2023-2024学年河南省商丘市名校高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省商丘市名校高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，未知，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．圆C：的半径为（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】B
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解圆的半径.
【详解】可化为，所以圆半径为，
故选：B.
2．已知直线，,则之间的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先对直线变形，再用平行线间距离公式进行求解.
【详解】已知平行直线与，
则与间的距离.
故选：B.
3．如果直线与直线垂直，那么m的值为（ ）
A．-2B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用直线垂直的充要条件，可得答案.
【详解】由题知：，解得．
故选：C．
4．如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，
∵，，∴．
故选：A．
5．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．内含D．以上均有可能
【答案】D
【分析】利用圆与圆的位置关系求解.
【详解】解：两个圆的圆心分别为，，且圆心在圆上，
因为圆的半径不确定，所以均有可能．
故选：D．
6．若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据圆的方程先求，再利用相切可得，从而可得离心率.
【详解】圆O：的圆心，半径为，
因为圆O：过双曲线的实轴端点，所以，
又圆O与直线l：相切，所以，则，故.
所以双曲线的离心率为．
故选:B．
7．方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，则问题转化为与有两个交点，数形结合即可求出的取值范围.
【详解】由，则，令，
则，所以曲线表示以为圆心，为半径的圆在轴及轴下方的半圆，
因为方程有两相异实根，即与有两个交点，
其中表示过点的直线，
作出直线与曲线的图象如图，
其中，且，
当时直线与曲线有且只有一个交点，
结合图象可知的取值范围是．
故选：A．
8．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意得是正四面体外接球的球心．设点是顶点在底面的射影，取的中点G，的中点F，求得，，，可判断C；求得，结合，，可判断B；由可判断A；求出，进而求得，可判断D．
【详解】由题意得是正四面体外接球的球心．

设点是顶点在底面的射影，则是正四面体的高，
是的外接圆半径，
对于A，因为底面，底面，
所以，所以，故A正确；
取的中点G，的中点F，连接，，,则O在上，
设中点为，
因为，则在等腰中，，则，
同理，在等腰中，，
则为外接球的球心，即与重合，则E在上，
因为，
则，，
因为，即，
则，解得．故C正确；
对于B， ，
所以，，
则，又，，则，
所以，故B正确；
对于D，因为，
所以，故D错误．
故选：D
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率越大，倾斜角越大
B．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或
【答案】BD
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可判断A，由直线的斜截式即可判断B，当直线过原点时，即可判断C，求得，即可判断D.
【详解】对于A，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项A错误；
对于B，若直线经过第一、二、四象限，则，，所以点在第二象限，选项B正确；
对于C，当直线过原点时，直线方程为，故C错误；
对于D，直线可化为，所以直线恒过定点，，，直线与线段相交，所以或，故D正确．
故选：BD．
10．已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，其中，作出可能的图形，由图形得出与的关系，再由两角和的正切公式求得直线的斜率．
【详解】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：
或
则或，，
当时，，
当时，，
故选：AD．
11．在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ）
A．棱B．平面C．D．
【答案】BD
【分析】根据，即可判断B；得中点为，根据平面向量的线性运算可得，从而可判断AC；证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断D.
【详解】解：由，
得共面，
又三个向量共起点，所以共面，
所以平面，故B正确；
则，
得，
得，
设得中点为，
则，所以，
因为，所以，
即在的中垂线上，故棱，故A错误；
则，
又，所以不平行，故C错误；
连接，则，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以，故D正确.
故选：BD.
12．已知直线l：交椭圆C：于不同两点A，B，且椭圆C经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C离心率为
B．椭圆C的焦距是
C．的面积是（O是坐标原点）
D．椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为
【答案】BCD
【分析】AB选项，待定系数法得到椭圆方程，进而得到离心率和焦距；C选项，联立直线与椭圆方程，求出两点纵坐标，进而由求出答案；D选项，设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案.
【详解】AB选项，将两点，坐标代入椭圆方程中，得，
解得：，，可得，于是，焦距为．
从而知A错误，B正确；
C选项，记，，AB的方程为，

由，消去x得，解得，，
直线l与x轴交于点，则，故C正确．
D选项，设与l：平行的直线为：，
当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，
联立与可得，，
由，可得，
当时，直线：，此时两平行线距离为，
当时，直线：，此时两平行线距离为，
故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．向量，的夹角为 .
【答案】/
【分析】利用空间向量夹角运算公式直接求解即可.
【详解】因为向量，，
所以，所以两向量夹角大小为.
故答案为：
14．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由方程表示椭圆，得到不等式组，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，方程表示椭圆，
则满足，解得且，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题．
15．在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，为的中点，，设直线与平面所成的角为，则 ．
【答案】
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，结合点平面的距离公式，求得点到平面的距离为，在直角中，即可求解.
【详解】因为底面，且平面，所以，，
又因为四边形为正方形，所以，
以为原点，所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
因为为的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
所以到平面的距离为，
在直角中，可得，
所以，所以．
故答案为：.

