是_____________________；
④求使的值最小的所有符合条件的整数.
14．大家知道、它在数轴上的意义是表示数的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离．
（1）在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是____．
（2）反过来，式子在数轴上的意义是 ．
（3）试用数轴探究：当时的值为 ．
（4）进一步探究：的最小值为 ，此时的取值范围为 ．
（5）最后发现，当的值最小时，的值为 ．
15．如图，在数轴A、B上两点对应的数分别为−40、20，数轴上一点P对应的数为x．
（1）若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为
（2）如图，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度．当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？
（3）结合对前面问题的思考，若，求的最大值和最小值．
16．阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点O时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A，B两点都不在原点时，分三种情况．
（1）如图2，点A，B都在原点右边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
（2）如图3，点A，B都在原点左边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|；
（3）如图4，点A，B在原点两边，则|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+(-b)=|a-b|．
综上所述，数轴上A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|．
根据材料回答下列问题：
（1）数轴上分别表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上分别表示1和-3的两点之间的距离是 ；
（2）点A，B在数轴上分别表示x和-3，求A，B两点之间的距离，如果|AB|=2，求x的值；
（3）当代数式|x+1|+|x-2|取最小值，即在数轴上，表示x的动点到表示-1和2的两个点之间的距离之和最小时，求这个最小值及对应的x的取值范围．
17．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
第一次月考难点特训（二）和绝对值的几何意义有关的压轴题
1．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示2和的两点之间的距离是________．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为________．
（3）若表示一个有理数，且，则________．
（4）若，利用数轴求出的整数值为________．
【答案】（1）3；5（2）；（3）6；（4），，，0，1，2，3，4，5
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；
（2）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；
（3）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案；
（4）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，可得答案．
【详解】
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示2和的两点之间的距离是．
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为．
（3）若表示一个有理数，且，
则．
（4），
，
∵为整数，
∴，，，0，1，2，3，4，5．
【点睛】
本题考查了整式的加减，数轴，利用了两点间的距离公式，解题的关键是掌握线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离．
2．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式的最小值是多少？
探究问题：如图，点A，B，P别表示的是－1，2，x，AB＝3．
的几何意义是线段PA与PB的长度之和．
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3，
的最小值是3．
（1）解决问题，的值是 ．
（2）的最小值是 ．
（3）当a为何值时，代数式的最小值是2．
【答案】（1）8；（2）6；（3）a＝－1或－5
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义即可求解．
（2）原式变形−2和4距离x最小值为4−（−2）＝6；
（3）根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】
（1）．
（2）|x−4|＋|x＋2|＝|x−4|＋|x−（−2）|，表示P到A与到B的距离之和，
点P在线段AB上，PA＋PB＝6，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞6，
∴|x−4|＋|x＋2|的最小值是6；
（3）表示数轴上x与－a和3的距离和，
由（2）知最小值为，
或，
故a＝－1或－5．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是解本题的关键．
3．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为_____；如果|AB|＝3，那么x为_____；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为_____时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____．
【答案】（1）﹣2.5
（2）1
（3）
（4）-4
（5）2
（6）-1
（7）﹣5≤x≤2
【解析】
【分析】
（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【详解】
（1）B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的距离是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为﹣2.5，1；，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
【点睛】
此题主要考查利用数轴探究绝对值，熟练运用，即可解题.
