数学人教版4.3.1 角巩固练习

这是一份数学人教版4.3.1 角巩固练习，共42页。试卷主要包含了已知，，我们学过角的平分线的概念，如图，已知，，根据阅读材料，回答问题，如图1，，，平分等内容，欢迎下载使用。

专题30 和角平分线有关的计算
1．已知，
（1）如图1，、分别平分和，若，则是 ；
（2）如图2，、分别平分和，若，求的度数（写推理过程）．
（3）若、分别平分和，，则的度数是 （在稿纸上画图分析，直接填空）．
2．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如：如图1，若，则是的一条三分线．
（1）如图1，若，若，求的度数；
（2）如图2，若，若，是的两条三分线．
①求的度数；
②现以为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则求的值．
（3）如图3，若，是的一条三分线，，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由）
3．如图，已知内部有三条射线，平分，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的度数（写出求解过程）；
（3）若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）．
4．如图，已知，．
（1）求的度数；
（2）若射线绕点以每秒旋转的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值；
（3）若绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．
5．根据阅读材料，回答问题．
材料：如图所示，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．如果一条射线把一个角分成两个相等的角和，这条射线叫做这个角的平分线．这时，（或．
问题：平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线，，．当点在直线上运动时，始终保持，，将射线绕点顺时针旋转得到射线．
（1）如图1，当点运动到使点在射线的左侧时，若平分，求的度数；
（2）当点运动到使点在射线的左侧，时，求的值；
（3）当点运动到某一时刻时，，直接写出此时的度数．
6．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕．若，求的度数．
（2）在（1）条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使边与重合，折痕为，如图2所示，求的度数．
7．如图，已知，以为顶点，为一边画，若，与的平分线分别为，．
（1）如图1，若射线在的内部，求的度数．
（2）如图2，若射线在的外部，求的度数．
（3）由（1）、（2）题结果中的规律，若把“改为为锐角）”，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请求的度数；若不变，请说明理由．
8．如图1，，，平分
（1）若，则
（2）将绕点旋转至如图2位置，求和的数量关系
（3）在（2）的条件下，在内部是否存在射线，使，且？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
9．如图1，已知，，是内部的一条射线，且平分．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
（3）若，则 （用含的式子表示）．
（4）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，与有怎样的数量关系？请说明理由．
10．已知，，若射线绕点在内部旋转，平分．
（1）如图1，当时，请直接写出和的度数： ； ；
（2）请分别求出当和时，的度数（利用备用图，画出图形并写出简要的过程）；
（3）若，请用含的式子表示的度数（直接写出结果）．
11．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：
规律发现：
在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：
（1）点表示的数是2，点表示的数是6，则线段的中点表示的数为 ；
（2）点表示的数是，点表示的数是7，则线段的中点表示的数为 ；
发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为 ．
直接运用：
将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则值为 ，若将从图中位置向右滚动，则数字2014对应点将与的顶点 重合．
类比迁移：
如图（2）：，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
12．已知，．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，的度数是 ；
如图2，若恰好平分，则的度数是 ；
（2）当从图1的位置开始，绕点逆时针方向旋转，作射线平分，射线平分，在旋转过程中，发现的度数保持不变．
①的度数是 ；
②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明．
13．已知，是锐角，平分，平分．
（1）如图1若，求的度数？
（2）若射线绕着点运动到的内部（如图，在（1）的条件下求的度数；
（3）若，，请用含有，的式子直接表示上述两种情况的度数．
14．已知，射线从出发，绕点以秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒．射线、分别平分、．
（1）如图①，如果秒，求的度数；
（2）如图①，若射线旋转时间为秒，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）射线从出发时，射线也同时从出发，绕点以秒的速度逆时针旋转，射线、在旋转过程中，若，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．
15．已知如图1，平分，平分．
（1）如果，，那么是多少度？
