2023-2024学年黑龙江省龙东五地市高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省龙东五地市高二上学期期中联考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线的方向向量与斜率的关系求解直线的斜率即可.
【详解】由方向向量知：．
故选：B.
2．若抛物线上的点到直线的距离等于，则点到焦点的距离（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义可求得的值.
【详解】抛物线的准线为，由抛物线的定义知，
点到焦点的距离等于其到准线的距离，即．
故选：D.
3．定义：既是中心对称也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下列方程所表示的曲线不是“尚美曲线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据各选项表示的曲线类型可判断.
【详解】A选项：表示以为圆心，为半径的圆，既关于中心对称也关于轴，轴对称，是“尚美曲线”；
B选项：表示焦点在轴上的椭圆，既关于中心对称也关于轴，轴对称，是“尚美曲线”；
C选项：表示焦点在轴上的双曲线，既关于中心对称也关于轴，轴对称，是“尚美曲线”；
D选项：，即表示的是关于轴对称的抛物线，不是“尚美曲线”；
故选：D.
4．已知椭圆：，：的离心率分别为，，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】直接计算离心率得到，解得答案.
【详解】椭圆的离心率，椭圆的离心率，
又，解得．
故选：A
5．圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数.
【详解】因为两个圆：和：，
即，，
所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，
因为，所以两圆外切，有3条公切线，
故选：C.
6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案.
【详解】，
则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，
即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，
即．
故选：A.
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】由椭圆的对称性以及得四边形是矩形，然后利用勾股定理和椭圆的定义进而求解结论．
【详解】因为直线过原点，根据椭圆的对称性得M，N两点关于原点对称，
又，且被点O平分，所以四边形为矩形，
对角线长为2c，即，且，
所以，
即，
而矩形的面积为，得，
故选：B.
8．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，圆是以为直径的圆，为圆上一点，直线交的右支于点，且为的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】依题意可得，从而得到，再求出，在中，由余弦定理求出，过作轴，垂足为，即可求出点坐标，代入双曲线方程，得到，即可求出离心率.
【详解】因为线段的中点在圆：上，所以，
所以，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
过作轴，垂足为，则，所以，，
所以，所以，得，
所以，，所以离心率．
故选：C
二、多选题
9．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】BD
【分析】根据直线截距的概念分别求解直线在x轴和y轴上的截距，列方程即可得实数a的值.
【详解】依题意，，则直线中当得，当得，
则直线在x轴和y轴上的截距分别为和，
因此，解得或．
故选：BD.
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为6
C．的周长为10D．存在点P，使得为等边三角形
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的方程确定a、b、c，即可判断选项A、B、C；当点P在短轴端点时有，判断与是否相等，即可判断选项D.
【详解】由椭圆C：，可得，，则，
对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确；
对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确；
对于选项C，的周长为，故C错误；
对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确．
故选：ABD
11．已知点，，动点P满足，则（ ）
A．点P的轨迹方程为椭圆B．点P到原点O的距离的最小值为2
C．△PAB面积的最大值为12D．的最小值为-18
【答案】BC
【分析】根据动点性质得点P的轨迹方程为圆，即可判断A；根据点P的轨迹确定点P到原点O的距离的最小值，及PAB面积的最大值即可判断B，C；再数量积的坐标运算即可得的最小值来判断D.
【详解】设动点，则由得：，
则化简得：，故A错误；
所以点P轨迹是圆心为，半径为4的圆，则点P到原点O的距离最小值为，故B正确；
因为A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且，所以P点的纵坐标最大值为4，△PAB面积的最大值为，故C正确；
又，因为，所以，故D错误．
故选：BC.
12．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点M，则（ ）
A．B．若，则直线AB的斜率为
C．的最小值为8D．的最小值为12
【答案】AB
【分析】由焦半径公式可判断A；设直线AB的方程为，联立抛物线方程消去x，利用韦达定理代入求解，可判断B；利用韦达定理代入，结合基本不等式可判断C；表示出切线方程，联立抛物线方程消元，根据求出斜率，由两直线斜率关系可知，然后得，再由弦长公式可判断D.
【详解】对于A：由题知焦点，准线，所以．
易知，A不可能是坐标原点，即，所以，A正确；
对于B：显然直线AB不垂直于y轴，
设直线AB的方程为，，，
由，消去x得：，于是，，
，
解得，直线AB的斜率，B正确；
对于C：由选项B知，
，
当且仅当，即时取等号，C错误；
如图，显然抛物线C在点A处的切线斜率存在且不为0，
设此切线方程为，由
消去x得：，
则，解得，
同理，抛物线C在点B处的切线斜率，
则，于是，
因此，
当且仅当时取等号，D错误．
故选：AB
【点睛】圆锥曲线与直线的综合问题的考察，最主要的一个内容就是设而不求思想，通常设出直线方程和交点坐标，联立曲线方程消元，利用韦达定理表示题设及所求，然后化简整理进行求解.