4．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
（2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
（3）已知|x＋1|＋|x﹣2|＝7时，x的取值是 ．
【答案】（1）①|x＋1|；②﹣3或1；（2）3，﹣1≤x≤2；（3）﹣3或4
【解析】
【分析】
（1）①根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．即可解答；
②使①中的式子等于2，解出即可；
（2）求|x＋1|＋|x﹣2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤2时，|x＋1|＋|x﹣2|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值；
（3）分两种情况讨论可求x的取值．
【详解】
解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x＋1|；
②依题意有|x＋1|＝2，
x＋1＝﹣2或x＋1＝2，
解得：x＝﹣3或x＝1．
故x值为﹣3或1．
（2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；
（3）当x在﹣1的左边时，﹣1﹣（7﹣3）÷2＝﹣3，
当x在2的左边时，2＋（7﹣3）÷2＝4．
综上所述，x的取值是﹣3或4．
故答案为：|x＋1|；﹣3或1；3，﹣1≤x≤2；﹣3或4．
【点睛】
考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A−B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（2）（3）这两道难题．
5．请解答下列各题：
（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为_______，如果，那么_______．
（2）若点表示的整数为，则当________时，．
（3）要使取最小值时，相应的的取值范围是________，最小值是________．
（4）已知，则的最大值为_______，最小值为_______．
（5）若，则的取值范围是_______．
【答案】（1）3或-7；（2）-1；（3）-3≤x≤2，5；（4）5，-4；（5）x≤-或x＞．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|，求出数轴上表示x和-2的两点A和B之间的距离是|x+2|，然后根据|AB|=5，可得|x+2|=5，据此求出x的值是多少即可；
（2）根据绝对值的意义得：x+4=x-2或x+4=2-x，分别解方程即可；
（3）根据绝对值的意义即可得到结论；
（4）因为|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-2|=6，又因为|x+2|+|x-1|的最小值为3，|y-2|+|y+1|的最小值为3，所以-2≤x≤1，-1≤y≤2，由此不难得到答案；
（5）根据绝对值的意义得：|x-|-|x+|=2或|x-|-|x+|=-2，再分两种情况计算可得结论．
【详解】
（1）|AB|=|x+2|，
∴|x+2|=5，
则x+2=±5，
x=3或-7；
故答案为：3或-7；
（2）∵|x+4|=|x-2|，
∴x+4=x-2或x+4=2-x，
x=-1，
故答案为：-1；
（3）根据绝对值的定义，|x+2|+|x-3|可表示为x到-2与3两点距离的和，
所以当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|的值即为2与-3两点间的距离，此时最小，最小值为|2-（-3）|=5，
故答案为：-3≤x≤2，5；
（4）∵|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-2|=6，
又∵|x+2|+|x-1|的最小值为3，|y-2|+|y+1|的最小值为3，
∴-2≤x≤1，-1≤y≤2，
∴代数式x+2y的最大值是5，最小值是-4．
故答案为：5，-4．
（5）||2x-1|-|2x+3||=4，两边都除以2得：
||x-|-|x+||=2，
∴|x-|-|x+|=2或|x-|-|x+|=-2，
|x-|表示数轴上数x的点到的点之间的距离，
|x+|表示数轴上表示数x的点到表示数-点之间的距离，
①若|x-|-|x+|=2，
当x≤-时， -x+x+=2，符合题意，
当-＜x≤时， -x-x-=2，x=-，不符合题意，
当x＞时，x--x-=-2，不符合题意；
②若|x-|-|x+|=-2，
当x≤-时， -x+x+=2，不符合题意，
当-＜x≤时， -x-x-=2，x=-，不符合题意，
当x＞时，x--x-=-2，符合题意；
综上，x的取值范围是：x≤-或x＞，
故答案为：x≤-或x＞．
【点睛】
此题考查数轴、绝对值，解题的关键是理解绝对值的几何意义，学会用方程的思想思考问题．
6．阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
（1）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，．
（2）当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，．
综上，数轴上、两点的距离，如数轴上表示4和的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下问题：
（1）若表示数和的两点之间的距离是5，那么______；
（2）若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______；
（3）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；
（4）若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．
【答案】（1）2或﹣8；（2）9；（3）x＞2或x＜﹣4；（4）最大值为6，最小值为﹣5
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可；
（2）根据题意得出a+1＞0，a﹣8＜0，再化简绝对值即可；
（3）根据题意，分x≥2、﹣4≤x＜2、x＜﹣4三种情况进行讨论求解即可；
（4）分别求出和的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解．
【详解】
解：（1）由题意，∣a﹣（﹣3）∣=5，
∴a+3=5或a+3=﹣5，
解得：a=2，a=﹣8，
故答案为：2或﹣8；
（2）∵数轴上表示数的点位于与8之间，
∴a+1＞0，a﹣8＜0，
∴=（a+1）﹣（a﹣8）=9，
故答案为：9；
（3）由题意，分三种情况：
当x≥2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离∣﹣4﹣2∣=6，
当﹣4≤x＜2时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和等于﹣4与2的距离6，舍去；
当x＜﹣4时，则数轴上，表示x的点到﹣4与2的距离之和大于﹣4与2的距离6，
综上，有理数的取值范围为x＞2或x＜﹣4；
（4）根据题意，
对于代数式，数轴上，当x在﹣3和4之间时，表示x的点到﹣3与4的距离和最小，最小值为∣﹣3﹣4∣=7，
