人教版七年级数学上册常考提分精练 专题05 有理数的加减乘除乘方的实际应用（原卷版+解析版）

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专题05 有理数的加减乘除乘方的实际应用1．四个村庄，，，之间有小路相连，每条小路的长度如图所示（单位：）．从任一村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达）的最长路线的长度是（       ）A． B． C． D．2．小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次3．甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了（       ）米A．3000 B．4000 C．5000 D．60004．甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，使三个瓶中水量的比为3：2：1，那么乙瓶需倒出水 _____升．5．众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史的长河就像一条如图的“缺零数轴”一样．比如阿基米德出生于公元前287年，公元前287年就可以用“缺零数轴”中的﹣287表示，那么，公元a年和公元前b相差的年数为_____．6．斐波那契数列，是由一串有数学美感的数字排列而成，因以兔子繁殖为例作引入，故又称为“兔子数列”．仿照“兔子数列”有如下问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，假设一对兔子每个月能生出2对小兔子来，且兔子不会死亡．育才校园养了1对小兔子：一个月后，小兔子没有繁殖能力，所以还是1对；两个月后，兔子生下两对小兔子，所以是3对；三个月后，小兔子没有繁殖能力，老兔子生下2对小兔子，所以一共是5对；以此类推，八个月后，一共有________ 对兔子．7．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到对面乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：（图中箭头↑所示方向为北）假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B处所用的最短时间为________．8．小明有一把两条直角边都带有刻度的三角尺，直角顶点的刻度为．爱研究数学的小明做了一个实验，他把三角尺的直角边放到水平的数轴上，通过左右移动三角尺子，他发现：数轴上表示数字和的点刚好能与直角边上的刻度和分别重合，如图1，于是他又将该三角板尺子绕着此时的点顺时针旋转了，结果他又发现另一条直角边上的点与数轴上表示数字的点也重合，如图2，请你帮助小明计算一下，则点在直角边上所表示的刻度应为________．三、解答题9．仔细观察下列规律：……请完成下列题目（结果可以保留指数形式）（1）计算：________（直接写出答案）（2）发现：__________（直接写出答案）（3）计算：10．已知一个三角形院墙，第一条边长为3a＋2b，第二条边比第一边长a﹣b，第三条边比第二条边短2a．（1）求这个三角形的周长（用含有a、b表示）．（2）当求a＝2米，b＝1米时，这个三角形的周长是多少米？（3）在（2）的条件下，围成院墙的材料20米以内收费每米180元，超过的部分每米只收费150元，请问围成这个三角形的院墙至少要花费多少钱？11．大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？12．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：(1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？(2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？13．（1）观察下列各式：根据你发现的规律回答下列问题：①的个位数字是___________；的个位数字是___________；②的个位数字是___________；的个位数字是___________；（2）自主探究回答问题：①的个位数字是___________，的个位数字是___________；②的个位数字是___________，的个位数字是___________．（3）若n是自然数，则的个位上的数字（       ）A．恒为0                 B．有时为0，有时非0            C．与n的末位数字相同          D．无法确定14．若一个三位数t＝（其中a，b，c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为F（t）．例如，246的差数F（246）＝642﹣246＝396，452的差数F（452）＝542﹣245＝297．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，则a＝　　．（2）若一个三位数t＝（其中a、b都不为0）能被4整除，将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“循环数”．例如：因为344＝4×86，443＝4×110+3，434＝4×108+2．所以344是4的一个“循环数”．求出所有三位数中4的“循环数”t，并求F（t）最大值．人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每沿人行横道穿过一条马路乙路口每在甲、乙两路口之间（段）星期一二三四五六日送餐量（单位：单）-3+4-5+14-8+7+12专题05 有理数的加减乘除乘方的实际应用1．四个村庄，，，之间有小路相连，每条小路的长度如图所示（单位：）．从任一村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达）的最长路线的长度是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】因为从某个村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达），最多需要经过条小路，从而可得最长线路长，再确定经过的路径即可.【详解】解：因为从某个村庄出发，不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达），最多需要经过条小路，所以为达到不重复走任意一条小路（四个村庄都要到达）的最长路线的长度为： 路径为： ，故选：【点睛】本题考查的是分析问题的能力，有理数的加法运算，理解题意得出为达到目的最多需要经过条小路是解题的关键.2．小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【答案】B【解析】【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解．【详解】解：由题意得第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张，……，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，1024＞1000，所以至少需要10次．故选：B【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键．3．甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了（       ）米A．