16．定义：圆锥曲线C：的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP（O是坐标原点），当为直角时，的值是 ．
【答案】或0
【分析】根据蒙日圆的定义求出题中蒙日圆的方程，结合题意可知P为直线l与圆的交点，进而求出直线l与该圆的的交点坐标，即可求得答案.
【详解】根据蒙日圆定义，椭圆相应的蒙日圆圆O方程为，
则由题意可知当为直角时P点在圆上；
圆心到直线l：的距离，
即直线l与圆O相交，设交点为A、B，联立，
可得或，不妨取点、，
因为P是直线l：上的一点，为直角，
即点P为直线l与圆的交点；
即点P与点A或B重合，此时，或，
所以直线OP的斜率为或0，
故答案为：或0.
四、未知
17．（1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
（2）已知中，，，，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）利用截距互为相反数，分两种情况以及直线所过点可求答案；
（2）根据三角形的特征求出的坐标，求出直线斜率，可得方程.
【详解】（1）若直线l经过原点，又过点，则其斜率为，
故其方程为，即；
若直线l不经过原点，设其方程为，又其过点，则，
解得，故直线l方程为，整理可得；
综上所述，满足题意的直线方程为或．
（2）因为，，
设BC交x轴于点M，则根据条件可知为等边三角形，则，M为BC中点，则．
，故AC直线方程为，
即，故AC直线方程为．
五、解答题
18．已知，，动点C满足，直线l：．
(1)求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；
(2)若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，求实数m的值．
【答案】(1)，动点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆
(2)
【分析】（1）根据题意，设，由两点间距离公式列出方程，代入计算，化简，即可得到结果；
（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合弦长公式，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设，因为动点C满足，所以，
整理可得，即，
即动点C的轨迹方程为．
动点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
（2）设圆的半径为，圆心到直线l的距离为d，则，
因为，则，
因为，所以，即，解得．
19．如图，在四棱锥中，面，，且，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）在直角梯形中，由条件可得，即．再由面，得，利用线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；
（2）由（1）知，，则为二面角的平面角为，求得．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面的一个法向量，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：在直角梯形中，由已知可得，，
可得，
过作，垂足为，则，求得，
则，∴．
∵面，
∴，
又，∴平面，
∵平面，
∴平面平面；
（2）解：由（1）知，，则为二面角的平面角为，
则．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
．
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
∴直线与平面所成角的正弦值为：
．
【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.
六、未知
20．在平面直角坐标系中，焦点在轴上的双曲线过点，且有一条倾斜角为的渐近线，直线与相交于两点．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与该双曲线的已知渐近线垂直，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线C的标准方程为，根据题意得到，且，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，不妨设直线l的斜率为，得到直线的方程为，联立方程组，结合弦长公式，即可求解.
【详解】（1）解：设双曲线C的标准方程为，
可得渐近线方程为，
因为双曲线C过点，且有一条倾斜角为120°的渐近线，
可得，且，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：由（1）可知：该双曲线的渐近线方程为，所以直线l的斜率为，
因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，
因此不妨设直线l的斜率为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，，则有，，
则，即的长度为．
七、解答题
21．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍” (如图2)。
(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取线段中点，连接、，可得四边形是平行四边形，然后线面平行的判定定理即得；
（2）由题可得即为二面角的平面角，以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，求解平面ABE和平面OAB的一个法向量，利用空间向量夹角公式即得．
【详解】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴且，
在图1中且，且．
所以在图2中，且，
∴且，
∴四边形AOHG是平行四边形，则，
由于平面GCF，平面GCF，
∴平面GCF．
（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，，
∴即为二面角的平面角．
∴，
以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，
设，则、、，
∴，，
易知平面ABE的一个法向量，
设平面OAB的一个法向量，
由，得，取，则，，
于是平面的一个法向量，
∴，
∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．
八、未知
22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若，求PQ所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）利用过原点的直线截得的弦长可得，由对称性可知，即可求出椭圆方程；
（2）易知，可得，利用面积比可知，对直线的斜率是否存在分类讨论可得不合题意，联立直线和椭圆方程利用韦达定理解出斜率即可求得直线方程.
【详解】（1）由题意，过点的直线l经过原点，
所以l的方程为，且点A，B关于原点对称．
设，将代入，化简得，即，∴．
∵，∴．
根据对称性，
根据椭圆定义得，∴．∴．
所以C的方程为．
（2）易知左焦点，又点E在x轴的投影为点，所以，如下图所示：
设，则，可得，即，
易知，利用三角形相似可得，可得，
所以，即，
设，，则，，
即．
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为，
此时，不符合条件．
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，
联立得．
，解得，
可得，即，解得
综上，PQ所在直线的方程为或．
【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积比例问题时，往往根据解三角形的面积公式将面积比转化为线段长度的比值或点坐标的比值，再由韦达定理解出相关参数即可实现问题求解.