2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由倾斜角求斜率，再由点斜式方程可得.
【详解】直线倾斜角为,则斜率为，
又直线经过点，
则直线方程为，即.
故选：D.
2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在空间直角坐标系中，由两点关于轴对称得两点纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标也互为相反数可得所求.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为，
故选：A.
3．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析由离心率可得出、的等量关系，由此可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，则该双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的离心率为，则，则，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
4．已知直线：与直线：，若，则（ ）
A．B．2C．2或D．5
【答案】A
【分析】根据两直线平行的性质，解方程 , 再检验即得解.
【详解】若 , 则，
所以 或 .
当 时, 重合, 不符合题意, 所以舍去;
当 时, 符合题意.
故选:.
5．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的倾斜角等于B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直D．l与直线平行
【答案】D
【分析】A项，由方向向量求斜率则可得倾斜角；B项，由点斜式方程可求出直线方程，令，可求在x轴上的截距；C项，由斜率关系可判断；D项，由斜率相等，截距不同可得两直线平行.
【详解】选项A，因为直线l的方向向量为，
则直线l的斜率，倾斜角为，故A项错误；
选项B，由直线l经过点，则直线方程为，
即，
令，解得，即直线l在x轴上的截距为，故B错误；
选项C，因为直线的斜率为，
由两直线斜率乘积，故两直线不垂直，故C错误；
选项D，直线，方程可化为，
直线的方程为，
因为两直线斜率相等，且在轴的截距不相等，故两直线平行，故D正确.
故选：D.
6．设和为椭圆的两个焦点，若，，是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角形是等边三角形，得到b、c的齐次式，即可求出离心率.
【详解】设椭圆是焦距为2c.
因为，，是等边三角形的三个顶点，
所以，有，则.
故选：B.
7．已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解.
【详解】设的中点为，
因为，则，
因为点P在曲线上，
所以将代入曲线，
则，即，
所以的中点的轨迹方程是.
故选：C.
8．若直线与曲线恰有交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线过定点，曲线为半圆弧，数形结合求解直线斜率的范围即可.
【详解】直线过定点，
曲线方程变形得，
即曲线为以原点为圆心，为半径的右半圆弧，
过点与曲线相切的直线有两条，
设切线斜率为，则可设方程为，
即，
由直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得或，
由图可知，要使直线与曲线恰有交点，
由题意，直线斜率为，则.
故选：B.
二、多选题
9．设直线：，：，则（ ）
A．与平行B．与相交
C．与的交点在圆上D．与的交点在圆外
【答案】BC
【分析】由两直线斜率判断AB，解出两直线的交点判断CD.
【详解】由题意，直线，
两直线斜率分别为，，
故两直线相交，选项A错误，B正确；
联立，解得，故两直线交点为，
由，得交点在圆上.故C正确，D错误.
故选：BC.
10．圆与圆的交点为、，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．两圆圆心距
C．线段中垂线的方程为
D．公共弦的长为
【答案】ABC
【分析】将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，可判断A选项；求出两圆圆心距，可判断B选项；利用等腰三角形的几何性质可判断C选项；利用勾股定理求出，可判断D选项.
【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即，
所以，公共弦所在直线的方程为，A对；
对于B选项，圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
两圆圆心距为，B对；
对于C选项，连接、、、、，如下图所示：
因为，所以，线段的垂直平分线即为的底边的高所在的直线，
且直线的方程为，故线段的垂直平分线所在直线方程为，即，C对；
对于D选项，圆心到直线的距离为，
所以，，D错.
故选：ABC.
11．变化时，方程表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条平行直线B．圆
C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线
【答案】ABD
【分析】根据cs 符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可.
【详解】当 时, , 方程 ,得 表示与 轴平行的两条直线;故A正确；
当 时, , 方程 表示圆心在原点的单位圆;故B正确；
当 时, , 方程 表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆;故C错误；
当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的双曲线;故D正确；
当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线.
故选：ABD.
12．《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧.油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的长轴为B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为D．该椭圆的焦距为
【答案】ABC
【分析】先求得，结合椭圆的知识以及正弦定理求得、，进而求得椭圆的离心率和焦距.
【详解】，
如图，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.
因为，，所以，
设椭圆的长轴长为，焦距为，则.