（2）如果，，那么是多少度？
（3）通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？
（4）拓展：
如图2，已知点是的中点，点是的中点，试判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
16．【问题提出】已知，，，求的度数．
【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线在的内部时，①若射线在内部，如图1，可求的度数，解答过程如下：设，，，，
，，，
问：当射线在的内部时，②若射线在外部，如图2，请你求出的度数；
【问题延伸】（2）当射线在的外部时，请你画出图形，并求的度数．
【问题解决】综上所述：的度数分别是 ．
17．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线．
（1）当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图，则的大小为 ；
（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，求的大小，写出解答过程；
（3）在绕点逆时针旋转过程中， ．
18．一副三角尺（分别含，，和，，按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为．
（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，．
①用含的代数式表示： ； ；当为何值时，？
②从三角尺与三角尺第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间为 秒．
19．如图1，对于线段和，点是线段上的任意一点，射线在内部，如果，则称线段是的伴随线段，是线段的伴随角．例如：，，若，则线段的伴随角．
（1）当，时，若，试求的伴随线段的长．
（2）如图2，对于线段和，，．若点是线段上任一点，，分别是线段，的中点，，，分别是线段，，的伴随角，则在点从运动到的过程中（不与，重合），的大小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出的大小．
（3）如图3，已知是任意锐角，点，分别是射线，上的任意一点，连接，的平分线与线段相交于点．对于线段和，线段是的伴随线段，点和点能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不能，请说明理由．
20．已知和是直角．
（1）如图1，当射线在的内部时，请探究和之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线，都在的外部时，过点作射线，，满足，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
专题30 和角平分线有关的计算
1．已知，
（1）如图1，、分别平分和，若，则是 38 ；
（2）如图2，、分别平分和，若，求的度数（写推理过程）．
（3）若、分别平分和，，则的度数是 （在稿纸上画图分析，直接填空）．
【解答】解：（1），平分，
，
，
，
又平分，
．
（2），，
，
又、分别平分和，
，，
，
（3）分两种情况：当时，，当时，．
2．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如：如图1，若，则是的一条三分线．
（1）如图1，若，若，求的度数；
（2）如图2，若，若，是的两条三分线．
①求的度数；
②现以为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则求的值．
（3）如图3，若，是的一条三分线，，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由）
【解答】解：（1）是的一条三分线，且
，
，
；
（2）①解：，，是的两条三分线，如图2①，
，
②现以为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，分两种情况：
当是的三分线，且时，如图2②，
，
，
，
当是的三分线，且时，如图2③，
，
，
或50．
（3）是的一条三分线，
，分别是与的平分线
可得，
或，
当时，
绕点旋转或时，是的一条三分线，
或（秒
当时，绕点旋转或时，是的一条三分线，
或（秒
综上，绕点旋转的时间是25，26，28或29秒．
3．如图，已知内部有三条射线，平分，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的度数（写出求解过程）；
（3）若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）．
【解答】解：（1），，
；
平分，平分，
，，
．
（2），平分，平分，
．
（3），，，
．
4．如图，已知，．
（1）求的度数；
（2）若射线绕点以每秒旋转的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值；
（3）若绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．
【解答】解：如图所示：
（1）设，
又，，
，
，
又，
解得：
；
（2），，
，
①若线段、重合前相差，则有：
，
解得：，
②若线段、重合后相差，则有：
解得：，
又，
或；
（3）的度数不会发生改变，，理由如下：
旋转秒后，，，
、分别平分、
，
．
5．根据阅读材料，回答问题．
材料：如图所示，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．如果一条射线把一个角分成两个相等的角和，这条射线叫做这个角的平分线．这时，（或．
问题：平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线，，．当点在直线上运动时，始终保持，，将射线绕点顺时针旋转得到射线．
（1）如图1，当点运动到使点在射线的左侧时，若平分，求的度数；
（2）当点运动到使点在射线的左侧，时，求的值；
（3）当点运动到某一时刻时，，直接写出此时的度数．
【解答】解：（1）设的度数为，
