2023-2024学年陕西省兴平市南郊高级中学高二上学期第一次质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省兴平市南郊高级中学高二上学期第一次质量检测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由空间直角坐标中的点关于面对称求对称点坐标.
【详解】由与关于xOy平面对称，且，
所以.
故选：C
2．已知平面内有一点，平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先设出平面内的点，然后写出即为平面的一个方向向量，根据方向向量和平面法向量的数量积为0，将答案带入满足条件即可.
【详解】解：设点在平面内，，因为平面的一个法向量，所以，即，满足该条件的只有D选项.
故选：D.
3．已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】利用空间共面向量定理即可解决问题.
【详解】对于A，因为，所以共面，故A错误；
对于B，因为，所以共面，故B错误；
对于C，因为不共面，所以不共面．
若存在，使成立，则共面，这与已知是空间一组基底矛盾，故不共面，故C正确；
对于D，显然 共面，故D错误.
故选：C.
4．已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】证明出当，且，则点、、、共面.然后逐项验证可得合适的选项.
【详解】若，且，
则，则，
即，所以，点、、、共面.
对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；
对于B选项，，B选项中的点、、、共面；
对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；
对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.
故选：B.
5．如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量的线性运算求解．
【详解】连接，因为，所以，
因为，所以，
所以．
故选：C．
6．以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C．为直角三角形的充要条件是
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
【答案】B
【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析ABD可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C的真假.
【详解】对A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；
对B，若为空间向量的一组基底，则、、三个向量互不共面，且、、均为非零向量，
假设、、共面，可设，
所以，，该方程组无解，故、、不共面，
因此，故可又构成空间向量的一组基底，故B正确；
对C，的为直角为直角三角形，但为直角三角形时，可能为锐角，此时，故C错误；
对D，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误.
故选：B．
7．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解.
【详解】若平面，
则两个平面的法向量互相平行，
所以平面的法向量为，
所以当时，向量为，
故选：A.
8．如图，四棱锥的底面是菱形，，，平面，且，E是的中点，则到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由得平面，进而将到平面的距离转化为点到平面的距离，根据点到平面距离的向量公式计算即可．
【详解】取的中点，连接，
因为四边形是菱形，，
所以为等边三角形，
又因为为中点，
所以，
以点为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
因为，
所以，即，
又因为平面，
所以平面，
所以到平面的距离就是点P到平面的距离
因为，
所以点P到平面的距离，
所以到平面BED的距离为，
故选：A．
二、多选题
9．（多选）在正方体中，下列各式中运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】A中，；B中，；C中，；D中，,即得解.
【详解】根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：
A中，；
B中，；
C中，；
D中，．
故选：BD．
10．已知，，则（ ）
A．，夹角为锐角
B．与相互垂直
C．
D．以，为邻边的平行四边形的面积为
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的坐标运算逐项分析判断.
【详解】，，则，
对A：∵，则与不共线，
又∵，故，夹角为锐角，故 A正确；
对B：∵，则，
∴与相互垂直，故B正确；
对C：，，即，故C错误；
对D：∵，则，
故以，为邻边的平行四边形的面积为，故D正确.
故选：ABD.
11．以下命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l不能与m垂直
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】ACD
【分析】由空间位置关系的向量证明判断A，B，C；利用平面的法向量计算判断D作答.
【详解】对于A，，，则，则有不垂直，即直线与不垂直，A正确；
对于B，因，，则，有，于是得，直线l与平面不垂直，B不正确；
对于C，由，得，，即与共线，则， C正确；
对于D，点，，，则，，
又向量是平面的法向量，则，解得，D正确.
故选：ACD
12．已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】ABC
【分析】利用空间向量求出点P到直线l的距离，即可判断作答
【详解】依题意，，，而直线l的方向向量为，
，，
因此点P到直线l的距离为，即PQ的最小值为，
所以选项A，B，C可能，选项D不可能.
故选：ABC
三、填空题
13．已知，，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量垂直列方程，从而求得的值.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
14．若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角为 ．
【答案】/
【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可
【详解】设直线l与平面α所成的角为，则由题意得
，
因为，
所以，
所以直线l与平面α所成的角为，
故答案为：
15．给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，；
③若向量与向量的模相等，则，的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有.
其中正确命题的序号是 .
【答案】①②
【分析】根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.
【详解】①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③，不能确定其方向，所以与的方向不能确定；④只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有.综上可知，正确命题为①②.
故答案为:①②
16．已知，，，为在或其延长线上的一点，若使最小，则 .
【答案】
【分析】根据为在或其延长线上的一点，设，再分别表示的坐标，然后由数量积运算结合二次函数的性质求解.
【详解】因为为在或其延长线上的一点，
设，
所以，
，
所以，
，
当时，最小，此时，.
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量的减法运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
四、解答题
17．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为，再结合空间向量数量积的运算法则，得解；
（2）由，代入运算，即可得解；
（3）取的中点，连接，，可推出，再在中，利用余弦定理求出的值，从而得解．
【详解】（1）
（2）；
（3）取的中点，连接，，则，，
在中，，，
由余弦定理知，，
所以．
18．已知，．
(1)求；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据空间向量的运算，先求出，，然后计算数量积；
（2）根据空间向量的运算，先求出，，根据垂直关系可知它们数量积为，据此计算.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以
（2）因为，，
所以，由（1），
因为，所以，
所以，解得
19．如图，已知PA垂直于正方形ABCD所成平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PAAD2．
（1）求M，N两点之间的距离；
（2）求证：MN⊥平面PCD；
（3）求直线PA与MN所成的角．
【答案】（1）； （2）见解析； （3）.
【分析】首先建立空间直角坐标系，
（1）利用空间直角坐标系得到，从而可得；
（2）由和，可得和，从而得证；
（3）通过计算即可得解.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系．
由题意易得，，，，，，
（1）由题易得，故，两点之间的距离为．
（2）由题易得，．
因为，所以，即，
因为，所以，即，
又，所以平面．
（3）由题易得，
因为，所以，
所以，故直线与所成的角为．
【点睛】求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．
20．如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角．
【详解】（1）如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
（2）由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.

(1)证明：∥平面；
(2)求平面与平面所成的角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，求出平面的一个法向量判断，
（2）求出平面与平面的法向量，利用空间向量求解，
（3）利用空间向量的距离公式求解.
【详解】（1）根据题意，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，

因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，
所以，
因为是棱的中点，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，则
，令，得，
所以，因为，
所以，因为平面，所以∥平面.
（2）由（1）得平面的一个法向量为，
由题可设平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（3）由（1）得平面的一个法向量为，
所以，所以点到平面的距离为.
所以点到平面的距离为.
22．如图所示，在三棱锥中，已知平面，
(1)证明：
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，是上靠近的三等分点
【分析】（1）由平面可得，结合，根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置.
【详解】（1）因为平面，平面，则，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，与平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得，
因为在线段上（不含端点），可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得，
由题意可得，
且，由题意可得，解得或（舍去），
所以存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．