3000 B．4000 C．5000 D．6000【答案】B【解析】【分析】根据小狗用的时间是甲、乙两人相遇用的时间，先求出甲、乙两人相遇的时间，然后乘以小狗的速度即可求出小狗的路程．【详解】解：由题意知，甲、乙两人相遇的时间为分钟∴小狗共跑了米故选B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键在于明确小狗用的时间是甲、乙两人相遇用的时间．4．甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，使三个瓶中水量的比为3：2：1，那么乙瓶需倒出水 _____升．【答案】3升或5【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出最后三个瓶中水的升数，再根据题意可以确定最少的为甲瓶中的水，然后分两种情况，列出相应的方程，再求解即可．【详解】解：（10+4）÷（3+2+1）＝14÷6＝（升），则最后三个瓶中的水分别为：（升），（升），（升），∵甲、乙两瓶中分别有水4升和10升，现要从这两瓶中各倒一些水到空的丙瓶中，∴最后甲瓶中一定有水升，则乙瓶中有水7升或升，设乙瓶倒出水x升，则10﹣x＝7或10﹣x＝，解得x＝3或，即乙瓶需倒出水3升或升，故答案为：3升或．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，注意要分类讨论，不要漏解．5．众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史的长河就像一条如图的“缺零数轴”一样．比如阿基米德出生于公元前287年，公元前287年就可以用“缺零数轴”中的﹣287表示，那么，公元a年和公元前b相差的年数为_____．【答案】．【解析】【分析】根据公元1年与公元前1年相差1年，公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，公元a年和公元前b相差的年数为即可．【详解】解：∵公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，∴公元a年和公元前b相差的年数为，故答案为：．【点睛】本题考查“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法计算，掌握“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法列式时与有0数轴相差1计算是解题关键．6．斐波那契数列，是由一串有数学美感的数字排列而成，因以兔子繁殖为例作引入，故又称为“兔子数列”．仿照“兔子数列”有如下问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，假设一对兔子每个月能生出2对小兔子来，且兔子不会死亡．育才校园养了1对小兔子：一个月后，小兔子没有繁殖能力，所以还是1对；两个月后，兔子生下两对小兔子，所以是3对；三个月后，小兔子没有繁殖能力，老兔子生下2对小兔子，所以一共是5对；以此类推，八个月后，一共有________ 对兔子．【答案】171【解析】【分析】根据大兔，中兔与小兔进行分类大兔的2倍是小兔，小兔1个月后变中兔，三类兔子之和是总共有的兔子，根据有理数的加法求和即可．【详解】解：设两月后的兔子称“大兔”，一个月后的兔子称“中兔”，刚出生的兔子称“小兔”一个月后中兔1对，共1对兔，二个月后大兔1对，小兔2对，共有1+2=3对兔，三个月后大兔1对，中兔2对，小兔2对，共有1+2+2=5对兔，四个月后大兔3对，中兔2对，小兔6对，共有3+2+6=11对兔，五个月后大兔5对，中兔6对，小兔10对，共有5+6+10=21对兔，六个月后大兔11对，中兔10对，小兔22对，共有11+10+22=43对兔七个月后大兔21对，中兔22对，小兔42对，共有21+22+42=85对兔，八个月后大兔43对，中兔42对，小兔86对，共有43+42+86=171对兔．故答案为171．【点睛】本题考查有理数的加法，根据分类确定大兔，中兔与小兔的对数是解题关键．7．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到对面乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：（图中箭头↑所示方向为北）假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B处所用的最短时间为________．【答案】8【解析】【分析】根据A向东过路口，等待0.5秒后，再向北过路口，在CD对面平行的路线到乙路口，共用时间7.5秒，当到达乙路口时东西向的交通信号灯正处于绿灯，不用等待，过路口后直接到达B点．【详解】解：由已知得：（min）故答案为：8．【点睛】本题考查有理数的加法运算．理清时间，弄清路口是否等待是解题关键．8．小明有一把两条直角边都带有刻度的三角尺，直角顶点的刻度为．爱研究数学的小明做了一个实验，他把三角尺的直角边放到水平的数轴上，通过左右移动三角尺子，他发现：数轴上表示数字和的点刚好能与直角边上的刻度和分别重合，如图1，于是他又将该三角板尺子绕着此时的点顺时针旋转了，结果他又发现另一条直角边上的点与数轴上表示数字的点也重合，如图2，请你帮助小明计算一下，则点在直角边上所表示的刻度应为________．【答案】10【解析】【分析】根据题意先求得点在数轴上表示的数，即可求得的长，进而求得点在直角边上所表示的刻度．【详解】数轴上表示数字和的点刚好能与直角边上的刻度和分别重合，，即数轴上1个单位长度对应三角尺上10个单位，，点在数轴上表示的数表示是，直角边上的点与数轴上表示数字的点也重合，，点在直角边上所表示的刻度为10．【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，求得点在数轴上表示的数是解题的关键．三、解答题9．仔细观察下列规律：……请完成下列题目（结果可以保留指数形式）（1）计算：________（直接写出答案）（2）发现：__________（直接写出答案）（3）计算：【答案】（1）；（2）；（3）1．【解析】【分析】（1）首先根据题意可以发现规律2得a次方减去2的b次方（a，b为两个相邻的正整数，a＞b）可得a的b次方，根据规律可得答案；（2）根据（1）中的规律可得答案；（3）依据（1）中的规律依次相减即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3）＝＝＝．．．．．＝＝1．【点睛】本题考查有理数乘方运算的规律、探索与表达规律．能找出题干所给的规律是解题关键．10．已知一个三角形院墙，第一条边长为3a＋2b，第二条边比第一边长a﹣b，第三条边比第二条边短2a．（1）求这个三角形的周长（用含有a、b表示）．（2）当求a＝2米，b＝1米时，这个三角形的周长是多少米？（3）在（2）的条件下，围成院墙的材料20米以内收费每米180元，超过的部分每米只收费150元，请问围成这个三角形的院墙至少要花费多少钱？【答案】（1）9a＋4b；（2）22米；（3）3900元．【解析】【分析】（1）先求出第二边长，第三边长，然后根据三角形的周长利用整式的加法求和即可；（2）把a＝2米，b＝1米代入代数式求值即可；（3）把三角形的周长分成两部分20×180+2×150计算即可．【详解】解：（1）∵第一条边长为3a＋2b，第二条边长为3a＋2b +a﹣b=4a＋b，第三条边长为4a＋b -2a=2a＋b这个三角形的周长=3a＋2b+4a＋b+2a＋b=9a＋4b；（2）a＝2米，b＝1米时，9a＋4b=9×2+4×1=18+4=22(米)；（3）围成这个三角形的院墙至少要花费20×180+2×150=3600+300=3900(元)．