同理，对于，数轴上，当y在﹣2和2之间时，x到﹣2和2的距离和最小，最小值为∣﹣2﹣2∣=4，
又，
∴﹣3≤x≤4，﹣2≤y≤2，
∴x+y的最大值为4+2=6，最小值为﹣3+（﹣2）=﹣5．
【点睛】
本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______．
（2）①若，则______；
②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____．
【动手折一折】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，
①则10表示的点和_____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____．
【拓展延伸】
（5）当____时，有最小值，最小值是_____．
【答案】探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）4
【解析】
【分析】
探索：（1）数轴上两数之间的距离计算用大数减去小数即可；
（2）①根据材料判断式子的意义，然后得到x的值；
②根据距离可直接得到x的取值，求和即可；
动手折一折：（3）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（4）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可；
（5）根据式子的实际意义可知，当x=2时式子有最小值．
【详解】
解：探索：（1）4-（-2）=6；
（2）①由材料可知中x表示数轴上到-1的距离是3的数
∴x=-4或2；
②由题可知x所表示的数可为-2，-1，0，1，2，3
∴-2-1+0+1+2+3=3
【动手折一折】（3）由题可知折叠是点是原点
∴3表示的点与-3表示的点重合
（4）①由题可知折叠点是-1
∴10表示的点和-12表示的点重合
②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020
∴A，B（A在B的左侧）两点到-1的距离均为1010
∴A表示的数=-1010-1=-1011，B表示的数=1010-1=1009；
③由题意有：-1-a=b+1即b+a=-2
【拓展延伸】
（5）根据材料可知表示数轴上一数x到-1和2和3的距离和，当x=2时，式子有最小值，最小值为4
故答案为：探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）4
【点睛】
本题主要考查绝对值实际意义，结合数轴，判断式子的实际意义是解题的关键．
8．阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ．
（3）当取最小值时，符合条件的整数有 ．
（4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解．
【答案】（1）；（2）；或；（3），，，；（4）；
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据两点间的距离及绝对值的性质，可得答案；
（3）根据数轴上的几何意义，可得当−1≤x≤2时，它的最小值为3，从而得出符合条件的整数；
（4）根据数轴上的几何意义，可得当x=2时，y有最小值．
【详解】
解：（1）|1−（−3）|＝4；|（−2）-（-5）|＝3；
故答案为：4；3；
（2）|x−（−1）|＝|x＋1|或|（−1）−x|＝|x＋1|；
若，得
x＋1＝2或x＋1＝−2，
解得x＝1或x＝−3；
故答案为：|x＋1|；或；
（3）当x＜−1时，＝−x-1+2-x＝−2x+1，
当−1≤x≤2时，＝x＋1+2-x＝3，
当x＞2时，＝x+1＋x-2＝2x-1，
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2的距离之和，所以当−1≤x≤2时，它的最小值为3．故当取最小值时，符合条件的整数有，，，；
故答案为：，，，；
（4）在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2和到3的距离之和，所以当x=2时，y有最小值为4．
故答案为： ；
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
9．我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x﹣y|，比如表示3的点与﹣2的点之间的距离表示为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5；|x+2|+|x﹣1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x﹣1|的最小值是3，且此时x的取值范围为﹣2≤x≤1，
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）|x+2|+|x﹣2|的最小值是 ；|x+1|+|x﹣2|＝7，x的值为 ．
（2）|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是 ；此时x的值为 ．
（3）当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围．
【答案】（1）4；﹣3或4；（2）3；0；（3）a＝1.5且0≤x≤1.5或a＝﹣1.5且﹣1≤x≤0．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的几何意义，得出的最小值，根据绝对值的几何意义，分类讨论，解方程即可求解；
（2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值；
（3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当且或且时，的最小值是4.5．
【详解】
（1）根据绝对值的几何意义可得，当﹣2≤x≤2时，|x+2|+|x﹣2|的最小值是4；
当x＜﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2＝7，解得x＝﹣3，
当﹣1≤x＜2时，x+1+2﹣x＝7，方程无解，
当x≥2时，x+1+x﹣2＝7，解得x＝4，
∴x的值为﹣3或4，
故答案为：4，﹣3或4；
（2）根据绝对值的几何意义可得，当x＝0时，|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是3，
故答案为：3，x＝0；
（3）由图可得，只有当a＝1.5且0≤x≤1.5或a＝﹣1.5且﹣1≤x≤0时，|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5，
∴当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，a＝1.5且0≤x≤1.5或a＝﹣1.5且﹣1≤x≤0．
【点睛】
本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数的距离，的绝对值表示为．解题时注意分类思想的运用．
10．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
【答案】（1），，或（2）①②或
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上、两点之间的距离，代入数值运用绝对值可求数轴上任意两点间的距离；由可列出关于的方程，解方程即可得解；
