人教版七年级上册4.3.1 角复习练习题

这是一份人教版七年级上册4.3.1 角复习练习题，共30页。试卷主要包含了如图，两个形状等内容，欢迎下载使用。
1．如图，直线与相交于点，，将一直角三角尺的直角顶点与重合，直角边与重合，在内部．操作：将三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为．
（1）当为何值时，直角边恰好平分？此时是否平分？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线也绕点以每秒的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当为何值时，平分？
②能否平分？若能请直接写出的值；若不能，请说明理由．
2．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图①，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数．
3．将一副三角板和三角板按不同的位置摆放．
（1）如图1，若边、在同一直线上，则 ；
（2）如图2，若，那么 ；
（3）如图3，若，求的度数．
4．已知将一副三角板（直角三角板和直角板，，，，
（1）如图1摆放，点、、在一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板绕点逆时针方向转动，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分．射线平分，如果三角板在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
5．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为 度；
（2）继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1开始绕点按每秒的速度逆时针旋转的过程中，是否存在所在直线平分和中的一个角，所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间，若不存在，说明理由．
6．将一副三角板按图1摆放在直线上，平分，平分．
（1） ； ；
（2）如图2，若将三角板绕点以秒的速度顺时针旋转秒，求的度数；
（3）如图3，三角板绕点以秒的速度顺时针旋转，同时，三角板绕点以秒的速度逆时针旋转，当与边首次重合时两三角板都停止运动，若运行秒时，有成立，试求此时与的关系．
7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．
（1）如图1，若，则 ．
（2）如图2，若，则 ．
（3）如图1，请猜想与的关系，并写出理由．
8．如图，两个形状．大小完全相同的含有、的三角板如图放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）试说明：；
（2）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求；
（3）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，在两个三角板旋转过程中转到与重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为秒，则 ， （用含有的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①为定值；②为定值，正确的是
（填写你认为正确结论的对应序号）．
9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起：
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，求的度数；
（3）猜想与的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺不动，将三角尺的边与边重合，然后绕点按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度所有可能的值，不用说明理由．
10．将一副三角尺的两个直角顶点重合在一起，如图那样摆放．
（1）如果重叠在一起时，，则 度；
（2）如果重叠在一起时，，则 度；
（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于且小于，和的和始终等于 度，并试说明理由．
11．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线的位置保持不变，且．
①则当旋转时间 秒时，边所在的直线与平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图，求的值．
12．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为
（1）将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为 度．
（2）将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值．
13．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）在图1中， ， ．
（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则 ；
（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数．
14．如图，两个形状，大小完全相同的含有，的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转．
（1）试说明：；
（2）如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求．
（3）如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中转到与重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
15．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，恰好平分．
①此时的值为 ；（直接填空）
②此时是否平分？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间平分？请画图并说明理由．
16．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值．
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，试探索：在旋转过程中，与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
17．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后恰好平分，则 （直接写结果）
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后平分？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒？请说明理由．
18．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方．
（1）将图1中的三角尺绕着点逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由；
（2）紧接着将图2中的三角板绕点逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 （直接写出结果）．
专题27 和三角板有关的角度计算
1．如图，直线与相交于点，，将一直角三角尺的直角顶点与重合，直角边与重合，在内部．操作：将三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为．
（1）当为何值时，直角边恰好平分？此时是否平分？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线也绕点以每秒的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当为何值时，平分？
②能否平分？若能请直接写出的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）当直角边恰好平分时，，
，
解得：．
此时，
此时平分．
（2）①平分，
依题意有，
解得；
平分，
依题意有，
解得．
故当为或时，平分
②在上面，
依题意有，
解得；
在下面，
依题意有，
解得．
故能平分，的值为14或．
2．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图①，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数．
【解答】解：（1），，
．
故答案为：．
（2），是的角平分线，
．
．
．
即，；
（3），
．
，
．
，
．
．
．
．
3．将一副三角板和三角板按不同的位置摆放．
（1）如图1，若边、在同一直线上，则 ；
（2）如图2，若，那么 ；
（3）如图3，若，求的度数．
【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）；
故答案为：；
（3）．
的度数为：．
4．已知将一副三角板（直角三角板和直角板，，，，
（1）如图1摆放，点、、在一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板绕点逆时针方向转动，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分．射线平分，如果三角板在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
【解答】解：（1），，
，
故答案为：；
（2）恰好平分，
，
；
故答案为：；
（3）的度数不发生变化，．理由如下：