【点睛】本题考查列代数式，整式的加法，代数式的值，有理数乘法运算，掌握列代数式，整式的加法，代数式的值，有理数乘法运算是解题关键．11．大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．【解析】【分析】（1）根据780元＞500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元九折+超过部分八折，再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可．【详解】解：（1）∵李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元＞500元，∴他应付钱为：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为198÷0.9=220元，第二次去该超市购物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，两次购物标价为220+630=850元，∴王阿姨应付钱为：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，198+554-730=22元，王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．【点睛】本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键．12．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：(1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？(2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？【答案】(1)43单(2)元【解析】【分析】（1）由40单加上超过或不足部分数据的平均数即可得到答案；（2）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求解代数和即可.(1)解：该外卖小哥这一周平均每天送餐为： 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐43单.(2)解：该外卖小哥这一周工资收入为 【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键.13．（1）观察下列各式：根据你发现的规律回答下列问题：①的个位数字是___________；的个位数字是___________；②的个位数字是___________；的个位数字是___________；（2）自主探究回答问题：①的个位数字是___________，的个位数字是___________；②的个位数字是___________，的个位数字是___________．（3）若n是自然数，则的个位上的数字（       ）A．恒为0                 B．有时为0，有时非0            C．与n的末位数字相同          D．无法确定【答案】（1）①9；7     ②7；7   （2）①3；3       ②8；8   （3）A【解析】【分析】（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案．【详解】解：（1）①3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是9；13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是7；故答案为：9；7；②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是7，的个位数字是7；故答案为：7；7；（2）①7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是3，的个位数字是3故答案为：3；3②2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是8，的个位数字是8故答案为：8；8（3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同的个位上的数字恒为0故选A．【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．14．若一个三位数t＝（其中a，b，c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为F（t）．例如，246的差数F（246）＝642﹣246＝396，452的差数F（452）＝542﹣245＝297．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，则a＝　　．（2）若一个三位数t＝（其中a、b都不为0）能被4整除，将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“循环数”．例如：因为344＝4×86，443＝4×110+3，434＝4×108+2．所以344是4的一个“循环数”．求出所有三位数中4的“循环数”t，并求F（t）最大值．【答案】（1）9；（2）495【解析】【分析】（1）由一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，可得a＝9，依此即可求解；（2）由一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，可得b＝2或4或6或8，根据将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，可得a＝7或3，再根据将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，可得b＝4或8，可得4的“循环数”t为344，384，744，784，进一步求得F（t）的最大值．【详解】解：（1）∵一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，∴F（a2b）＝100a+10b+2﹣（200+10b+a）＝99a﹣198＝693，解得a＝9．故答案为：9；（2）∵一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，∴b＝2或4或6或8，∵将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，∴a＝7或3，∵将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，∴b＝4或8，∴4的“循环数”t为344，384，744，784，∴F（344）＝443﹣344＝99，F（384）＝843﹣348＝495，F（744）＝744﹣447＝267，F（784）＝874﹣478＝396．F（t）最大值是495．【点睛】此题考查了同余问题，本题主要应用“差数”“循环数”的定义和整数性质，先将三位“差数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数．这也是解答数学竞赛题的一种常用方法．人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每沿人行横道穿过一条马路乙路口每在甲、乙两路口之间（段）星期一二三四五六日送餐量（单位：单）-3+4-5+14-8+7+12