2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中高二上学期12月适应性练习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中高二上学期12月适应性练习数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.
【详解】斜率，因为，且，
故或，即或，
故选：C.
【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为，则当时，直线的斜率不存在，当时，斜率.
2．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解即得.
【详解】由圆可得圆心坐标为：(-1，2)，
所以圆心到直线的距离为.
故选：B
3．已知两条直线和，下列不正确的是（ ）
A．“a＝1”是“”的充要条件
B．当时，两条直线间的距离为
C．当斜率存在时，两条直线不可能垂直
D．直线横截距为1
【答案】D
【分析】由直线平行关系可以判断A正确；利用平行线间距离公式可以判断B正确；利用垂直关系可以判断C正确；令可以求出直线得横截距.
【详解】当时，，则，
当时，直线与重合，故舍去，所以A正确；
当时，，和间的距离为
，所以B正确；
若，则，则，
又当斜率存在时，，所以C正确；
，令得，所以直线横截距为-1，
所以D错误.
故选：D.
4．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：∵抛物线，∴准线为，∵点到其准线的距离为4，∴，
∴，∴抛物线的标准方程为.
【解析】1.抛物线的标准方程；2.抛物线的准线方程；3.点到直线的距离.
5．椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，，由此建立a，c的齐次式，进而可得结果.
【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，
易得，，
∴，∴，
∴，
故选：D.
6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①B．②C．①②D．①②③
【答案】C
【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【详解】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
7．已知圆与轴的交点分别为点是直线上的任意一点，椭圆以为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意易得椭圆的半焦距，然后求得点关于直线的对称点为，由，此时椭圆的离心率取得最大值求解.
【详解】圆与轴的交点分别为，，不妨令点，，
椭圆的半焦距．
设点关于直线的对称点为，
，解得，
．
如图所示：
连接交直线于点，此时有最小值，此时的最小值为，
当长轴长最小时，椭圆的离心率取得最大值，
即．
又，
椭圆的离心率的取值范围为，
故选：A
8．法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．M到C的右焦点的距离的最大值为
C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则
D．面积的最大值为
【答案】D
【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；
B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；
C.根据为圆的直径，则点关于原点对称，利用点在椭圆上，证明；
D.利用圆的几何性质，确定面积的最大值.
【详解】A.因为椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，所以椭圆，，，则，所以椭圆的离心率，故A正确；
B.点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确；
C.根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径,与椭圆交于两点，点关于原点对称，设，，，
，故C正确；
D.因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误.
故选：D
二、填空题
9．已知双曲线的焦距为，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】先根据题意求，进而可得渐近线方程.
【详解】由题意可得：，且双曲线的焦点在x轴上，则，
故双曲线C的渐近线方程为，即.
故答案为：.
10．年月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意由a-c=439+6371，a+c=2384+6371，求得2a即可.
【详解】设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由题意得：a-c=439+6371，a+c=2384+6371,
两式相加得：2a=15565，
因为椭圆上任意两点间的距离的最大值为长轴长2a,
所以卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为，
故答案为：15565
11．已知，分别是双曲线的左､右焦点，AB是过点的一条弦（A，B均在双曲线的左支上），若的周长为30，则 .
【答案】9
【分析】求得双曲线的a，结合双曲线的定义和三角形的周长，解方程可得所求值．
【详解】解：双曲线，得a＝3，
因为A，B均在双曲线的左支上，所以，
则△ABF2的周长为，
所以2|AB|+4×3＝30，
所以．
故答案为：9．
12．直线过点且与椭圆相交于，两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】设出，两点的坐标，代入椭圆方程作差后化简得出，再通过中点坐标与两端点坐标关系结合已知得出，代入即可解出答案.
【详解】设，两点的坐标分别为，，
直线与椭圆相交于，两点，
，作差得：，
即，
即，
点在椭圆内，且为弦的中点，
，代入解得：，
故直线的斜率.
故答案为：.
13．如果点在运动过程中，总满足关系式，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线与C交于D，E，已知，则周长的最大值为 ．
【答案】8
【分析】根据椭圆定义判断出轨迹，分析条件结合椭圆定义可知当直线x=m过右焦点时，三角形ADE周长最大.
【详解】，
到定点，的距离和等于常数，
点的轨迹C为椭圆，且
故其方程为，
则为左焦点，
因为直线与C交于D，E，则，不妨设D在轴上方，E在轴下方，
设椭圆右焦点为A'，连接DA'，EA'，
因为DA'＋EA'≥DE，
所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，
所以△ADE的周长，当时取得最大值8，
故答案为：8
14．设定点，抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，若的最小值为，则实数的值为
【答案】或
【分析】分点在抛物线内部、外部讨论，利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离即可求解．
【详解】①若在抛物线内部，如下图，
过作垂直准线，由抛物线的定义有，，
所以当，，三点共线时， 最小，
因为准线方程为，
所以，解得；
若在抛物线的外部，则当，，共线，且在，之间时，最小，，
则的最小值为，
解得或，
由于时，在抛物线的内部，所以舍去，
综上，或．
故答案为：或．
三、解答题
15．已知直线的方程为．
(1)求直线过的定点P 的坐标；
(2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程；
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解；
（2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，直线的方程可化为，
联立方程组解得，
所以直线过的定点．
（2）设直线 ，则，
由 （1） 知，直线 过的定点，可得，
因为，
所以，解得，
当且仅当且即时，等号成立，
所以面积为 ，
此时对应的直线方程为，即．
16．已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)圆的标准方程为，直线的一般方程为；
(2).
【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）解：把点代入圆的方程，可得，解得，
得的方程为，即，
圆心为，所以，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）解：由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，
且直线的斜率为，直线的方程为，即．
四、证明题
17．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离比它到直线的距离大．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点T的直线与动点P的轨迹C交于A，B两点，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）方法一：设动点，由题意得到求解；方法二：由题意得到动点P到点的距离与它到直线的距离相等．利用抛物线的定义求解.
（2）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理证明.
【详解】（1）解：（方法一）设动点，由题意，有．
若，则式为，两边平方，并化简可得；
若，则式为，两边平方，并化简可得，显然不成立．
所以动点P的轨迹C的方程为．
（方法二）由动点P到点的距离比它到直线的距离大，
知动点P到点的距离与它到直线的距离相等．
由抛物线的定义知，动点P的轨迹C的方程为．
（2）设直线l的方程为，
由消y整理得．
设，，则，，
所以，．
所以，
，
所以为定值，得证．
五、解答题
18．如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B，的中点为M．设O为原点，射线交椭圆E于点C．当与的面积相等时，求k的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意得到，解出即可.
（2）的方程为，联立椭圆方程得，设,得到两根之和式，设,根据，从而，结合其在椭圆上得到，解出即可.
【详解】（1）由题设,，
解得.
所以椭圆的方程为.
（2）直线的方程为.
由得.
设,
则.
因为与的面积相等,所以点和点到直线的距离相等.
所以为线段的中点,即四边形为平行四边形.设,
则.
所以.
将上述两式代入，
得.
解得.
【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式，通过面积相等则得到为线段的中点，则为线段的中点，利用向量加法得到，从而用表示出点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可.