（2）点在点、两点之间时，即为、两点之间的距离；由动点的位置不同分情况进行讨论求解．
【详解】
解：（1）由阅读材料可知：
①数轴上有理数与对应的两点之间的距离为
②数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为
③∵
∴
∴，
∴或；
（2）①∵点、、是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为点，动点表示的数为，点在点、两点之间
∴；
②∵
∴
I．当点在点左侧时，如图：
∴
∴
II．当点在点、之间时，如图：
∴
∴
III．当点在点右侧时
∴
∴（不合题意舍去）
∴综上所述，或．
故答案是：（1），，或（2）①②或
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值的概念的应用，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
11．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．
【答案】（1）x=5或-5 ；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；
（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；
（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．
试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，
∴方程|x|=5的解为x=±5；
（2）∵在方程|x-2|=3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，
∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；
（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，
∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边．
若x的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；
若x的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，
所以原方程的解是x=5或x=-4．
点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．
12．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和，在数轴上为原点，、、三点所对应的数分别是、、．请回答以下问题．
（1）①______，______，______．
②若为的中点，则在数轴上点所对应的数是______．
（2）有一动点从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，到、、的距离和为14个单位？
（3）在（2）的条件下，当点移动到点时立即掉头，速度不变，同时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度5个单位/秒，点的速度6个单位/秒．若为的中点，且设点、、、所对应的数分别是、、、，点出发的时间为，当时，求的值．
【答案】（1）①8，4，；②；（2）1秒或秒；（3）12．
【解析】
【分析】
（1）①根据多项式的次数和系数定义即可得；
②根据数轴的定义即可得；
（2）先根据数轴的定义求出点P表示的数，从而可得出PA、PB、PC的值，再解绝对值方程即可得；
（3）先根据数轴的定义分别求出、、、的值，再代入化简绝对值即可得．
【详解】
（1）①∵多项式是二次多项式，
∴，解得，
∵多项式二次项系数和一次项系数分别为和，
∴，，
综上，，，，
故答案为：8，4，；
②点是的中点，
∴点所对应的数是，
故答案为：；
（2）设秒后，点到、、的距离和为14个单位，
由题意得：点表示的数为，
∵，，，
∴，，
，
，
∴，
根据绝对值的性质，分以下三种情况：
①当，即时，
则，
解得，符合题设；
②当，即时，
则，
解得，符合题设；
③当，即时，
则，
解得，不符题设，舍去；
综上，1秒或秒时，到、、的距离和为14；
（3）由题意得：，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了多项式的次数和系数、绝对值方程、一元一次方程的几何应用、数轴动点问题等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距
离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。请结合数轴解决下列问题：
①当时，表示什么意思？_____________________________；
②若，则______________________；
③若，则的值是_____________________；
④求使的值最小的所有符合条件的整数.
【答案】①表示数5的点到表示数3的点的距离；②8或；③或3；④．
【解析】
【分析】
①根据数轴的定义即可得；
②解绝对值方程即可得；
③分、和三种情况，结合数轴，分别化简绝对值，然后解方程即可得；
④参考③，分、和三种情况，再分别化简绝对值求出的最小值，然后找出符合条件的整数即可得．
【详解】
①当时，表示的意思是：表示数5的点到表示数3的点的距离，
故答案为：表示数5的点到表示数3的点的距离；
②，
或，
解得或，
故答案为：8或；
③由题意，分以下三种情况：
（ⅰ）当时，，
则，解得；
（ⅱ）当时，，
则无解；
（ⅲ）当时，，
则，解得；
综上，的值是或3，
故答案为：或3；
④由题意，分以下三种情况：
（ⅰ）当时，，
（ⅱ）当时，，
（ⅲ）当时，，
综上，在内，取得最小值，最小值为5，
则所有符合条件的整数为．
【点睛】
本题考查了绝对值方程、数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的定义和数学结合思想是解题关键．
14．大家知道、它在数轴上的意义是表示数的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离．
（1）在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是____．
（2）反过来，式子在数轴上的意义是 ．
（3）试用数轴探究：当时的值为 ．
（4）进一步探究：的最小值为 ，此时的取值范围为 ．
（5）最后发现，当的值最小时，的值为 ．
【答案】（1）；（2）表示的点与表示的点之间的距离；（3）或；（4）10；；（5）．
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的条件，写出绝对值形式即可；
（2）将原式改写为，因此表示a和-5之间的距离；
（3）到2距离为3的点有两种情况，在2的左侧和右侧，分两种情况求解即可；
（4）原式表示m到-1的距离与m到9的距离之和，根据数轴，可以判断当m在-1和9之间时，这个距离和最小；
（5）根据（4）问结果，原式表示m到-1的距离、m到9的距离与m到16的距离三者之和，当m在-1和16之间且和9重合时距离最小．
【详解】
（）由题意可得：在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是，