平分，平分，
，，
，
．
5．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为 90 度；
（2）继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1开始绕点按每秒的速度逆时针旋转的过程中，是否存在所在直线平分和中的一个角，所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：
旋转角为．
故答案为90．
（2）如图，理由如下：
，
，
，
，
，①
，
，②
②①，得．
（3）
如图4，当平分时，所在直线平分，
，
三角板绕点逆时针旋转，
此时（秒；
如图5，当平分时，所在直线平分，
，
三角板绕点逆时针旋转，
此时（秒．
当旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．
答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．
6．将一副三角板按图1摆放在直线上，平分，平分．
（1） ； ；
（2）如图2，若将三角板绕点以秒的速度顺时针旋转秒，求的度数；
（3）如图3，三角板绕点以秒的速度顺时针旋转，同时，三角板绕点以秒的速度逆时针旋转，当与边首次重合时两三角板都停止运动，若运行秒时，有成立，试求此时与的关系．
【解答】解：（1）如图1．
；
平分，平分，
，，
．
故答案为；；
（2）如图2，
由题意可知：
；
；
平分，平分，
，
，
；
（3）如图3．
，
．
当时，有，
解得．
即当时，有成立．
7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．
（1）如图1，若，则 ．
（2）如图2，若，则 ．
（3）如图1，请猜想与的关系，并写出理由．
【解答】解：（1），，
，
．
故答案为．
（2），又，
，
．
故答案为．
（3）结论：．
理由：
，，
，
．
8．如图，两个形状．大小完全相同的含有、的三角板如图放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）试说明：；
（2）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求；
（3）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，在两个三角板旋转过程中转到与重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为秒，则 ， （用含有的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①为定值；②为定值，正确的是
（填写你认为正确结论的对应序号）．
【解答】解：（1），，，
；
（2）设，，
则，
，
，
（3）①正确．
设运动时间为秒，则，
，
运动之前，两个三角板运动的速度差为秒
．
．
②，可以看出随着时间在变化，不为定值，结论错误．
故答案为：；；①．
9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起：
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，求的度数；
（3）猜想与的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺不动，将三角尺的边与边重合，然后绕点按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度所有可能的值，不用说明理由．
【解答】解：（1），
．
（2），
．
（3）．
，
，即与互补．
（4）、、、．
10．将一副三角尺的两个直角顶点重合在一起，如图那样摆放．
（1）如果重叠在一起时，，则 110 度；
（2）如果重叠在一起时，，则 度；
（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于且小于，和的和始终等于 度，并试说明理由．
【解答】解：（1）因为和互余，且，
故，所以；
（2）同（1），，；
（3）；
理由：，，
，
，
11．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线的位置保持不变，且．
①则当旋转时间 7或25 秒时，边所在的直线与平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图，求的值．
【解答】解：（1），
，
，，
平分，
，
；
（2）①，
，
如图1，当在直线上方时，
，
，
，即；
如图2，当在直线下方时，
，
，
，
则，
，
故答案为：7或25；
②当平分时，，即，解得；
当平分时，，即，解得；
当平分时，，即，解得：；
综上，的值为2、8、32；
③，，
，
的值为．
12．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为
（1）将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为 90 度．
（2）将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值．
【解答】解：，，
，
（1）由落在射线上，可知旋转角为：；
故答案为90．
（2），，
；
（3）所在直线恰好平分，
，
此时旋转角为：
（秒，
或（秒
所以直角绕点的运动时间是22.5秒或58.5秒．
13．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）在图1中， ， ．
（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则 ；
（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数．
【解答】解：（1）点为直线上一点，过点作射线，使，，
，
故答案为：，；
（2）由（1）可知：，，，
，
故答案为：；
（3）由图可知：，，，，
则，，
即的度数是．
14．如图，两个形状，大小完全相同的含有，的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转．
（1）试说明：；
（2）如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求．
（3）如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中转到与重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
【解答】解：（1），，，
；
（2）设，，
则，
，
，
（3）不变．
设运动时间为秒，则，
，．
，
．
15．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，恰好平分．
①此时的值为 3 ；（直接填空）
②此时是否平分？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间平分？请画图并说明理由．
【解答】解：（1）①，，
，
平分，
，
．
②是，理由如下：
转动3秒，，
，
，
即平分．
（2）三角板旋转一周所需的时间为（秒，
射线绕点旋转一周所需的时间为（秒，
设经过秒时，平分，
由题意：①，
解得：，
②，
解得：，不合题意，
③射线绕点旋转一周所需的时间为（秒，45秒后停止运动，
当旋转到的位置后再旋转时，平分，
此时旋转了，
（秒，
综上所述，秒或69秒时，平分．
（3）如图3中，由题意可知，旋转到与重合时，需要（秒，
旋转到与重合时，需要（秒，
所以比早与重合，
设经过秒时，平分，
由题意：，
解得：，
所以经秒时，平分．
16．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值．
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，试探索：在旋转过程中，与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
【解答】解：（1）直线平分．
理由：如图所示，设的反向延长线为．
平分，
．
又，
．
．
又（对顶角相等），
．
平分，即直线平分．
（2），
．
．
即旋转或时直线平分．
由题意得，或240．
解得：或40；
（3）的差不变．
，，
、．
．
17．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后恰好平分，则 5秒或115秒 （直接写结果）
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后平分？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒？请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
解得：秒；
（2）5秒或115秒时，平分角，理由如下：
当运动时，
，，
，
，
三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转，
设为，为，
，
可得：，
解得：秒；
停止运动，运动时，此时，也平分，
（秒；
（3）当运动时，
如上图：平分
可能在内侧也可能在外侧，由题意得：
或，
解得：或32秒；
当停止运动时，
运动到下方时，，
（秒，
运动到下方时，，
（秒
答：经过8或32秒或112秒或88秒．
18．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方．
（1）将图1中的三角尺绕着点逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由；
（2）紧接着将图2中的三角板绕点逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 （直接写出结果）．
【解答】解：（1）如图2，，
平分．理由如下：
，
，
而，
；
故答案为；
平分．
理由如下：
三角尺绕着点逆时针旋转得到（如图，
，
，
而，
平分；
（2）．
理由如下：如图3，
，
，
，
，
；
（3）（秒或（秒．
故答案为4.5秒或40.5秒．