2023-2024学年天津市瑞景中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市瑞景中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.
【详解】由，
又直线的倾斜角，故.
故选：C
2．已知直线，直线，若，则实数a的值为（ ）
A．1或B．1或3C．1D．3
【答案】D
【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．
【详解】解：直线，直线平行，
且，
解得．
实数的值为．
故选：．
【点睛】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案．
【详解】根据双曲线的方程可得焦点在轴，可得，
∴渐近线方程为，即.
故选：A．

4．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程为，
其焦点坐标为
故选：C.
5．圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
【答案】B
【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系.
【详解】因为圆：的圆心，半径为，
圆：的圆心，半径为，
所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径差为，
所以圆与圆的位置关系是内切.
故选：B.
6．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而求得可得答案.
【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为，
所以，所求椭圆的焦点坐标为，即，
因为，所求椭圆的短半轴长为，
所以，
所以，，
所以，所求椭圆的方程为：.
故选：A
7．“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程.
【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为，
半径为，所以所求圆的标准方程为，
即以为直径的圆的方程为.
故选：A
8．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、，即可得解.
【详解】解：椭圆的焦点为，
又双曲线：的一条渐近线方程为，
所以，解得，所以双曲线方程为.
故选：C
9．已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题意得到，根据得到，再计算离心率即可.
【详解】由题知：，因为，
所以，整理得，
所以，得，.
故选：A
二、填空题
10．已知双曲线，则双曲线的焦距是
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程求出即可求出.
【详解】已知双曲线，即，
则，.
所以双曲线的焦距为.
故答案为：.
11．两直线的交点坐标是： .
【答案】
【分析】利用两直线的方程联立求交点即可.
【详解】联立两直线方程可得.
故答案为：
12．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为 .
【答案】
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【详解】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，则椭圆的焦点在y轴上，且，
又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，所以，即，
所以，所以该椭圆方程为.
故答案为：
13．已知直线与互相平行，则他们之间的距离是 .
【答案】
【分析】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再由平行线的距离公式计算即可.
【详解】因为直线与互相平行，
所以，
则直线，所以两直线的距离为.
故答案为：.
14．已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.
【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为，
由题可知，过一三象限的渐近线为，即，
所以右焦点到渐近线的距离为，
又，∴，
∴．
故答案为: .
15．已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 .
【答案】
【分析】根据抛物线方程求出抛物线焦点坐标和准线方程，根据，结合抛物线定义可求点的横坐标，代入抛物线方程，求出点的纵坐标，再用三角形面积公式计算即可.
【详解】由抛物线的方程为，所以，可得，
所以焦点为，准线方程为，
又为抛物线上一点，且，所以点到准线的距离为，
所以点的横坐标，所以，所以，
所以.
故答案为：.
三、解答题
16．已知点在圆上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
【答案】(1)圆心坐标为，半径长为
(2)
【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；
（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解.
【详解】（1）因为点在圆上，
所以，解得，
所以该圆的标准方程为，
所以该圆的圆心坐标为，半径长为；
（2）直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以.
17．已知圆经过和两点，且圆心在轴正半轴上.
(1)求圆的方程.
(2)从点向圆作切线，求切线方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为圆的圆心在轴正半轴上，
所以设圆的标准方程为，
因为圆经过和两点，
所以；
（2）设过点的直线为，
由（1）可知：圆的圆心为，半径为1，
当直线不存在斜率时，方程为，圆心到直线的距离为1等于半径，
所以直线是该圆的切线；
当直线存在斜率时，设为，方程为，
因为直线是该圆的切线，所以，
即直线的方程为：，
综上所述：切线方程为或.
18．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求中点坐标及的长.
【答案】，
【分析】设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式计算即可.
【详解】由可知，故可得直线的方程为：，
设
与椭圆方程联立，
故，
所以，
则中点坐标，
弦长.
19．已知椭圆的左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求得其值，即得答案.
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合可得，化简求值，求得k的值，即得答案.
【详解】（1）由题意知，，，，
，∴，
∵，∴，，∴椭圆的方程为.
（2）由已知过点满足题意的直线的斜率存在，设，
联立，消去得，
，令，解得.
设，，则，，
∵，∴，即，
∴，∴，
解得，满足，
∴直线的方程为.