故答案为；
（）根据题意可知：式子在数轴上的意义是，表示的点与表示的点之间的距离，
故答案为表示的点与表示的点之间的距离；
（）由可知数轴上表示数m的点与表示数2的点之间的距离是3，所以m=5或m=-1，
故答案为，；
（）根据题意可知：式子表示，数轴上表示数m点与表示数-1的点之间的距离，与表示数m的点与表示数9的点之间的距离的和，
观察可知只有当表示数m的点在-1和9之间时，这个距离的和是最小的，为10
∴此时m的取值范围为
故答案为8；
（）根据（4）以及观察数轴可知，原式表示m到-1的距离、m到9的距离与m到16的距离三者之和
只有当m=9时，的值最小，
故答案为9．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是要弄清题意，有空间思维能力以及想象力．
15．如图，在数轴A、B上两点对应的数分别为−40、20，数轴上一点P对应的数为x．
（1）若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为
（2）如图，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度．当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？
（3）结合对前面问题的思考，若，求的最大值和最小值．
【答案】（1）60；（2）或5；（3）最大值为2，最小值为-14．
【解析】
【分析】
（1）用B点表示的数减去A点表示的数即可求解；
（2）根据题意Q点表示的数为，分为四种情况讨论：①在点左边、②都在点中间、③在中间，在点右边、④都在点右边，列出方程求解即可；
（3）根据绝对值的意义和前两问的结果得到，，结合题意得到，根据数轴解该方程即可，然后分类讨论即可求解．
【详解】
（1）
∴距离为60个单位长度；
（2）①若在点左边，则点与点的距离为，点与点的距离为，得，
②若都在点中间，此时距离和为，不符合题意；
③若在中间，在点右边，则点与点的距离为，点与点的距离为，
，得，
④若都在点右边，此时仅点与点的距离，不符合题意；
综上所述，当或5时，满足题意．
（3）由前面可知，，，
∴，
∵已知，
∴，
∴，，
当，时，有最大值：2-0=2，
当，时，有最小值：，
综上所述，的最大值为2，最小值为-14．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，绝对值方程，一元一次方程，题目综合性较强，重点是分类讨论，不要漏掉某一种情况．
16．阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点O时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A，B两点都不在原点时，分三种情况．
（1）如图2，点A，B都在原点右边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
（2）如图3，点A，B都在原点左边，则|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|；
（3）如图4，点A，B在原点两边，则|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+(-b)=|a-b|．
综上所述，数轴上A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|．
根据材料回答下列问题：
（1）数轴上分别表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上分别表示1和-3的两点之间的距离是 ；
（2）点A，B在数轴上分别表示x和-3，求A，B两点之间的距离，如果|AB|=2，求x的值；
（3）当代数式|x+1|+|x-2|取最小值，即在数轴上，表示x的动点到表示-1和2的两个点之间的距离之和最小时，求这个最小值及对应的x的取值范围．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）由阅读信息得到数轴上两点间的距离公式，，直接利用距离公式计算即可得到答案；
（2）由数轴上两点间的距离公式可得A，B两点之间的距离为，化简即可得到答案，再利用 列绝对值方程，解方程可得答案；
（3）分三种情况讨论：当＜时，当时，当＞时，分别画出符合题意的图形，利用两点间的距离公式与线段的和差关系可得答案．
【详解】
解：（1）
故答案为：
（2）A，B两点之间的距离为：
当 则
或
或
（3）如图，当＜时，
＞
当时，
当＞时，
＞
综上：代数式|x+1|+|x-2|取最小值为，的取值范围是
【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，一元一次方程的解法，线段的和差，掌握利用数轴解决数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
17．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a<6
【解析】
【分析】
（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可；
（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集；
（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答．
【详解】
解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5，
∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5；
（2）在数轴上找出|x-2|=1的解．
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3，
∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3．
（3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．
∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边．
若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3，
∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3，
∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3．
（4）原问题转化为：a小于|x+2|+|x-4|最大值．
当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2，
当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6，
当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2，
即|x+2|+|x-4|的最小值为6．
故a<6．
【点睛】
本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．
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