2023-2024学年山东省泰安市高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省泰安市高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程即得.
【详解】因为圆的圆心为，
则圆的圆心坐标是.
故选：C．
2．已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（ ）
A．B．0C．2D．±2
【答案】A
【分析】由两直线平行的条件计算．
【详解】由题意，，
时，方程是，即，的方程是，两直线重合，舍去，
时，方程可化为，方程化为，平行．
故选：A.
3．在平行六面体中，M为与的交点，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算进行求解．
【详解】．
故选：A．
4．已知向量，，，若向量，，共面，则实数等于（ ）
A．10B．8C．5D．3
【答案】A
【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量．
【详解】解：向量，，共面，存在实数，使得，即．
，．
故选：A．
5．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】D
【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】如图，
以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.
设平面的法向量为，则，即，得，
令，则，所以点E到平面的距离为．
故选：C
7．若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段的垂直平分线的方程为
C．公共弦的长为
D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为
【答案】D
【分析】对于，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，判断出错误；对于，线段的垂直平分线过圆心，且斜率可求得为，即可求出其方程，判断出错误；对于，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求解即可；对于，根据圆心到直线的距离及圆的半径即可求得，做出判断.
【详解】对于,依题意知，两圆相交于，
故两圆方程作差可得即，
即为两圆公共弦所在直线方程，故错误；
对于，圆，则其圆心为，,
则线段的垂直平分线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，
即，故错误；
对于,圆心到直线的距离，
圆半径，所以,故错误；
对于,圆心到直线的距离,圆半径,
则点P到直线的距离的最大值为，故正确，
故选：.
8．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】首先化简题给条件，得到其为以为圆心半径为2的圆的右半部分，再利用数形结合即可求得的最大值，最小值.
【详解】由，可得，
此方程表示的曲线为以为圆心半径为2的圆的右半部分，
则表示点与此半圆上点的距离，
其最大值为，最小值为，
又，，，
则最大值为，最小值为.
故选：B
二、多选题
9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若是直线l的方向向量，是直线m的方向向量，则l与m垂直
B．若）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则
C．若，分别为平面，的法向量，则
D．若存在实数x，y，使，则P，M，A，B共面
【答案】AD
【分析】根据空间向量的坐标运算和相关概念结合空间中线面关系逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
可知，所以l与m垂直，故A正确；
对于选项B：因为，
可知，所以或∥，故B错误；
对于选项C：因为，
所以平面，不相互垂直，故C错误；
对于选项D：若存在实数x，y，使，
则为共面向量，所以P，M，A，B共面，故D正确；
故选：AD.
10．下列说法错误的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线与直线的距离为1
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2
D．经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为
【答案】ABD
【分析】举反例否定选项A；求得直线与直线的距离判断选项B；求得直线与两坐标轴围成的三角形的面积判断选项C；求得经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程判断选项D.
【详解】选项A：当直线倾斜角为时，该直线斜率不存在.判断错误；
选项B：直线与直线的距离为.判断错误；
选项C：直线与两坐标轴的交点分别为和，
则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.判断正确；
选项D：经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程
为和.判断错误.
故选：ABD
11．已知圆，一条光线从点射出经x轴反射，则下列结论正确的是（ ）
A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为
B．圆C关于直线对称的圆的方程为
C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则
D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则的面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出点关于x轴的对称点，再结合ACD中条件计算判断ACD；求出圆心关于直线对称点判断B.
【详解】依题意，反射光线所在直线过点，圆的圆心，半径，
对于A，反射光线平分圆C的周长，反射光线所在直线的方程为，即，A正确；
对于B，设点关于直线对称点，则，解得，
因此圆C关于直线对称的圆的方程为，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，反射光线所在直线被圆所截弦长，
的面积，当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：ACD
12．已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则M的轨迹长度为
B．若，则M到直线的距离的最小值为
C．若，则，且直线平面
D．若，则与平面所成角正弦的最小值为
【答案】AC
【分析】对于A，由已知可推得在以点为圆心，为半径的圆上；对于B，作图，即可根据圆的性质得出最小值；对于C，先证明平面，结合，即可得出平面；对于D建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，表示出，根据不等式的性质，即可判断.
【详解】对于A，因为，所以在以为球心，为半径的球上.
又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上.
因为，平面，，，所以，
所以，为以点为圆心，为半径的圆上，如图1，则M的轨迹长度为，故A正确
对于B，如图1，，则，到直线的距离的最小值为，故B错误；
对于C，如图2，连结.
因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，，
所以，平面.
又平面，所以.
同理可得，.
又平面，平面，，
所以，平面.
又，平面，所以直线平面，故C正确；
对于D，以点为坐标原点，分别以为轴的正方向，
如图3建立空间直角坐标系，则，，，，，，.
因为，设，，.
设是平面的一个法向量，
则，即，
取，则，是平面的一个法向量.