由题意可知：，
因为平分，所以，
所以
解得，．
答：的度数为．
（2）①如图2，
当射线在内部时，设的度数为，
由题意可知：，，
，
，
，
，
，
，
解得，；
②如图3，
当射线在外部时，设的度数为，
由题意可知：，，
，
，
，
，
，
，
解得，．
③如图，
由题意可知：，
设，则，
，
解得，
，
；
由题意可知：，
设，则，
，
解得，
，
；
答；的值为或或或；
（3）如图4，当时，由图可得：
，
又，
，
；
如图5，当时，由图可得：
，
又，
，
；
当射线在下面时，或．
综上所述：的度数为或或或．
6．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕．若，求的度数．
（2）在（1）条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使边与重合，折痕为，如图2所示，求的度数．
【解答】解：（1），
，
；
（2）由（1）的结论可得，
，，
，
．
7．如图，已知，以为顶点，为一边画，若，与的平分线分别为，．
（1）如图1，若射线在的内部，求的度数．
（2）如图2，若射线在的外部，求的度数．
（3）由（1）、（2）题结果中的规律，若把“改为为锐角）”，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请求的度数；若不变，请说明理由．
【解答】解：（1）平分，平分，
，，
，
，
．
（2）平分，平分，
，，
，
，
．
（3）的度数不会变化，理由如下：
若射线在的内部，
平分，平分，
，，
，
，
．
若射线在的外部，
平分，平分，
，，
，
，
．
8．如图1，，，平分
（1）若，则 40
（2）将绕点旋转至如图2位置，求和的数量关系
（3）在（2）的条件下，在内部是否存在射线，使，且？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
平分，
，
，
，
故答案为40；
（2），
；
（3）存在．理由如下：
，
设，，
，，
，
，
，
，，，
，
．
9．如图1，已知，，是内部的一条射线，且平分．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
（3）若，则 （用含的式子表示）．
（4）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，与有怎样的数量关系？请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
平分，
，
，
，
；
故答案为：；
（2），，
，
平分，
，
；
故答案为：；
（3），，
，
平分，
，
；
故答案为：；
（4）如图所示：．
证明：设，则，
又平分，
．
即．
10．已知，，若射线绕点在内部旋转，平分．
（1）如图1，当时，请直接写出和的度数： 50 ； ；
（2）请分别求出当和时，的度数（利用备用图，画出图形并写出简要的过程）；
（3）若，请用含的式子表示的度数（直接写出结果）．
【解答】解：（1）．
平分，
．
．
故答案为：50；．
（2）当时，如图①所示：
，
．
平分，
．
．
如图②所示：当时．
，，
．
平分角，
．
．
如图③所示：当时．
，，
．
平分角，
．
．
的度数为或．
（3）如图②所示：
，，
．
平分角，
．
．
如图③所示：
，，
．
平分角，
．
．
综上所述，或．
11．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：
规律发现：
在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：
（1）点表示的数是2，点表示的数是6，则线段的中点表示的数为 4 ；
（2）点表示的数是，点表示的数是7，则线段的中点表示的数为 ；
发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为 ．
直接运用：
将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则值为 ，若将从图中位置向右滚动，则数字2014对应点将与的顶点 重合．
类比迁移：
如图（2）：，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
【解答】解：（1）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
；
，
解得：．
故表示的数为：，
点表示的数为：，
即等边三角形边长为1，
数字2014对应的点与的距离为：，
，从出发到2014点滚动672周后再滚动两次，
数字2014对应的点将与的顶点重合．
故答案为：，；
（2），，，
，
经分析知2秒时与重合，所以在2秒以前设运动秒时，是与的角平分线，
解得．
经分析知2秒时与重合，2.25秒时与重合，所以在2秒到2.25秒间，是与的角平分线，设运动秒时，
3秒时与重合，所以在3秒以前设运动秒时，是与的角平分线，
解得．
4秒时与直线重合，设3秒后4秒前运动秒时是与的角平分线，
解得（舍去）．
故运动1.5秒，秒或2.4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
12．已知，．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，的度数是 ；
如图2，若恰好平分，则的度数是 ；
（2）当从图1的位置开始，绕点逆时针方向旋转，作射线平分，射线平分，在旋转过程中，发现的度数保持不变．
①的度数是 ；
②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明．
【解答】解：（1）点、、在同一条直线上
平分
（2）①
②图4证明：平分，平分
，
图5证明：平分，平分
，
．
13．已知，是锐角，平分，平分．
（1）如图1若，求的度数？
（2）若射线绕着点运动到的内部（如图，在（1）的条件下求的度数；
（3）若，，请用含有，的式子直接表示上述两种情况的度数．
【解答】解：（1）平分，平分，
，，
，，
，，
；
（2）由（1）可知，，，
；
（3）平分，平分，
，，
，，
，．
如果射线在的外部，那么；
如果射线在的内部，那么．