三、填空题
13．写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程 ．
①焦点在x轴上；②离心率为．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据焦点位置设出方程，再由离心率公式并取得出方程.
【详解】双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为（，），
由于双曲线的离心率为，所以，又，所以，
所以可取，，此时双曲线的一个标准方程为．
故答案为：（答案不唯一）
14．若直线与直线平行，则与之间的距离为 ．
【答案】
【分析】根据直线平行求出a，然后由平行直线间的距离公式可得.
【详解】据两直线平行，可得，解得，
所以两直线的方程，，
整理得，
根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离．
故答案为：
15．已知抛物线的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若，则 ．
【答案】2
【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解.
【详解】记抛物线的准线为，
如图，作于D点，交y轴于A点，则，
因为，所以为的中点，
所以，所以，解得．
故答案为：2
16．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率 ．
【答案】
【分析】利用过点F且斜率为1的直线与椭圆方程的联立，求出弦长MN再求出对应得垂直平分线，并得到点P，根据数量关系求解离心率.
【详解】由题可设直线l的方程为：，，，
线段MN的中点，
联立，化为，
所以，，
所以，
则．
所以，所以MN的垂直平分线为：，令，解得，所以．
所以，
所以，则，所以椭圆C的离心率为．
故答案为：
四、解答题
17．已知△ABC的三个顶点为，，．求：
(1)AB所在直线的方程；
(2)AB边上的高所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式，即可得到结果；
（2）根据题意，先得到AB边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式即可得到结果.
【详解】（1）依题意，直线AB的斜率，
所以直线AB的方程为，即．
（2）由（1）知，直线AB的斜率为2，所以AB边上的高所在直线的斜率为，
所以AB边上的高所在直线的方程为，即．
18．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点且与圆C相切的直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆心C的坐标为，由，求出的值，得到圆心坐标，求出半径得圆C的标准方程；
（2）设出切线方程，由圆心到直线距离等于半径，求出未知系数.
【详解】（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为，
又，即，解得．
所以圆心，圆的半径，
故圆C的标准方程是．
（2）直线过点且与圆C相切，斜率不存在时不满足条件，
设切线斜率为，切线方程为，即．
直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为．
19．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程；
（2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积．
【详解】（1）由题意得：，解得，，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，联立方程组消去y整理得，
则，，，
，
原点到直线AB的距离，
所以．
20．已知点是抛物线上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线l必过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）将点P坐标代入抛物线方程求出p即可；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，利用韦达定理代入，求出t即可得证.
【详解】（1）由题可知，，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）因为A，B位于对称轴异侧，所以l与对称轴不平行，
设直线l的方程为，，，且，
联立，消去x可得，
则，且，，即，
所以，
由，得，即，解得（舍去）或，
故直线l的方程为，所以直线l必过定点，得证．

21．已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求得，从而可得椭圆方程；
（2）分直线斜率存在与不存在，当直线斜率不存在时，求出直线方程，与椭圆方程联立直接求出的坐标，从而求出结果；当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为△OFP的面积为，则有，解得，
又因为在椭圆C上，则，解得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立得，，
又因为，所以，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立方程，消去y得：，
则，
由韦达定理得，，
所以，
，
综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为．
【点睛】易错点点睛：第（2）问求解时易忽视直线斜率不存在的情况.一般知道一个点求直线方程时，利用点斜式方程，设直线方程时，要分斜率存在与不存在两种情况求解.
22．在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为8，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，点为直线上的动点，则是否存在这样的点，使得△是正三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）设圆心，半径为r，根据直线与圆的位置关系即可得得的轨迹为曲线的方程；
（2）根据直线与抛物线的位置关系，即可得交点坐标关系，再根据△是正三角形，利用正三角形的几何性质即可得求得符合的的坐标.
【详解】（1）设圆心，半径为r，
因为圆心为M的动圆过点，所以，
因为圆心为M的动圆在y轴上截得的弦长为8，所以，
所以，即，所以曲线E是抛物线，且方程为．
（2）由题易知直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为，、、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
所以，则线段AB的中点为，
若，则轴，此时，直线AB的方程为，联立可得
则，此时，NC位于x轴上，则，
所以△ABC为直角三角形，不合乎题意，所以，
则，可得，则，
则，
而，
由，可得，解得，
所以，存在点满足条件．