2023-2024学年海南省海南中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年海南省海南中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】配方后化为标准方程即可得.
【详解】由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是．
故选：A．
2．双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.
【详解】由双曲线，可得，
所以双曲线的渐近线的方程为，
所以两渐近线的夹角为.
故选：C.
3．直线与直线垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面内两直线垂直，得，解之即可．
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B
4．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）．
由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“牟合方盖”产生的过程，将图中正方体的前面的面旋转至上面，易得椭圆的长轴长为，短轴长为求解，利用离心率公式计算.
【详解】由“牟合方盖”产生的过程可知，将图中正方体的前面的面旋转至上面，
可得图中标出的各点，，，，在原正方体中相对对应的位置为如图所示．
故图中的曲线所对应的椭圆的长轴长，短轴长，
于是可得此椭圆的半焦距，因此离心率．
故选：A
5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两条直线平行的条件、平行直线的距离公式运算即可得解.
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，解得，
∴直线，
又∵直线可化为，
∴两平行线之间的距离．
故选：C．
6．过点的直线与连接的线段总有公共点（不包含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图像可知直线从逆时针旋转到时，和线段总有公共点（不包含端点）,算出和，进而根据直线倾斜角和斜率的关系，求出直线的斜率的取值范围.
【详解】
由图像可知直线从逆时针旋转到时，和线段总有公共点（不包含端点），
，，
由直线倾斜角和斜率的关系，可得直线的斜率的取值范围是，
故选：B.
7．设直线上存在点到点的距离之比为2．则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据得到，再根据直线与圆的位置关系得到答案.
【详解】设，则，即，
整理得到，圆心为，半径，
故直线与圆有交点，即，解得.
故选：D.
8．设双曲线的顶点为，为双曲线上一点，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线和的斜率分别为，若且，则双曲线离心率为
A．2B．C．D．4
【答案】B
【详解】由,
设，,
又，则.
设，又，
，
，
则双曲线方程为，
，
，
.
故选:B.
二、多选题
9．已知曲线.有（ ）
A．若，则是焦点在轴上的椭圆
B．若，则是半径为的圆
C．若，则是双曲线，且渐近线的方程为
D．若，则是两条直线
【答案】AD
【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，曲线的方程可化为，
则，所以是焦点在轴上的椭圆，A选项正确.
B选项，若，曲线的方程可化为，
则是半径为的圆，所以B选项错误.
C选项，若，曲线的方程可化为，表示双曲线，
由得，所以C选项错误.
D选项，若，曲线的方程可化为，
表示两条直线，所以D选项正确.
故选：AD
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为4
C．椭圆上存在点，使得
D．若，则
【答案】AD
【分析】利用焦半径公式可得，即可知A正确；根据焦点三角形性质可知周长为，即B错误；利用余弦定理可知的最大值为，可得C错误；D正确.
【详解】对A，根据椭圆性质可知，故，所以椭圆的离心率为，故A正确；
对B，易知的周长为，故B错误；
对C，易知
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，
所以的最大值为，故C错误；
对D，由余弦定理
，
即，
解得，故，故D正确；
故选：AD
11．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A．的准线方程为B．
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的方程求出准线方程，可判断A选项；设出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用抛物线的焦半径以及基本不等式可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于抛物线，，可得，
所以，抛物线的准线方程为，A对；
对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
所以，，，
则，则，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C错；
对于D选项，设点、，
设直线的方程为，联立可得，
判别式为，由韦达定理可得，，同理可得，
，同理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.
故选：ABD.
12．如图，为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于两点，交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点，使得，且，则双曲线的离心率为2或
【答案】AB
【分析】对于A,先证明双曲线上一点的切线方程为，与双曲线的渐近线进行联立，可得坐标，可得到，结合即可判断；对于B，由A选项可得点是线段的中点，即可判断；对于C，由即可判断；对于D，通过可得，则能算出，结合余弦定理即可求解
【详解】对于选项，先求双曲线上一点的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由得：，所以，
则在点的切线斜率为，
所以在点的切线方程为：，
又因为，所以在点的切线方程为：，
当为右顶点时，切线方程为，易得也满足，
不失一般性，设点是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，
联立，
所以点，同理可得：，
则，
又因为，所以，即：，故A项正确；
对于选项B，由A项知，，
所以点是线段的中点，所以，故B项正确；
对于选项，因为在点的切线方程为：，
令得，所以点，
则，
当点在顶点时，仍然满足，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
又因为，所以，解得：，
即：，代入得，
所以
，
，
因为，所以，
所以，
解得：或6，所以离心率为或，故D项错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：双曲线上一点的切线方程为，对椭圆、抛物线也有类似结论．
三、填空题
13．已知圆与圆只有一条公切线，则 .
