浙江省杭州市2023-2024年九年级上学期数学期中试卷（试卷+解析）

这是一份浙江省杭州市2023-2024年九年级上学期数学期中试卷（试卷+解析），文件包含浙江省杭州市2023-2024年九年级上学期数学期中试卷解析部分docx、浙江省杭州市2023-2024年九年级上学期数学期中试卷试卷部分docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买两张彩票，一定中奖B．打开电视，正在播放新闻联播
C．抛掷一枚硬币，正面向上D．三角形三个内角和为180°
【解析】【解答】解：A、购买两张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
D、三角形三个内角和为180°，是必然事件，符合题意.
故答案为：D.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.
2．二次函数y＝-2（x-1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（-1，2）C．（1，-2）D．（-1，-2）
【解析】【解答】解：二次函数y＝-2（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）.
故答案为：A .
【分析】函数y=a(x-m)2 +k的图象，顶点坐标是(m，k)，据此可得答案.
3．如图，△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，若∠COD＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．65°
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得∠BOD=65°，
∵∠COD=30°，
∴∠BOC=∠BOD−∠COD=35°.
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质可得∠BOD=65°，再通过角的和差求得∠BOC的度数.
4．一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径OB=5， 水面宽AB=8， 则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解析】【解答】解：∵OC是圆心O到水面的距离
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=12AB=4，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC=OB2−BC2=3，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案.
5．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定垂直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
【解析】【解答】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故选项A正确；
B、如图，
点A、B、C三点在同一直线上，不在同一圆上，故选项B错误；
C、如图，
直径AB平分弦CD，但AB不垂直于CD，故选项C错误；
D、如图，
∠AOB=∠A1O1B1，AB⏜≠A1B1⏜，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；不在同一直线的三点确定一个圆；平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦；同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，据此逐项判断得出答案.
6．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1，3)， 则a+b+c的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解析】【解答】解：∵图象过A点，
∴把A点的坐标代入，得3=a+b+c.
故答案为：D.
【分析】把A点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c即可得出答案.
7．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 3cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A．0.6cm2B．1.8cm2C．5.4cm2D．3.6cm2
【解析】【解答】解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出正方形二维码的面积为9cm2，再计算求解即可。
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝-12，且经过点（-2，0），（x1，y1），（x2，y2），下列说法正确的是（ ）
A．bc＞0
B．当x1＞x2≥-12时，y1＞y2
C．a＝2b
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是-2＜x＜32
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a>0，
∵二次函数的图象的对称轴为直线x=−12，
∴−b2a=−12，
∴b=a>0，故选项C错误；
∵二次函数的图象交于y轴的负半轴，
∴c<0，
∴bc<0，故选项A错误；
∵二次函数的图象的对称轴为直线x=−12，且a>0，
∴当x≥−12时，y随x的增大而增大，
∴当x1>x2≥−12时，y1>y2，故选项B正确；
∵二次函数的图象经过点（-2，0），且对称轴为直线x=−12，
∴二次函数的图象经过点（1，0），
由图象可得当ax2+bx+c<0时，−2故答案为：B.
【分析】由二次函数的图象开口向上可得a>0，再通过对称轴证得b=a>0，故C错误；由二次函数的图象交于y轴的负半轴可得c<0，进而证得bc<0，故A错误；利用二次函数图象的性质可得当x≥−12时，y随x的增大而增大，故B正确；利用二次函数图象的对称性可得二次函数的图象经过点（-2，0），（1，0），故可得ax2+bx+c<0的解集为−29．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36°B．38°C．40°D．42°
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质， AC 所对的圆周角为∠B， ABC 所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
△ADC中，∵∠BAC＝26°，
∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°.
故答案为：B.
【分析】 连接BC，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，结合余角的性质求出∠B的度数，易得∠ADC+∠B＝180°，求出∠ADC的度数，然后在△ADC中，应用内角和定理求解即可.
10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）
A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大D．无法确定
【解析】【解答】解：∵二次函数图象经过P1（-3，y1），P2（-1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，
∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（-3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故答案为：A．
【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．正六边形一个内角的度数是 °．
【解析】【解答】解：n−2×180°=6−2×180°=720°，
720°÷6=120°.
故答案为：120.
【分析】n边形的内角和公式：180°n−2，正多边形的每个内角都相等.
12．已知二次函数y＝3（x-3）（x+2），则该函数对称轴为直线 ．
【解析】【解答】解：y＝3（x-3）（x+2）=3（x2-x-6）=3（x-12）2-754，
∴抛物线的对称轴为直线x=12.
故答案为：x=12
【分析】利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴.
13．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D=50°， 则∠B的度数为 .
【解析】【解答】解：∵⊙O的内接四边形ABCD中，∠D=50°，
∴∠B=180°−∠D=130°，
故答案为：130°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补即可得出答案.
14．如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC外接圆的圆心是点 ，弧AC的长是 .
【解析】【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心.
连接DA、DC，
∵DA=12+22=5，DC=12+22=5，AC=12+32=10，
DA2+DC2=AC2，DA=DC=5，
∴△DAC是等腰直角三角形，
∴弧AC的长是90π⋅5180=5π2，
故答案为：D，5π2.
【分析】三角形外接圆的圆心就是三边垂直平分线的交点，利用方格纸的特点即可得出点D是△ABC外心，连接DA、DC，利用勾股定理算出DA、DC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△DAC是直角三角形且∠ADC=90°，从而利用弧长公式即可算出答案.