因为，，，，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以，.
所以，椭圆的长轴长为，离心率为，焦距为.
故选：ABC.
三、填空题
13．抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 .
【答案】4
【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得.
【详解】抛物线的准线方程为，设，显然，当且仅当时取等号，
则点到焦点的距离，当且仅当时取等号，因此，
所以.
故答案为：4
14．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 .
【答案】
【分析】联立方程求交点，再根据直线垂直的斜率关系求斜率，然后点斜式可得.
【详解】解方程组得，
因为直线的斜率为，
所以，所求直线的斜率为，
由点斜式得，即.
故答案为：
15．椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线方程是 .
【答案】
【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，判断焦点位置再由焦距相同建立关于的方程求解即可.
【详解】由方程表示双曲线可知，则焦点在轴上，
由椭圆与双曲线有相同的焦点，
则椭圆焦点也在轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为，
故，解得（舍），或，
故双曲线方程为，
故答案为：.
16．已知，，，则在上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据空间投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，，
所以，，
则，，
所以，
则在上的投影向量为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知抛物线C：（）过点.
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)求以为中点的抛物线C的弦所在直线的方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由点在抛物线上，代入方程待定系数即可；
（2）已知弦的中点，由点差法可求弦所在直线斜率，再由点斜式方程可求.
【详解】（1）根据抛物线C：过点，
可得，解得.
从而抛物线C的方程为，准线方程为；
（2）设弦的两端点分别为，，设点为，
当直线垂直于轴时，
由对称性可知，的中点在轴上，则不为的中点，不符合题意，
故直线垂直于轴，即，
则
由②-①得，，
由点是的中点，，代入上式得，
，
故直线的斜率，且直线过，
所以弦所在直线的方程为，即.
18．已知为等腰直角三角形，且，若A，C的坐标分别为，.
(1)求点B的坐标；
(2)求过点B与所在边平行的直线方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）由题意得点满足，设点坐标，根据斜率关系与两点间距离公式列方程组求解即可；
（2）由点斜式方程可得.
【详解】（1）设B点坐标为，根据题意可得
即
解得或所以或.
（2）由题知；
当时，直线为：，即.
当时，直线为：，即.
故所求直线为或.
19．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系.
(1)求证：；
(2)若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明；
（2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，，，，
则，，
，
，即.
（2）当时，，，，
则，，
所以
.
故：.
20．已知圆E经过点，，且与y轴相切.
(1)求圆E的方程；
(2)求过点的圆E的切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列方程组求解即可；
（2）分切线斜率存在和不存在分类讨论，利用圆心到直线距离等于半径建立方程求解即可.
【详解】（1）设圆E的方程为，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为；
（2）因为，所以点P在圆E外，
①若直线斜率不存在，直线方程为，
圆心到直线的距离为2，满足题意；
②若直线斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线方程为，即，
由圆E的方程为可得圆心，半径为2，
所以圆心到切线的距离，解得，
所以切线方程为；
综上所述，过点的圆E的切线方程为或.
21．已知双曲线C：的实轴长为2.
(1)若双曲线C的渐近线方程为，求双曲线方程；
(2)设、是C的两个焦点，P为C上一点，且，的面积为9，求C的标准方程
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合双曲线的渐近线方程求，即可得方程；
（2）根据题意结合双曲线的定义求，即可得方程；
【详解】（1）因为双曲线C：的实轴长为2，
即，则，
又因为双曲线一条渐近线方程为，即，可得，
所以双曲线方程为.
（2）双曲线定义可得：，
由知，且的面积为9，
则，即，
又因为，
可得，即，
所以，因此，
故双曲线C的标准方程为：.
22．如图，椭圆E：两焦点为，且经过点.
(1)求椭圆E的离心率e与椭圆方程；
(2)经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），求证：直线与的斜率之和为定值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意知，，从而求得，进而可求解；
（2）由题设知，直线的方程为（且），设，，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，求得斜率，把韦达公式代入化简即可求解.
【详解】（1）由题意知，，由由解得.
所以，，则椭圆的方程为.
（2）由题设知，直线的方程为（且），
代入，得，
由已知，设，，.
则，，
从而直线与的斜率之和
故：直线与的斜率之和为定值2.