【答案】16
【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意可知两圆相内切，即可得到，从而得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为圆与圆只有一条公切线，
所以两圆相内切，所以，即，
所以.
故答案为：
14．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .
【答案】5
【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值．
【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为，
当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，
如图，
过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为．
故答案为：．
15．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可知联立直线与曲线的方程即可知该方程须有两个不相等的非负实根，列出限定条件解不等式即可求得的取值范围是.
【详解】根据题意可知曲线表示的是椭圆的上半部分，
即需满足直线与的两个交点在轴非负半轴上，如下图所示：
联立直线和椭圆方程，消去可得；
所以该方程有两个不相等的非负实根，需满足，
解得
所以的取值范围是.
故答案为：
四、双空题
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与轴交于，两点（，两点均在外），连接，与交于点P，若，则 ；椭圆的离心率为
【答案】 / /
【分析】根据题意可得，由圆的对称性可得；由向量的数量积为0可得，结合椭圆的定义和离心率的定义即可求解.
【详解】在中，，则.
因为关于x轴对称，所以，
得，又在中，互相垂直平分，所以四边形为菱形，
得，又，则，得，
由且，得，
由椭圆的定义知，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；
（2）根据题意利用相关点法运算求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
由及M为线段EF的中点得，解得，即，
又因为点E在圆C：上，则，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．

18．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程；
（2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）由且，则，
又点在双曲线上，则，
综上，，即双曲线的方程为.
（2）由（1）知：，而到轴距离为，
所以的面积为.
19．已知椭圆C：与椭圆有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出，即得答案；
（2）联立直线和椭圆方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意得的焦点为，
故椭圆C：的焦点为，则；
令，则，
故由过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1可得，
联立，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）将代入得，
需满足，即；

设，则，
由得，
即，解得，
故，符合题意.
20．已知直线和圆．
(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)相交，截得的弦长为2.
(2)或.
【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.
【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为.
（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
21．如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于和（其中在轴的上方），交轴于点．
（1）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；
（2）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【分析】（1）设直线，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；
（2）联立方程组，求得，根据，化简整理得，分别联立，和，求得的值，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】（1）设，
设直线，
由，可得，所以，
所以点、的纵坐标乘积为定值.
（2）由（1）直线，
联立方程组，可得，所以，
可得，即，
因为且代入上式，整理得，
又由，联立可得，
又因为，代入可得，
又由，代入可得，即，
所以，可得直线的方程为，即.
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
22．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，A，B是上关于原点对称的两个动点，当垂直于x轴时，的周长为．
(1)求的方程；
(2)已知的离心率，直线与交于点M（异于点A），直线与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．
【答案】(1)或
(2)证明过程见详解
【分析】(1)根据椭圆的对称性可知：，则的周长为，由题意知，则，从而得到，再根据即可求出的值，从而求出方程；
(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线的方程为，设直线的方程为，联立直线方程，消元列出韦达定理，
即可表示出，然后利用两点关于原点对称，纵坐标之间的关系建立等量关系，化简整理进而得出结果.
【详解】（1）由题意可知：，
又因为A，B是上关于原点对称的两个动点，所以，
则的周长为，
因为，即，
又因为，所以或，
故的方程为或.
（2）由题，的方程为，
当A，B为椭圆的左右顶点时，直线与轴重合；
当A，B为椭圆的上下顶点时，则，所以直线的方程为，与椭圆方程联立可得点，
同理可得点，此时直线的方程为；
当A，B不是顶点时，设直线的方程为，，
由，整理可得：，，
，
设直线的方程为，其中，，，
由，整理可得：，，
所以
设直线的方程为，其中，，，
由，整理可得：，，
所以，
所以，整理可得：，
所以，
因为
，
则，
整理可得：，
将代入上式可得：
，也即，
因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点，
综上：直线恒过定点.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．