15．已知点P（-3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2+bx-1的图象上．将这个二次函数图象向上平移 单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
【解析】【解答】解：∵点P−3，m和Q1，m在二次函数y=2x2+bx−1的图象上，
∴−b2×2=−3+12=−1，
∴b=4，
∴y=2x2+bx−1=2x2+4x−1=2x+12−3，
∴ 二次函数图象向上平移3单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
故答案为：3.
【分析】利用二次函数的轴对称性解得b的值，再通过二次函数的顶点式可得二次函数图象向上平移3单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
16．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离．如图，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝3，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 ．
【解析】【解答】解：如图1，当点P、A、O在同一直线上时，点P到正方形的最短距离最短，
∵ 正方形边长为3，
∴OA=22AB=322，
∵OP=3，
∴d=AP=OP−OA=3−322；
如图2，当PO⊥AB时，点P到正方形的最短距离最长，
∵ 正方形边长为3，
∴OQ=12AD=32，
∵OP=3，
∴d=QP=OP−OQ=3−32=32，
综上所述，3−322≤d≤32.
故答案为：3−322≤d≤32.
【分析】当点P、A、O在同一直线上时，点P到正方形的最短距离最短， 此时由正方形的性质可得OA=322，进而计算的d=3−322；当PO⊥AB时，点P到正方形的最短距离最长，由正方形的性质可得OQ=32，故d=32，综上所述，3−322≤d≤32.
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数y＝a（x-1）2-3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标．
【解析】【分析】（1）把（2，0）代入二次函数解析式 y＝a（x-1）2-3（a≠0） ，解得a的值；
（2）根据x轴上点坐标的特征令y=0，列出方程3(x-1)2-3＝0，求出方程的解，进而得到二次函数图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）.
18．一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是 事件；摸到黄球是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；
（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为34，请求出后来放入袋中的黑球个数．
【解析】【解答】解：（1）在一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同，
∴任意摸出一球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件.
故答案为：随机，不可能；
【分析】（1）从袋中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；袋子里没有黄球，所以摸到黄球是不可能事件；
（2）不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，共有10个球，故摸到黑球的概率为310；
（3）设后来放入袋中的黑球的个数是x个，故袋中黑球的个数为3+x，球的总数为10+x，再根据从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为34列出方程，解得x值即可.
19．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．
（1）求证：GE=EF；
（2）若∠C＝120°，BG＝4，求阴影部分弓形的面积．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质证得∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB，再通过等腰三角形的性质得到∠ABF＝∠AFB，从而证得∠GAE＝∠EAF，然后由圆心角定理证得GE=EF；
（2）利用平行四边形的性质可得∠ABC＝60°，进而证得△ABF是等边三角形，再通过扇形面积计算公式求得扇形BAF的面积，然后通过割补法计算阴影部分弓形的面积．
20．四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．
（1）请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
（2）若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【解析】【分析】（1）通过列表法表示出所有可能的情况，可得所有等可能的情况数有12种，其中抽取的两张卡片数字和大于等于5的有8种，进而求得抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
（2）利用列表法求得取出的两张卡片上的数字都为奇数和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶两种情况的概率，可得甲获胜的概率小于乙获胜的概率，故可判定这个游戏不公平.
21．杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足y＝-x+9，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是（6，1）．（其中x是满足1≤x≤12的整数）
（1）问：2月份每千克蔬菜成本是多少？
（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．
【解析】【分析】（1）由抛物线的最低点坐标是（6，1）可设z=a(x−6)2+1，把(3，4)代入解析式，通过待定系数法解得a的值，进而得到函数解析式，再利用函数解析式求得2月份每千克蔬菜成本；
（2）利用销售单价与成本的解析式可得每千克蔬菜的收益w=−13(x−5)2+133，，再通过而二次函数的性质可得当x=5时，w有最大值133，故5月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为133元.
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x-m）（x-n）（m，n为实数）．
（1）当m＝1，若图象经过点（2，6），求该函数的表达式；
（2）若n＝m-1，①当x≤2时，y1随着x增大而减小，求m的取值范围；
②设一次函数y2＝x-m，当函数y＝y1+y2的图象经过点（a，0）时，求a-m的值．
【解析】【分析】（1）将m=1，(2，6)代入y1=(x−m)(x−n)，利用待定系数法求得函数解析式；
（2）)①将n＝m-1代入解析式可得y1=(x-m)(x-m+1)，故抛物线与x轴交点坐标为(m，0)，(m−1，0)，进而可得抛物线对称轴为直线x=m+m−12，由当x≤2时，y1随着x增大而减小可得m+m−12⩾2，解得m⩾52；
②由y1、y2的解析式可得y=(x−m)(x−m+2)，令y=0可得函数图象经过(m，0)，(m−2，0)，又因为函数图象经过(a，0)，故a=m或a=m−2，进而解得a−m=0或a−m=−2.
23．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.
（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.
（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.
①求∠E的度数(用含α的代数式表示).
②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.
【解析】【分析】（1）根据同圆中相等的弦所对的弧相等可得 AC=BD， 根据等弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，进而利用等角对等边即可得出答案；
（2）①连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系可得 ∠CAB=12α°， 根据三角形内角和定理及同弧所对的圆周角相等可得 ∠M=∠C=90°−12α°； ②根据相等的弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠EAB，易得AC=AF，然后根据等边对等角、对顶角相等及圆周角定理可得∠DFE=∠E，根据等角对等边得DF=DE，由（1）知AM=DM，进而结合AM+MF=17建立方程求出MF的长，从而可得AM的长，最后根据三角形的面积公式计算即可.