则，
又，当时，有最小值1，
所以，，即，
所以，与平面所成角正弦的最大值为，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
13．已知，，且，则
【答案】/
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列方程求.
【详解】因为，，，
所以，解得：.
故答案为：.
14．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是
【答案】
【分析】联立方程组求得交点，根据题意求得所求直线的斜率为，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】设两直线和的交点为，
联立方程组，解得，即两直线的交点为，
由直线的斜率为，可得所求直线的斜率为，
所以所求直线的方程为，即.
故答案为：.
15．已知点，点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设出动点M的坐标，根据M是线段AB的中点，利用中点坐标公式求出B点的坐标，再根据点B在圆上，代入圆的方程得到M的轨迹方程.
【详解】设，由定点，且M是线段AB的中点，
由中点坐标公式可得，即，
又点B在圆上，故，即，
整理得，
所以线段AB中点M的轨迹方程是,
故答案为：.
16．已知O为坐标原点，A，B均在直线上，，动点P满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，，根据条件可得，得到圆心坐标后可求得圆心在直线上，利用到直线的距离减去半径即可求得的最小值.
【详解】设，，
因为，所以，
因为，所以，
即，
整理得，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
易得圆心在上，
又点到直线的距离，
故.
故答案为：.
四、解答题
17．已知空间三点，，．
(1)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标；
(2)求点C到直线AB的距离．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）根据点线距离向量公式求解即可.
【详解】（1），，
设，
，，
，．
，整理得．
，
．
或．
（2）取，，
则，．
C到直线AB的距离为．
18．已知三个顶点分别为，，．
(1)求的面积；
(2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）求出直线AB的方程、点C到直线AB的距离、，由可得答案；
（2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得可得答案.
【详解】（1），，，
直线AB的斜率，
直线AB的方程为，
点C到直线AB的距离，
，
；
（2）由题知，直线AB的斜率，
直线AC的方程为，
设，则，
∵点M，N分别在直线AB，AC上，
，解得，
直线l的斜率，
直线l的方程为，
即．
19．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，．
(1)若，求；
(2)求直线EF与AB所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求得的值；
（2）利用空间向量夹角公式即可求得直线EF与AB所成角的余弦值．
【详解】（1）
．
，，，
（2）设，，，
由（1）知，，
．
又，
又．
．
直线EF与AB所成角的余弦值为．
20．已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的方程；
（2）利用点到直线距离公式和数形结合即可求得直线l的方程．
【详解】（1）设圆C的标准方程为，
∵圆心C在直线上，
，①
∵圆C与y轴相切，
，②
又∵圆C被x轴截得的弦长为，
，③
联立①②③解得，，，，
圆C的方程为．
（2）∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，
圆心C到直线l的距离．
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，
圆心C到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l斜率不存在时，设直线l的方程为，
即，
圆心C到直线l的距离
，
解之得，，
直线l的方程为．
综上，所求直线l的方程为或．
21．如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将沿折起，使得点D到点P位置，且．
(1)求证：平面平面；
(2)已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置．
【答案】(1)证明见解析;
(2)点M为线段的中点
【分析】（1）先证明平面，进而证得平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示平面与平面的夹角为，进而确定点M的位置.
【详解】（1）∵E为中点，，
，
又，四边形为矩形，
，
，
．
又，，AP，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）过点E作平面，以E为坐标原点，以，，所在直线
分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，．
，，，
设，，
则，
设是平面的一个法向量，则
即，
取，则，
．
又为平面的一个法向量，
，
∵平面与平面的夹角为，
，解得，
点M为线段的中点．
22．如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．
(1)求证：直线过定点；
(2)若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先求出A，B在以PC为直径的圆上，再求出以PC为直径的圆M的方程，最后由两个圆求出公共弦即可；
（2）先考虑一条切线斜率不存在的情况，求出面积，再考虑斜率都存在的情况下求出面积，最后得到面积的最小值即可.
【详解】（1）由题知，圆的标准方程为，
所以圆心，半径，
因为是圆的两条切线，所以，，
所以A，B在以PC为直径的圆上，
又因为，且PC的中点为，
所以以PC为直径的圆M的方程为，
化简可得，
所以AB为圆C与圆M的公共弦，
所以直线AB的方程为，令，解得，
所以直线过定点；
（2）当PA，PB有一条斜率不存在，即时，
不妨设PA的斜率不存在，则直线PA的方程为，此时，，
设直线PB的方程为，
由圆心到PB的距离，解得，
所以直线PB的方程为，
所以，
此时，；
同理斜率不存在时；
当PA，PB斜率均存在，即时，
设过点的切线方程为，即，
因为PA，PB与圆C相切，
所以圆心C到直线的距离，
即，，
设PA，PB的斜率分别为，，
则，，
又点在直线上，点在直线上，
，，
所以
而，
所以．
又因为且，所以当时，，
此时．
综上，面积的最小值为．
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将面积问题转化为最小的问题，进而转化为斜率的问题，进而应用韦达定理解决.