14．已知，射线从出发，绕点以秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒．射线、分别平分、．
（1）如图①，如果秒，求的度数；
（2）如图①，若射线旋转时间为秒，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）射线从出发时，射线也同时从出发，绕点以秒的速度逆时针旋转，射线、在旋转过程中，若，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．
【解答】解：（1）如图①，根据题意，得
，
射线平分，
，
答：的度数为．
（2）根据题意，得
射线、分别平分、，
，
，
，
答：的度数为．
（3）射线、分别平分、，
根据题意，得
，
①如图②：当落在和之间时，，
，
解得．
②如图
当落在和之间时，，
解得．
当时，的值为，
当时，的值为．
答：的值为或．
15．已知如图1，平分，平分．
（1）如果，，那么是多少度？
（2）如果，，那么是多少度？
（3）通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？
（4）拓展：
如图2，已知点是的中点，点是的中点，试判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
【解答】解（1）平分，
，
平分，
，
，
；
（2）平分，
，
平分，
，
，
；
（3）通过第（1）、（2）的计算，发现；
（4）拓展：，理由如下：
点是的中点，
，
点是的中点，
，
．
16．【问题提出】已知，，，求的度数．
【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线在的内部时，①若射线在内部，如图1，可求的度数，解答过程如下：设，，，，
，，，
问：当射线在的内部时，②若射线在外部，如图2，请你求出的度数；
【问题延伸】（2）当射线在的外部时，请你画出图形，并求的度数．
【问题解决】综上所述：的度数分别是 ，，或 ．
【解答】解：（1）②如下图2所示，
设，则，，
，
，
，
．
；
（2）当射线在外部时，根据题意，此时射线靠近射线，
，，
射线的位置也只有两种可能；
①若射线在内部，如图3所示，
，
，
，
；
②若射线在外部，如图4所示，
，，
，
，
，
；
由上可得，的度数分别是，，，．
故答案为：，，或．
17．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线．
（1）当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图，则的大小为 ；
（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，求的大小，写出解答过程；
（3）在绕点逆时针旋转过程中， ．
【解答】解：（1），，，分别是，的角平分线，
，，
．
故答案为：；
（2）当绕着点逆时针旋转，时，，，
，，
；
（3），，
，分别是，的角平分线，，，
，，
，；
当在、的反向延长线形成的角的内部时，
同理，，
综上所述：或，
故答案是：37.5或142.5．
18．一副三角尺（分别含，，和，，按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为．
（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是 90 度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，．
①用含的代数式表示： ； ；当为何值时，？
②从三角尺与三角尺第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间为 秒．
【解答】解：（1）当秒时，由旋转可知：
边旋转的角度为：，
边经过的量角器刻度线对应的度数为：，
故答案为：；
（2）①三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，
，
，
，
故答案为：，，
在三角尺和三角尺旋转前，，
现在，分两种情况：
与相遇前，则：
，
解得：，
与相遇后，则：
，
解得：，
当为秒5或5.5秒时，；
②，，
当与重合时，，
当与重合时，即与共旋转了，
，
，
故答案为：．
19．如图1，对于线段和，点是线段上的任意一点，射线在内部，如果，则称线段是的伴随线段，是线段的伴随角．例如：，，若，则线段的伴随角．
（1）当，时，若，试求的伴随线段的长．
（2）如图2，对于线段和，，．若点是线段上任一点，，分别是线段，的中点，，，分别是线段，，的伴随角，则在点从运动到的过程中（不与，重合），的大小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出的大小．
（3）如图3，已知是任意锐角，点，分别是射线，上的任意一点，连接，的平分线与线段相交于点．对于线段和，线段是的伴随线段，点和点能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由伴随角和伴随线段的定义可知，，
，
．
（2）不会，．理由如下：
点，分别是线段，的中点，
，，
．
，，分别是线段，，的伴随角，
，，，
，
，
，
．
（3）能，理由如下：
是的平分线，
，
线段是的伴随线段，
．即点是的中点．
若点和点重合，则点为的中点．
根据题意画出图形如下所示：
测量得出当点和点重合时，．
20．已知和是直角．
（1）如图1，当射线在的内部时，请探究和之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线，都在的外部时，过点作射线，，满足，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线，使得？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）．
证明：和是直角，
，
，
，
同理：，
，
；
（2）解：设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
（3）①当射线在内部时，
，
；
②当射线在外部时，
，
．
③当在外部且在直线上方的时候求得的超过180度，不合题意舍去．
综上所述， 的度数是或．